数学人教A版2019选择性必修第一册 6.3平面向量基本定理及坐标表示讲义（学生版＋教师版）

这是一份数学人教A版2019选择性必修第一册 6.3平面向量基本定理及坐标表示讲义（学生版＋教师版），文件包含平面向量基本定理及坐标表示原卷版docx、平面向量基本定理及坐标表示解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共37页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16472" 【题型1 基底的概念及辨析】 PAGEREF _Tc16472 \h 1
\l "_Tc10513" 【题型2 用基底表示向量】 PAGEREF _Tc10513 \h 4
\l "_Tc19751" 【题型3 利用平面向量基本定理求参数】 PAGEREF _Tc19751 \h 6
\l "_Tc4567" 【题型4 平面向量基本定理的应用】 PAGEREF _Tc4567 \h 8
\l "_Tc3552" 【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】 PAGEREF _Tc3552 \h 13
\l "_Tc25770" 【题型6 平面向量数量积的坐标表示】 PAGEREF _Tc25770 \h 14
\l "_Tc17417" 【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】 PAGEREF _Tc17417 \h 16
\l "_Tc28006" 【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】 PAGEREF _Tc28006 \h 18
\l "_Tc723" 【题型9 向量坐标运算的几何应用】 PAGEREF _Tc723 \h 21
知识点1 平面向量基本定理
1．平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
(2)定理的实质
由平面向量基本定理知，可将任一向量a在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质.
2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【题型1 基底的概念及辨析】
【例1】（24-25高一下·江西景德镇·期中）若e1,e2是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A．e1−e2,e2−2e1B．e1−e2,e1−12e2
C．2e2−3e1,6e1−4e2D．e1+e2,e1+3e2
【答案】C
【解题思路】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.
【解答过程】对于A，设存在唯一的实数λ使e1−e2=λe2−2e1=λe2−2λe1，
则−1=λ1=−2λ，此方程无解，故e1−e2,e2−2e1能作为平面向量的基底，故A不符合题意；
对于B，设存在唯一的实数λ使e1−e2=λe1−12e2=λe1−12λe1，
则1=λ−1=−12λ，此方程无解，故e1−e2,e1−12e2能作为平面向量的基底，故B不符合题意；
对于C，由6e1−4e2=−22e2−3e1，所以2e2−3e1与6e1−4e2共线，
故2e2−3e1,6e1−4e2不能作为平面向量的基底，故C符合题意；
对于D，设存在唯一的实数λ使e1+3e2=λe1+e2=λe1+λe1，
则1=λ3=λ，此方程无解，故e1+e2,e1+3e2能作为平面向量的基底，故D不符合题意.
故选：C.
【变式1-1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）若e1，e2是平面内一组不共线的向量，则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（ ）
A．e1与e1−e2B．e1+2e2与2e1+e2
C．e1−2e2与e1+2e2D．6e1−3e2与e2−2e1
【答案】D
【解题思路】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.
【解答过程】因为e1，e2是平面内一组不共线的向量，
设e1−e2=λe1，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以A选项错误；
设e1+2e2=λ2e1+e2，则λ=122=λ，无解，不平行，能作为平面内所有向量的一组基底，所以B选项错误；
设e1+2e2=λe1−2e2，则λ=12=−2λ，无解，能作为平面内所有向量的一组基底，所以C选项错误；
6e1−3e2=−3 e2−2e1，6e1−3e2// e2−2e1，不能作为平面内所有向量的一组基底，D选项正确；
故选：D.
【变式1-2】（24-25高一下·河南·期中）若a,b是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①a−b和2025b−2025a ②a+b和a−b
③3a−2b和2a−3b ④a−3b和6b−2a
A．①②B．②③C．③④D．①④
【答案】B
【解题思路】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解.
