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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀复习练习题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程优秀复习练习题,共15页。试卷主要包含了单项选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    第二章直线和圆的方程
    综合测试题(原卷版)
    考试时间120分钟,满分150分
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.直线x+y-1=0的倾斜角为( )
    A.30°   B.60°
    C.120° D.150°
    2.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是( )
    A.外离   B.外切
    C.相交   D.内含
    3.已知直线l经过点(2,1),且与直线2x-y+1=0垂直,则直线l的一般式方程为( )
    A.x+2y-4=0 B.x+2y=0
    C.2x-y-3=0 D.4x-y=0
    4.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( )
    A.6-2 B.8
    C.4 D.10
    5.若三条直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+y-4=0,l3:2x-y+1=0相交于同一点,则实数a=( )
    A.-12 B.-10
    C.10 D.12
    6.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为( )
    A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
    C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
    7.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a=( )
    A.14   B.34
    C.14或45   D.34或14
    8.在平面直角坐标系xOy中,设直线l:kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于( )
    A.1 B.2
    C.0 D.-1
    二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
    9.下列说法错误的是( )
    A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
    B.直线x sin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是∪
    C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为=
    D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
    10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( )
    A.y=x+1 B.y=2
    C.y=x D.y=2x+1
    11.已知ab≠0,点M(a,b)为圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2,则下列结论正确的是( )
    A.m∥l B.l⊥m
    C.l与圆相交 D.l与圆相离
    12.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( )
    A.点P到直线AB的距离小于10
    B.点P到直线AB的距离大于2
    C.当∠PBA最小时,|PB|=3
    D.当∠PBA最大时,|PB|=3
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.已知三角形的三个顶点是A(6,7),B(4,0),C(0,3),则AB边上的高所在的直线方程的点斜式为  .
    14.设O为原点,点M在圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上运动,则|OM|的最大值为_ _.
    15.倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆(x+a)2+y2=4所截得的弦长为2,则a=  .
    16.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足=,则动点P的轨迹是  .当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是  .
    四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题满分10分)(2023·大连海湾高级中学高一检测)已知点P(2,-1).
    (1)求过点P且与原点距离为2的直线方程;
    (2)求过点P且与原点距离最大的直线方程.








    18.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-2y-4=0,直线l:mx-y+1-m=0.
    (1)判断直线l与圆C的位置关系;
    (2)若直线l与圆C交于不同两点A,B,且|AB|=3,求直线l的方程







    19.(本小题满分12分)过点M(1,2)的直线l:
    (1)当l在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时,求直线l的方程;
    (2)若l与坐标轴交于A、B两点,原点O到l的距离为1时,求直线l的方程以及△AOB的面积.








    20.(本小题满分12分)已知圆C经过P(-3,-3),Q(2,2)两点,且圆心C在x轴上.
    (1)求圆C的方程;
    (2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.







    21.(本小题满分12分)如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.

    问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)








    22.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,直线l:y=kx-1.
    (1)若直线l被圆C截得的弦长为2,求k的值;
    (2)是否存在实数k,使圆C上存在点P,满足P点关于坐标原点O的对称点Q恰好在直线l上,若存在,求出k的值或范围,若不存在,请说明理由.




    第二章直线和圆的方程
    综合测试题(解析版)
    考试时间120分钟,满分150分
    一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
    1.直线x+y-1=0的倾斜角为( D )
    A.30°   B.60°
    C.120° D.150°
    [解析] ∵直线x+y-1=0的斜率k=-.
    设其倾斜角为θ(θ∈[0°,180°)),则tan θ=-.
    ∴θ=150°.故选D.
    2.圆C1:x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2:x2+y2-4x-4y-1=0的位置关系是( C )
    A.外离   B.外切
    C.相交   D.内含
    [解析] 将圆的一般方程化为标准方程得C1:(x+1)2+(y+4)2=25,C2:(x-2)2+(y-2)2=9,所以C1(-1,-4),C2(2,2),r1=5,r2=3.从而|C1C2|==3,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2.因此两圆的位置关系为相交.
    3.已知直线l经过点(2,1),且与直线2x-y+1=0垂直,则直线l的一般式方程为( A )
    A.x+2y-4=0 B.x+2y=0
    C.2x-y-3=0 D.4x-y=0
    [解析] 因为直线l与直线2x-y+1=0垂直,
    所以直线l的斜率k满足:k×2=-1,
    即k=-,
    又直线l经过点(2,1),由直线方程的点斜式得
    y-1=-×(x-2),
    即x+2y-4=0,
    故选A.
    4.已知点A(-1,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是( B )
    A.6-2 B.8
    C.4 D.10
    [解析] 易知点A关于x轴对称点A′(-1,-1),A′与圆心(5,7)的距离为=10.故所求最短路程为10-2=8.
    5.若三条直线l1:ax+2y+6=0,l2:x+y-4=0,l3:2x-y+1=0相交于同一点,则实数a=( A )
    A.-12 B.-10
    C.10 D.12
    [解析] 由l2:x+y-4=0,l3:2x-y+1=0,可得交点坐标为(1,3),
    代入直线l1:ax+2y+6=0,可得a+6+6=0,所以a=-12.故选A.
    6.圆x2+y2-4x=0在点P(1,)处的切线方程为( D )
    A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
    C.x-y+4=0 D.x-y+2=0
    [解析] ∵点P(1,)在圆x2+y2-4x=0上,
    ∴点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.
    又圆心为(2,0),设切线斜率为k,
    ∴·k=-1,解得k=.
    ∴切线方程为x-y+2=0.
    7.已知圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+a=0,若圆C1与圆C2有且仅有一个公共点,则实数a=( D )
    A.14   B.34
    C.14或45   D.34或14
    [解析] 设圆C1、圆C2的半径分别为r1、r2.圆C1的方程可化为(x-3)2+(y+2)2=1,
    圆C2的方程可化为(x-7)2+(y-1)2=50-a.
    由两圆相切得,|C1C2|=r1+r2或|C1C2|=|r1-r2|,
    ∵|C1C2|==5,
    ∴r2+1=5或|1-r2|=5⇒r2=4或r2=6或r2=-4(舍去).
    因此,50-a=16或50-a=36⇒a=34或a=14,故选D.
    8.在平面直角坐标系xOy中,设直线l:kx-y+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A、B两点,以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB,若点M在圆C上,则实数k等于( C )
    A.1 B.2
    C.0 D.-1
    [解析] 如图,由题意可知平行四边形OAMB为菱形,

