高中数学人教A版 (2019)必修 第一册正弦函数、余弦函数的性质第3课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册正弦函数、余弦函数的性质第3课时学案设计，共11页。学案主要包含了正弦函数，函数性质的综合应用等内容，欢迎下载使用。

导语
同学们，经过前面几节课的学习，我们对正弦函数、余弦函数有了比较深刻的认识，在探究的过程中，我们发现，“整体代换”的数学思想能有效地帮助我们解决问题.整体代换思想是我们高中数学解题中的一个重要思想，它贯穿于整个高中数学学习中，特别是在解决三角函数问题时，熟练掌握整体代换思想，有利于我们化简、求值、运算等，尤其是在解决单调性、对称性等问题中，整体代换思想发挥着重大作用，今天，我们继续体会整体代换的数学思想.
一、形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数的最值(值域)问题
问题1 求二次函数的最值，需要明确哪些方面？
提示 开口方向、对称轴、函数的定义域.
问题2 同角三角函数的平方关系是什么？
提示 sin2α+cs2α=1.
例1 函数y=cs2x+2sin x-2，x∈R的值域为 .
答案 [-4，0]
解析 因为y=cs2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-(sin x-1)2.
又-1≤sin x≤1，所以-4≤y≤0，
所以函数y=cs2x+2sin x-2，x∈R的值域为[-4，0].
延伸探究1 把本例中“x∈R”变为“x∈π6，2π3”，求函数的最大值和最小值及取得最值时x的值.
解 由例题解答可知y=-(sin x-1)2，
因为x∈π6，2π3，所以12≤sin x≤1，
所以当sin x=1，即x=π2时，ymax=0；
当sin x=12，即x=π6时，ymin=-14.
延伸探究2 本例函数变为y=sin2x+2cs x-2，x∈R，求函数的值域.
解 因为y=sin2x+2cs x-2=1-cs2x+2cs x-2=-cs2x+2cs x-1=-(cs x-1)2，
又-1≤cs x≤1，所以函数的值域为[-4，0].
反思感悟 求y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型函数最值(值域)的方法
形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)型，可利用换元思想，设t=sin x，转化为二次函数y=at2+bt+c求最值.t的范围需要根据定义域来确定.若f(x)=asin2x+bcs x+c，还需利用同角三角函数的基本关系，转化成同名三角函数求值.
跟踪训练1 函数f(x)=sin2x+3cs x-34x∈0，π2的最大值是 .
答案 1
解析 由题意得f(x)=1-cs2x+3cs x-34x∈0，π2，令cs x=t，则t∈[0，1]，则y=-t2+3t+14=-t-322+1，当t=32，即x=π6时，f(x)取得最大值1.
二、正弦函数、余弦函数的对称性
问题3 正弦函数y=sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是多少？
提示 有，(kπ，0)(k∈Z).
问题4 正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，其对称轴方程是什么？
提示 是轴对称图形，方程为x=π2+kπ(k∈Z).
问题5 类比正弦函数的对称轴和对称中心，你能写出余弦函数的对称轴和对称中心吗？
提示 对称轴方程是x=kπ(k∈Z)，对称中心的坐标为π2+kπ，0(k∈Z).
例2 函数y=cs2x+π3的图象的对称轴是直线 ，对称中心是点 .
答案 x=kπ2-π6(k∈Z) kπ2+π12，0(k∈Z)
解析 令2x+π3=kπ(k∈Z)，
即x=kπ2-π6(k∈Z)，
故函数y=cs2x+π3的图象的对称轴是直线
x=kπ2-π6(k∈Z).
令2x+π3=kπ+π2(k∈Z)，即x=kπ2+π12(k∈Z).
故函数y=cs2x+π3的图象的对称中心是点kπ2+π12，0(k∈Z).
反思感悟 正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值；正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定是正弦曲线、余弦曲线与x轴的交点，即此时的正弦值、余弦值为0.考查了整体代换的数学思想.
跟踪训练2 求函数y=2sin-2x+π4的对称轴、对称中心.
解 y=2sin-2x+π4=-2sin2x-π4；
令2x-π4=π2+kπ，k∈Z，得x=3π8+kπ2，k∈Z，
所以函数y=2sin-2x+π4的对称轴为直线x=3π8+kπ2，k∈Z；
令2x-π4=kπ，k∈Z，得x=π8+kπ2，k∈Z.
所以函数y=2sin-2x+π4的对称中心为π8+kπ2，0，k∈Z.
三、函数性质的综合应用
例3 (多选)函数f(x)=csωx+π6(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)满足( )
A.在2π3，5π6上单调递增
B.当x=5π12时有最小值-1
C.f π3=32
D.图象关于直线x=π6对称
答案 AB
解析 ∵函数f(x)=csωx+π6(ω>0)的最小正周期为π，
∴2πω=π，即ω=2，
∴f(x)=cs2x+π6.
对于A，当x∈2π3，5π6时，2x+π6∈3π2，11π6，
∵3π2，11π6⊆(π，2π)，
∴f(x)在2π3，5π6上单调递增，故A正确；
∵f 5π12=cs2×5π12+π6=cs π=-1，故B正确；
∵f π3=cs2π3+π6=cs 5π6=-32，故C错误；
又f π6=cs2×π6+π6=cs π2=0≠±1，故D错误.
反思感悟 研究三角函数性质的几个方面是通过数形结合.用整体代换的数学思想研究三角函数的定义域、图象、周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值、值域等.
跟踪训练3 (多选)已知函数f(x)=2sin2x+π6，则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.f(x)的图象关于直线x=π6对称
C.f(x)的图象关于点π3，0对称
D.f(x)在区间(0，π)上有两个零点
答案 ABD
解析 f(x)的最小正周期T=2π2=π，故A正确；
∵f π6=2sin2×π6+π6=2，
∴f(x)的图象关于直线x=π6对称，故B正确；
∵f π3=2sin2×π3+π6=2sin5π6=1，
故f(x)的图象不经过点π3，0，即π3，0不是其对称中心，故C错误；
令f(x)=0(00).若f(x)≤f π4对任意的实数x都成立，则f π4= ，ω的最小值为 .
答案 1 23
解析 ∵f(x)≤f π4对任意的实数x都成立，
∴当x=π4时，f(x)取得最大值1.
即f π4=csπ4ω-π6=1，
∴π4ω-π6=2kπ，k∈Z，∴ω=8k+23，k∈Z.
∵ω>0，∴当k=0时，ω取得最小值23.
10.(10分)已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)ω>0，|φ|≤π2，若f(x)的图象关于点-π12，0对称，且图象上两个相邻最高点的距离为π.
(1)求f(x)；(5分)
(2)求f(x)的单调递增区间.(5分)
解 (1)依题意T=π，∴ω=2，
f(x)=3sin(2x+φ)，
又f(x)的图象关于点-π12，0对称，
∴2×-π12+φ=kπ，k∈Z，得φ=π6+kπ，k∈Z，
又|φ|≤π2，∴φ=π6，
∴f(x)=3sin2x+π6.
(2)令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，
得-π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为-π3+kπ，π6+kπ，k∈Z.
11.(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)=sinωx+π4+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3