【解答过程】对于①中，由a−b和2025b−2025a，可得2025b−2025a=−2025(a−b)，
所以a−b和2025b−2025a是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设a+b=λ(a−b)，可得λ=1λ=−1，方程组无解，
所以a+b和a−b不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设3a−2b=μ(2a−3b)，可得2μ=3−3μ=−2，方程组无解，
所以3a−2b和2a−3b不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设a−3b=m(6b−2a)，可得−2m=16m=−3，解得m=−12
所以a−3b和6b−2a是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选：B.
【变式1-3】（24-25高一下·河南郑州·期中）设e1,e2是平面内两个不共线的向量，则以下a,b不可作为该平面内一组基底的是（ ）
A．a=e1+e2,b=e1B．a=2e1+e2,b=12e1+14e2
C．a=e1+e2,b=e1−e2D．a=e1−2e2,b=−e1+4e2
【答案】B
【解题思路】根据题意，若向量a,b不共线，则a,b可作为该平面内一组基底，由此对各选项加以判断即可.
【解答过程】对于A，若a,b共线，则存在唯一实数λ，使a=λb，则e1+e2=λe1，
因为e1,e2是平面内两个不共线的向量，所以e1+e2=λe1不成立，
所以向量a,b不共线，所以a,b可作为该平面内一组基底，所以A错误，
对于B，因为a=2e1+e2,b=12e1+14e2，所以a=2e1+e2=412e1+14e2=4b，
所以a,b共线，所以a,b不可作为该平面内一组基底，所以B正确，
对于C，若a,b共线，则存在唯一实数λ，使a=λb，则e1+e2=λ(e1−e2)，
因为e1,e2是平面内两个不共线的向量，所以e1+e2=λ(e1−e2)不成立，
所以向量a,b不共线，所以a,b可作为该平面内一组基底，所以C错误，
对于D，若a,b共线，则存在唯一实数λ，使a=λb，则e1−2e2=λ(−e1+4e2)，
因为e1,e2是平面内两个不共线的向量，所以e1−2e2=λ(−e1+4e2)不成立，
所以向量a,b不共线，所以a,b可作为该平面内一组基底，所以D错误，
故选：B.
【题型2 用基底表示向量】
【例2】（24-25高一下·四川成都·期末）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E为AD上的点，且AE=2ED，若AB=a，AC=b，则BE用a,b表示为（ ）
A．−12a−13bB．13a−12b
C．−13a+16bD．−23a+13b
【答案】D
【解题思路】结合图形和条件，利用向量的加减数乘等运算，将所求向量用基底表示即可.
【解答过程】由图知，BE=AE−AB=23AD−AB=23×12(AB+AC)−AB
=−23AB+13AC=−23a+13b.
故选：D.
【变式2-1】（24-25高一下·山东青岛·期末）在△ABC中，AD=13AB，E为CD的中点，设AB=a，AC=b，则AE=（ ）
A．16a+13bB．16a+12bC．13a+16bD．13a+12b
【答案】B
【解题思路】利用平行四边形法则结合已知条件表示出向量AE即可.
【解答过程】由题如图所示：
因为E为CD的中点，AD=13AB，AB=a，AC=b
所以AE=12AC+AD
=12AC+13AB
=12AC+16AB=12b+16a，
故选：B.
【变式2-2】（24-25高一下·河南信阳·期末）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，AE=3ED，则BE=（ ）
A．−23AB+13ACB．23AB+13AC
C．58AB+38ACD．−58AB+38AC
【答案】D
【解题思路】根据平面向量基本定理得到答案.
【解答过程】点D是BC的中点，AE=3ED，
BE=BA+AE=BA+34AD=−AB+34×12AB+AC=−58AB+38AC．
故选：D．
【变式2-3】（24-25高一下·甘肃·期末）如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设AD=a，AE=b，则AB等于（ ）
A．12a−bB．a−12bC．−12a+bD．a+12b
【答案】C
【解题思路】结合图形，利用向量的线性运算即可求得.
【解答过程】由图知，AB=AE+EB=AE−12AD=−12a+b.
故选：C.