    又∵OA=OM,∴△AOM为正三角形.
    又OA=2,∴OC=1,且OC⊥AB.
    ∴=1,∴k=0.
    二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
    9.下列说法错误的是( ACD )
    A.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件
    B.直线x sin α+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是∪
    C.过(x1,y1),(x2,y2)两点的所有直线的方程为=
    D.经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0
    [解析] 当a=0时,两直线方程分别为y=1和x=2,此时也满足直线相互垂直,故A说法错误;直线的斜率k=-sin α,则-1≤k≤1,即-1≤tan θ≤1,则θ∈∪,故B说法正确;当x1=x2或y1=y2时,直线方程为x=x1或y=y1,此时直线方程=不成立,故C说法错误;若直线过原点,则直线方程为y=x,此时也满足条件,故D说法错误.
    10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( BC )
    A.y=x+1 B.y=2
    C.y=x D.y=2x+1
    [解析] 所给直线上的点到定点M距离能否取4,可通过求各直线上的点到点M的最小距离,即点M到直线的距离来分析.
    A.因为d==3>4.故直线上不存在点M距离等于4,不是“切割型直线”;
    B.因为d=2<4,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”;
    C.因为d==4,直线上存在一点,使之到点M距离等于4,是“切割型直线”;
    D.因为d==>4,故直线上不存在点到M距离等于4,不是“切割型直线”.
    11.已知ab≠0,点M(a,b)为圆x2+y2=r2内一点,直线m是以点M为中点的弦所在直线,直线l的方程为ax+by=r2,则下列结论正确的是( AD )
    A.m∥l B.l⊥m
    C.l与圆相交 D.l与圆相离
    [解析] 因为kMO=,
    ∴直线m的方程为y-b=-(x-a),
    即ax+by-a2-b2=0,∵M在圆内,∴a2+b2 ∴m∥l.又圆心到l距离为d=>r,∴l与圆相离.
    12.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A(4,0),B(0,2),则( ACD )
    A.点P到直线AB的距离小于10
    B.点P到直线AB的距离大于2
    C.当∠PBA最小时,|PB|=3
    D.当∠PBA最大时,|PB|=3
    [解析] 圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5,5),半径为4,直线AB的方程为+=1,即x+2y-4=0,圆心M到直线AB的距离为==>4,∴直线AB与圆心相离,所以,点P到直线AB的距离的最小值为-4<2,最大值为+4<10,A选项正确,B选项错误;如图所示:

    当∠PBA最大或最小时,PB与圆M相切,连接MP、BM,可知PM⊥PB,|BM|==,|MP|=4,由勾股定理可得|BP|==3,CD选项正确.故选ACD.
    三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
    13.已知三角形的三个顶点是A(6,7),B(4,0),C(0,3),则AB边上的高所在的直线方程的点斜式为 y-3=-(x-0) .
    [解析] 因为kAB==,
    所以AB边上的高所在的直线的斜率为-,
    所以AB边上的高所在的直线的方程为y-3=-(x-0).
    故答案为y-3=-(x-0).
    14.设O为原点,点M在圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上运动,则|OM|的最大值为_6__.
    [解析] 圆心C的坐标为(3,4),
    ∴|OC|==5,
    ∴|OM|max=5+1=6.
    15.倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线被圆(x+a)2+y2=4所截得的弦长为2,则a= ±1 .
    [解析] 倾斜角为且在x轴上的截距为a的直线方程为:y=(x-a),即x-y-a=0,圆心(-a,0)到直线的距离为=|a|,所以3a2+1=4,得a=±1.
    16.阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足=,则动点P的轨迹是 半径为2的圆 .当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是 2 .
    [解析] 以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(图略),则A(-1,0),B(1,0).设P(x,y),因为=,所以=,
    两边平方并整理得:x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8.
    当点P到AB(x轴)的距离最大时,△PAB的面积最大,此时面积为×2×2=2.
    四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
    17.(本小题满分10分)(2023·大连海湾高级中学高一检测)已知点P(2,-1).
    (1)求过点P且与原点距离为2的直线方程;
    (2)求过点P且与原点距离最大的直线方程.
    [解析] (1)当直线斜率不存在时,方程x=2适合题意.
    当直线斜率存在时,设直线方程为y+1=k(x-2),
    即kx-y-2k-1=0,
    则=2,解得k=.
    ∴直线方程为3x-4y-10=0.
    ∴所求直线方程为x=2或3x-4y-10=0.
    (2)点P且与原点距离最大的直线方程应为过点P且与OP垂直的直线,kOP=-,则所求直线的斜率为2.
    ∴直线方程为y-(-1)=2(x-2),即2x-y-5=0.
    18.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-2y-4=0,直线l:mx-y+1-m=0.
    (1)判断直线l与圆C的位置关系;
    (2)若直线l与圆C交于不同两点A,B,且|AB|=3,求直线l的方程.
    [解析] (1)圆C的标准方程为x2+(y-1)2=5,所以圆C的圆心为C(0,1),半径r=,圆心C(0,1)到直线l:mx-y+1-m=0的距离d==<1<,因此直线l与圆C相交.
    (2)设圆心到直线l的距离为d,则d==,又d=,
    ∴=,解得m=±1,∴所求直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.
    19.(本小题满分12分)过点M(1,2)的直线l:
    (1)当l在两个坐标轴上的截距的绝对值相等时,求直线l的方程;
    (2)若l与坐标轴交于A、B两点,原点O到l的距离为1时,求直线l的方程以及△AOB的面积.
    [解析] (1)当l过原点时,设l方程为y=kx,
    ∴2=k,
    ∴l方程为y=2x,
    当l不过原点时,设l方程为+=1,
    ①a=b时,把M(1,2)代入得+=1,∴a=3,l方程为x+y-3=0;
    ②a=-b时,把M(1,2)代入得-=1,a=-1,l方程为x-y+1=0.
    综上所述,直线l的方程为:2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0.
    (2)依题,直线l斜率存在,设其为k,设l方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0,
    ∴原点O到l的距离d==1,则k=,
    ∴直线l的方程为3x-4y+5=0;△AOB的面积S=××=.
    20.(本小题满分12分)已知圆C经过P(-3,-3),Q(2,2)两点,且圆心C在x轴上.
    (1)求圆C的方程;
    (2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,且以线段AB为直径的圆经过坐标原点,求直线l的方程.
    [解析] (1)设圆心C(c,0),则半径R2=(c+3)2+9=(c-2)2+4,则c=-1,R2=13,圆C方程:(x+1)2+y2=13.
    (2)由于kPQ==1,且l∥PQ,设l:y=x+b,则线段AB的中垂线(过圆心C)为:x+y+1=0,则线段AB中点⇒,以线段AB为直径的圆半径r2=2=13-2=13-,则以线段AB为直径的圆方程为:2+2=13-,又由题意知过原点,
    则2+2=13-,则b=4或-3,
    所以直线l:x-y+4=0或x-y-3=0.
    21.(本小题满分12分)如图,已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25 km的圆形区域,一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿,速度为28 km/h.

    问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长?(要求用坐标法)
    [解析] 如图,以O为原点,东西方向为x轴建立直角坐标系,则A(40,0),B(0,30),
    圆O方程x2+y2=252.

    直线AB方程:+=1,即3x+4y-120=0.
    设O到AB距离为d,则d==24<25,所以外籍轮船能被海监船监测到.
    设持续时间为t,
    则t==0.5(h),
    即外籍轮船能被海监船监测到,持续时间是0.5 h.
    22.(本小题满分12分)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,直线l:y=kx-1.
    (1)若直线l被圆C截得的弦长为2,求k的值;
    (2)是否存在实数k,使圆C上存在点P,满足P点关于坐标原点O的对称点Q恰好在直线l上,若存在,求出k的值或范围,若不存在,请说明理由.
    [解析] (1)圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,化为标准方程:(x-2)2+(y-2)2=4.
    设圆心C到直线l的距离为d,则d==,
    因为直线l被圆C截得的弦长为2,
    所以d2+()2=4,解得:d==1,解得:k=2+或k=2-;
    (2)假设存在点P,符合题意.
    因为点P在圆C:(x-2)2+(y-2)2=4,
    所以P点关于坐标原点O的对称点Q在(x+2)2+(y+2)2=4,
    所以直线l与(x+2)2+(y+2)2=4有公共点,即,
    整理得:(1+k2)x2+(4+2k)x+1=0,
    只需:Δ=(4+2k)2-4(1+k2)≥0,解得:k≥-.
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