【题型3 利用平面向量基本定理求参数】
【例3】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在平行四边形ABCD中，BE=23BC，DF=34DE，若AF=λAB+μAD，则λ+μ=（ ）
A．32B．−112C．112D．0
【答案】A
【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．
【解答过程】在平行四边形ABCD中，BE=23BC，DF=34DE，
所以AF=AD+DF=AD+34DE=AD+34DC+CE
=AD+34AB−13AD=34AB+34AD，
若AF=λAB+μAD，则λ=μ=34，所以λ+μ=32．
故选：A．
【变式3-1】（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在△ABC中，M为线段AB上的一点，CM=mCA+nCB（m，n∈R）且BM=4MA，则（ ）
A．m=34，n=14 B．m=45，n=15
C．m=15，n=45 D．m=14，n=34
【答案】B
【解题思路】根据平面向量的线性运算与共线定理用基底表示向量，结合平面向量基本定理即可得m,n的值.
【解答过程】因为BM=4MA，
所以AM=15AB，
则CM=CA+AM=CA+15AB=CA+15CB−CA=45CA+15CB，
故m=45，n=15.
故选：B.
【变式3-2】（24-25高一下·天津静海·月考）如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M,N，若AB=mAM，AC=nAN，m>0,n>0，则2m+8n的最小值（ ）
A．2B．8C．9D．18
【答案】C
【解题思路】由向量加法及数乘的几何意义得AO=m2AM+n2AN，再由向量共线的结论有m+n=2，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值.
【解答过程】由题意，AO=12(AB+AC)=m2AM+n2AN，又M,O,N共线，则m+n=2，
且m>0,n>0，所以2m+8n=(m+n)(1m+4n)=5+nm+4mn≥5+2nm⋅4mn=9，
当且仅当m=23,n=43时取等号，即2m+8n的最小值为9.
故选：C.
【变式3-3】（2025高三·全国·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，BD与CE交于点F．若AF=xAD+yABx,y∈R，则x−y=（ ）
A．−13B．0C．13D．1
【答案】C
【解题思路】由DE=12BC得DF=12BF，进而BF=23BD，最后利用平面向量基本定理即可求解.
【解答过程】由四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，知DE∥BC，且DE=12BC，
所以DF=12BF，则BF=23BD．
因为AF=AB+BF=AB+23BD=AB+23AD−AB=23AD+13AB，
所以x=23，y=13，所以x−y=13．
故选：C．
【题型4 平面向量基本定理的应用】
【例4】（24-25高一下·四川乐山·月考）如图，在△ABC中，AB=2AE,DC=2BD,AD与CE的交点为M，则S△MAC:S△ABC=（ ）
A．1:3B．2:5C．3:7D．4:9
【答案】B
【解题思路】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将AM、AD向量都用AB、AC表示，进而得到AM=35AD，再利用边的关系得到面积比例即可.
【解答过程】因为E、M、C三点共线，AB=2AE，所以AM=xAC+1−xAE=xAC+121−xAB，
又因为DC=2BD，所以AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13AC−AB=23AB+13AC，
设AM=tAD，则xAC+121−xAB=2t3AB+t3AC，
即x=t3121−x=2t3，消x可解得x=15t=35，所以AM=35AD，所以AM=35AD，
所以S△MAC:S△DAC=3:5，又DC=23BC，所以S△DAC:S△ABC=2:3，
所以S△MAC:S△ABC=2:5.
故选：B.
【变式4-1】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）在△ABC中，点D在线段BC上，且满足|BD|=13|DC|，点E为线段AD上任意一点（除端点外），若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则1x+1y的最小值为（ ）
A．22B．4+23C．6+25D．9
【答案】D
【解题思路】利用平面向量基本定理及共线向量定理的推论可得x+4y=1，且x>0,y>0，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案.
【解答过程】由点D在线段BC上，|BD|=13|DC|，得BE=xBA+yBC=xBA+4yBD，
而点E为线段AD上除端点外的任意一点，则x+4y=1，且x>0,y>0，
因此1x+1y=(1x+1y)(x+4y)=5+4yx+xy≥5+24yx⋅xy=9，
当且仅当4yx=xy，即x=13,y=16时取等号，
所以1x+1y的最小值为9.
故选：D.
【变式4-2】（24-25高一下·甘肃白银·期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，设BA=a，BC=c.
(1)用a，c表示向量AE；
(2)若点F在AC上，且BF=17a+67c，求AD:DF.
【答案】(1)AE=14c−34a
(2)7:5
【解题思路】（1）利用向量基本定理得到AD=12c−a，AE=14c−34a；
（2）设AF=λAC，所以BF=1−λa+λc，结合条件得到λ=67，从而得到AD:DF=7:5.
【解答过程】（1）因为AC=BC−BA=c−a，D是AC的中点，所以AD=12AC=12c−a，
因为E是BD的中点，
所以AE=12AB+AD=12AB+12AD=−12a+14c−a=14c−34a；
（2）设AF=λAC，所以BF=BA+AF=BA+λAC=a+λc−a=1−λa+λc，
又BF=17a+67c，所以λ=67，所以AF=67AC，
设AC=7m，则AF=6m，又D是AC的中点，
故AD=3.5m，DF=AF−AD=2.5m，
故AD:DF=7:5.
【变式4-3】（24-25高一下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，BM=2MC，点N为AC边的中点，AM，BN相交于点P．
(1)用AB，AC表示AM．
(2)求cs∠MPN．
(3)若AP=λAM，求λ的值．
【答案】(1)AM=13AB+23AC
(2)2114
(3)λ=35
【解题思路】（1）利用向量基本定理得到AM=13AB+23AC；
（2）BN=12AC−AB，利用向量数量积运算法则得到AM⋅BN=2，并得到|AM|=AM2=2213，|BN|=2，利用向量余弦夹角公式得到cs∠MPN=2114；
（3）由向量基本定理得到AP=λ3AB+4λ3AN，由向量共线定理的推论得到λ3+4λ3=1，得到答案.
【解答过程】（1）AM=AB+BM=AB+23BC=AB+23AC−AB=13AB+23AC
（2）BN=AN−AB=12AC−AB，
AM⋅BN=13AB+23AC⋅12AC−AB=−13AB2−12AB⋅AC+13AC2
=−13AB2−12AB⋅ACcs60°+13AC2=−13×4−12×2×4×12+13×42=2，
其中|AM|=AM2=13AB+23AC2=19AB2+4AB⋅AC+4AC2
=19AB2+4AB⋅ACcs60°+4AC2=194+4×2×4×12+42×4=2213，
∵AB=AN=2,∠BAN=60∘,∴|BN|=2，
∴cs∠MPN=csAM,BN=AM⋅BN|AM||BN|=22×2213=2114；
（3）AP=λAM=λ13AB+23AC=λ3AB+2λ3AC=λ3AB+4λ3AN，
∵B,P,N三点共线，∴设PB=tNB，即AB−AP=tAB−AN，
故AP=1−tAB+tAN，
∴λ3=1−t,4λ3=t，∴λ3+4λ3=1，
∴5λ3=1，
∴λ=35.
知识点2 平面向量的坐标表示
1．平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解
不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
(2)向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为，取作为基底.对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得.这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作①.其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示.
显然，，，.
(3)点的坐标与向量的坐标的关系
2．平面向量线性运算的坐标表示
(1)两个向量和（差）的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
，即.同理得.
这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
(2)向量数乘的坐标表示
由，可得，则，即.
这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3．平面向量数量积的坐标表示
(1)平面向量数量积的坐标表示
由于向量，等价于，，所以
.又，，，所以.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
(2)平面向量长度（模）的坐标表示
若，则或.
其含义是：向量a的长度(模)等于向量a的横、纵坐标平方和的算术平方根.
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么，
.
4．平面向量位置关系的坐标表示
(1)共线的坐标表示
①两向量共线的坐标表示
设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数λ，使.如果用坐标表示，可写为，即，消去λ，得.这就是说，向量 共线的充要条件是.
②三点共线的坐标表示
若，，三点共线，则有，从而，即，
或由得到，
或由得到.
由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线.
(2)夹角的坐标表示
设都是非零向量，，，θ是a与b的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得.
(3)垂直的坐标表示
设，，则.
即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0.
5．平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【题型5 平面向量线性运算的坐标表示】
【例5】（24-25高一下·河南郑州·期末）已知A(3,5)，B(1,−2)，C(2,1),则AB+AC=（ ）
A．(3,11)B．(−3,−11)
C．(9,9)D．(−9,−9)
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示求解判断.
【解答过程】由A(3,5)，B(1,−2)，C(2,1)，得AB=(−2,−7),AC=(−1,−4)，
所以AB+AC=(−3,−11).
故选：B.
【变式5-1】（24-25高一下·重庆长寿·期末）已知向量a=(1,2),b=(−3,4)，则3a+4b=（ ）
A．(−3,6)B．(−3,10)C．(−9,22)D．(−9,18)
【答案】C
【解题思路】根据坐标运算求解即可.
【解答过程】因为a=(1,2),b=(−3,4)，所以3a+4b=(3,6)+(−12,16)=(−9,22)，
故选：C.
【变式5-2】（25-26高一·全国·假期作业）已知a=(5,−2),b=(−4,−3),c=(x,y)，若a−2b+3c=0，则c等于（ ）
A．−133,−43B．1,83C．133,83D．143,43
【答案】A
【解题思路】根据向量线性运算的坐标表示求解即可.
【解答过程】由题意得−2b=(8,6),3c=(3x,3y)，
因为a−2b+3c=0，
所以5+8+3x=0，−2+6+3y=0⇒x=−133，y=−43，
故c=−133,−43.
故选：A.
【变式5-3】（24-25高一下·广东东莞·月考）平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A−2,1，B1,3，C3,4，则顶点D的坐标为（ ）
A．0,2B．2,2C．2,1D．−2,3
【答案】A
【解题思路】由四边形ABCD为平行四边形可得AB=DC，利用平面向量的坐标运算，计算即可.
【解答过程】由题意，设Dx,y，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=DC，
则3,2=3−x,4−y，
即3=3−x2=4−y，解得x=0y=2，
故D0,2.
故选：A.
【题型6 平面向量数量积的坐标表示】
【例6】（24-25高一下·重庆渝北·期中）已知向量a=(1,−1),b=(−2,3),c=(1,1)，则(a+b)⋅c=（ ）
A．1B．0C．-1D．-2
【答案】A
【解题思路】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解.
【解答过程】∵a+b=−1,2，
∴a+b⋅c=−1,2⋅1,1=−1×1+2×1=1.
故选：A.
【变式6-1】（24-25高一下·贵州安顺·期末）已知向量a=−1,2，b=1,k，若a⊥b，则a+2b与2b的夹角为（ ）
A．45°B．135°C．30°D．60°
【答案】A
【解题思路】根据两向量垂直得到方程，求出k=12，进而得到a+2b=1,3，2b=2,1，利用向量夹角余弦公式进行求解.
【解答过程】因为a⊥b，所以a⋅b=−1,2⋅1,k=−1+2k=0，解得k=12，
a+2b=−1,2+21,12=1,3，2b=21,12=2,1，
设a+2b与2b的夹角为θ，则csθ=a+2b⋅2ba+2b2b=1,3⋅2,11+9×4+1=2+352=22，
所以θ=45°.
故选：A.
【变式6-2】（24-25高一下·甘肃天水·月考）已知向量a=4,2,b=−1,3，求：
(1)a⋅b；
(2)a+b；
(3)a−b⋅a+2b．
【答案】(1)2
(2)34
(3)2
【解题思路】（1）直接由数量积的坐标运算公式计算即可求解；
（2）根据向量线性运算和模的坐标计算公式求解即可；
（3）根据向量线性运算和数量积的坐标计算公式求解即可.
【解答过程】（1）因为a=4,2,b=−1,3，所以a⋅b=4×−1+2×3=2；
（2）因为a=4,2,b=−1,3，所以a+b=3,5,a+b=9+25=34；
（3）因为a=4,2,b=−1,3，所以a−b=5,−1,a+2b=2,8，
所以a−b⋅a+2b=10−8=2.
【变式6-3】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知向量a=(−1,−1),b=(0,1)．
(1)求a⋅b；
(2)求向量a与b的夹角θ的大小；
(3)若向量c=(x,y)满足c=−ya+(1−x)b，求实数x,y的值．
【答案】(1)−1
(2)3π4
(3)x=1,y=1
【解题思路】（1）利用向量的数量积的坐标公式计算即得；
（2）利用向量的夹角公式计算即得；
（3）利用向量相等构造方程求得x,y，即得结果.
【解答过程】（1）由向量a=(−1,−1),b=(0,1)，得a⋅b=−1×0+−1×1=−1.
（2）由向量a=(−1,−1),b=(0,1)，得|a|=2,|b|=1，
又a⋅b=−1，于是csθ=a⋅b|a||b|=−12=−22，
而0≤θ≤π，所以θ=3π4.
（3）依题意c=(y,y)+(0,1−x)=(y,1−x+y)，即(x,y)=(y,1−x+y)，
于是x=yy=1−x+y，解得x=1y=1.
【题型7 向量共线、垂直的坐标表示】
【例7】（24-25高一下·安徽合肥·期中）已知向量a=(−1,2)，b=(1,3)，若a⊥(a+λb)，则λ=（ ）
A．−2B．−1C．1D．2
【答案】B
【解题思路】根据给定条件，利用向量的坐标运算列式求解.
【解答过程】由向量a=(−1,2)，b=(1,3)，得a+λb=(−1+λ,2+3λ)，
由a⊥(a+λb)，得a⋅(a+λb)=1−λ+4+6λ=0，
所以λ=−1.
故选：B.
【变式7-1】（25-26高一上·全国·期末）已知向量a=(1,2),b=(2,−2),c=(m2,12)，若c→//(2a→+b→)，则实数m=（ ）
A．±12B．12C．±1D．1
【答案】C
【解题思路】求出2a+b的坐标，再根据平行关系求出即可.
【解答过程】由a=(1,2)，b=(2,−2)，得2a+b=(2,4)+(2,−2)=(4,2)，
因为c→//(2a→+b→)，c→=(m2,12)，所以2m2=4×12，解得m=±1．
故选：C．
【变式7-2】（24-25高一下·湖南永州·期末）已知a=1,−2，b=λ,1，c=−2,3.
(1)若a⊥b，求λ的值；
(2)当k为何值时，a+2c∥ka−c？
【答案】(1)λ=2
(2)−12
【解题思路】（1）根据数量积坐标运算；
（2）根据共线向量的坐标公式计算.
【解答过程】（1）由题可知，∵a⊥b，∴a⋅b=0，
∵a=1,−2,b=λ,1，∴a⋅b=1×λ+−2×1=0，
解得λ=2；
（2）由a=1,−2,c=−2,3，得a+2c=−3,4，
ka−c=k+2,−2k−3，
∵a+2c∥ka−c， ∴−3×−2k−3−4k+2=0，
∴k=−12.
【变式7-3】（24-25高一下·江西鹰潭·期末）已知向量a=−2,3,b=k,2−k．
(1)若a//b，求实数k的值；
(2)若a+2b与2a−b垂直，求实数k的值．
【答案】(1)k=−4
(2)k=−4或k=94
【解题思路】（1）根据向量平行的坐标表示即可列方程求解；
（2）根据向量垂直的坐标表示以及数量积的运算律，即可化简求解.
【解答过程】（1）由于a=−2,3,b=k,2−k，
若a//b，则满足−22−k=3k，
解得k=−4；
（2）a+2b与2a−b垂直，则a+2b⋅2a−b=0，
即2a2+3a⋅b−2b2=0，
故2−22+32+3−2k+6−3k−2k2+2−k2=0，
化简可得4k2+7k−36=0，解得k=−4或k=94.
【题型8 向量坐标的线性运算解决最值和范围问题】
【例8】（24-25高一下·安徽合肥·月考）在直角梯形ABCD中AB⋅AD=0,∠B=30∘，AB=23,BC=2，点E为BC边上一点，且AE=xAB+yAD，则xy的取值范围是（ ）
A．−∞，12B．0,12C．0,302D．12,23
【答案】B
【解题思路】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【解答过程】建立如图所示的直角坐角坐标系，过C作CF⊥AB，垂足为F，
因为∠B=30°,BC=2，
所以有sinB=CFBC,csB=BFBC⇒CF=2sin30°=1,BF=2cs30°=3，

A(0,0),B(23,0),C(3,1),D(0,1)，设E(a,b)，BE=mBC(m∈[0,1])，
因此有(a−23,b)=m(−3,1)⇒a−23=−3mb=m⇒a=23−3mb=m
因为AE=xAB+yAD，
所以有(a,b)=x(23,0)+y(0,1)=(23x,y)⇒a=23xb=y⇒x=3a6y=b，
而a=23−3mb=m，
所以xy=36(23−3m)m=(1−12m)m=−12(m−1)2+12，
当m=1时，xy有最大值12，当m=0，xy有最小值0，
所以xy的取值范围是0,12，
故选：B.
【变式8-1】（24-25高一下·湖北武汉·月考）如图所示，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设AP=λAF+μAB(λ,μ∈R)，则λ+μ的取值范围是（ ）
A．32,4B．3,4C．32,52D．34,2
【答案】B
【解题思路】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答.
【解答过程】在正六边形ABCDEF中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
令|AB|=2，则点A(0,−1),B(3,0),F(−3,0),C(3,2),E(−3,2),D(0,3)，
因此AF=(−3,1),AB=(3,1)，
因为AP=λAF+μAB，则AP=(−3λ+3μ,λ+μ)，
于是得点P(−3λ+3μ,λ+μ−1)，又点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，
显然点P在直线CE:y=2及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有2≤λ+μ−1≤3，解得3≤λ+μ≤4，
所以λ+μ的取值范围是[3,4].
故选：B.
【变式8-2】（2025·湖南常德·一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至E，使得DE＝2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，AP=λAB+μAE，则λ+μ的取值范围为 ．
【答案】0,4
【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，讨论P∈AB,P∈BC,P∈CD,P∈DA四种情况，即可求出λ+μ的取值范围.
【解答过程】建立如图所示的平面直角坐标系：
则B1,0,E−2,1，所以AP=λAB+μAE=λ−2μ,μ，
当P∈AB时，有0≤λ−2μ≤1μ=0，即0≤λ≤1,μ=0，此时λ+μ的取值范围为0,1，
当P∈BC时，有λ−2μ=10≤μ≤1，即1≤λ+μ=λ−2μ+3μ=1+3μ≤4，此时λ+μ的取值范围为1,4，
当P∈CD时，有0≤λ−2μ≤1μ=1，即3≤λ+μ=λ−2μ+3μ=λ−2μ+3≤4，此时λ+μ的取值范围为3,4，
当P∈DA时，有λ−2μ=00≤μ≤1，即0≤λ+μ=λ−2μ+3μ=3μ≤3，此时λ+μ的取值范围为0,3，
综上所述，λ+μ的取值范围为0,4.
故答案为：0,4.
【变式8-3】（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M、N分别为线段BC、CD上的点，且满足1CM2+1CN2=1，若AC=xAM+yAN，则x+y的最小值为 ．

【答案】54
【解题思路】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据AC=xAM+yAN得到b=3−3xy，a=4−4yx，根据1CM2+1CN2=1得到x216+y29=(x+y−1)2，变换x+y=m，计算Δ≥0得到答案.
【解答过程】由题意，易知x,y不为0，建立如图所示坐标系，

设点M(3,a)，N(b,4)，0≤a