数学人教A版 (2019)随机事件与概率课后作业题

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1.抛掷两次骰子，求点数之和等于5的概率.
2.从13张黑桃扑克牌中任取1张，求抽到＂花牌＂的概率.
3.编号的球，先取后取，求.
4.某商店日收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示：
已知日收入在（元）范围内的概率为0.67，求月收入在（元）范围内的概率．
类型一：古典概型计算中基本事件数量计算错误
【错因解读】列举基本事件时遗漏、重复或混淆有序/无序性，导致样本点总数或事件数计算错误.
【典例引导】抛掷两次骰子，求点数之和等于5的概率.
【错误解法】基本事件：和为共11种，和为5只有1种，概率.
【正确解法】样本空间含个有序结果，和包含共4种，
∴概率.
【补救措施】本题的错误在于未按有序对列举样本点.解决抽取、投掷问题时，若元素可区分（如骰子、编号球），需按有序处理；若不可区分（如红球、白球），则按无序组合处理.总结：求古典概型的三个步骤是：①算出基本事件的总个数；②算出事件A中包含的基本事件的个数；③算出事件A的概率．
【再练一个】
1．从1，2，3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为 ，满足“它是偶数”样本点的个数为 ．
类型二：古典概型的特征不清
【错因解读】未验证基本事件是否满足古典概型的有限性，等可能性要求，但使用了古典概型公式，导致概率计算错误.
【典例引导】从13张黑桃扑克牌中任取1张，求抽到＂花牌＂的概率.
【错误解法】基本事件设为花牌，非花牌，概率.
【正确解法】基本事件为13张牌（每张牌等可能），花牌有3张，概率.
【补救措施】本题的错误在于未验证基本事件的等可能性.判断古典概型时需同时满足有限性和等可能性，否则不能使用公式.
总结：古典概型
（1）定义
一般地，若试验具有以下特征：
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.
（2）古典概型的概率公式
一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率.
（3）概率的基本性质
①对于任意事件都有：．
②必然事件的概率为，即；不可能事概率为，即．
③概率的加法公式：若事件与事件互斥，则．
④推广：一般地，若事件，，…，彼此互斥，则事件发生（即，，…，中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
（4）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则，，且．
（5）概率的单调性：若，则．
（6）若，是一次随机实验中的两个事件，则．
解题步骤如下：
第一步：仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
第二步：判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件；
第三步：分别求出基本事件的个数与所求事件中所包含的基本事件个数；
第四步：利用公式求出事件的概率．
（7）在解决古典概型问题时要分清事件与基本事件，每个基本事件发生的概率都是相等的，而某个事件可能包含几个基本事件，要注意区分，避免出错.
【再练一个】
2．下列是古典概型的为（ ）
A．从6名同学中随机选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小
B．在区间上任取一数，求这个数大于2的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
类型三：混淆有放回与无放回问题
【错因解读】未区分抽取是否放回，导致样本空间构建错误.
【典例引导】编号的球，先取后取，求.
【错误解法】样本空间种，满足，概率.
【正确解法】由题意，
有放回：样本空间种，满足，概率.
无放回：样本空间种（排除同编号），满足，概率.
【补救措施】本题的错误在于没有分类讨论是否放回.
总结:做题时提取题意，有放回与无放回的样本点不同.
【再练一个】
3．在一个不透明的袋子里装有4张数字卡片，数字分别是1，，0，2，它们除数字外其他均相同．充分摇匀后，先摸出1张不放回，再摸出1张．如果把第一次摸出的数字作为横坐标，第二次摸出的数字作为纵坐标，那么组成的点在坐标轴上的概率是 ．
类型四：概率加法公式误用
【错因解读】混淆互斥事件与一般事件关系：误认为任意两个事件都满足互斥事件的加法公式，未验证事件是否互斥就直接套用.当事件A、B不互斥时（即存在交集），若直接相加会重复计算的概率，导致结果偏大.
【典例引导】某商店日收入（单位：元）在下列范围内的概率如下表所示：
已知日收入在（元）范围内的概率为0.67，求月收入在（元）范围内的概率．
【错误解法】记这个商店日收入在（元）范围内的事件分别为，则日收入在（元）范围内的事件为，
∴．
【正确解法】这个商店日收入在（元）范围内的事件分别为，则日收入在（元）范围内的事件为.
∵事件互斥，且，
∴
【补救措施】本题的错误在于误用．
事实上，本题中，故事件与事件不是对立事件.
总结: 在应用概率加法公式时，一定要注意其应用的前提是涉及的事件是互斥事件．对于事件，有，只有当事件互斥时，等号才成立．
【再练一个】
4．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件为“出现奇数点”，事件为“出现2点”，已知，则事件“出现奇数点或2点”的概率是 ．
（易错点：古典概型计算中基本事件数量计算错误）
5．袋中有2个红球,2个白球,2个黑球,从里面任意摸2个小球,不是基本事件的为 ( )
A．{正好2个红球}B．{正好2个黑球}
C．{正好2个白球}D．{至少1个红球}
（易错点：古典概型的特征不清）
6．（多选）下列是古典概型的是（ ）
A．任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时
B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时
C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率
D．从袋子中的3个红球和2个白球中任取2个小球，计算所取的两个小球都是白球的概率
（易错点：概率加法公式误用）（吉林、黑龙江2024-2025六校联考高一下期7月期末考试）
7．以下叙述不正确的是（ ）
A．若事件两两独立，则
B．若，则事件两两独立
C．若，则事件两两互斥
D．若事件两两互斥，则
（易错点：概率加法公式误用）
8．设A，B是两个相互独立事件，且，，则 ．
（易错点：混淆有放回与无放回问题）（山东泰安宁阳2024-2025高一下期期末考试）
9．袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球．
(1)若这5个球分别标有数字，，，，，现从袋中每次任取一个球，每次取出后不放回，连续取两次，求两个小球所标数字之和为3的倍数的概率；
(2)若从中摸出一个球，观察颜色后放回，再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率．
日收入
概率
0.12
0.14
日收入
概率
0.12
0.14
《10.1.2 古典概型与概率的基本性质【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1． 5
【分析】根据题意结合样本空间和样本点的概念分析求解.
【详解】由题意可知：样本空间为；
其中满足“它是偶数”样本点有：2，4，6，8，10，共有5个．
故答案为：；5.
2．AD
【分析】根据古典概型的特征判断各项描述的概率是否为古典概型.
【详解】古典概型具有有限性、等可能性的特征，显然A、D满足，
B中基本事件的个数是无限个，不是古典概型，
C中每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型.
故选：AD
3．##0.5
【分析】先计算所有可能的结果数，找出在坐标轴上的结果，计算概率即可
【详解】根据题意，不放回的抽取两次总共的结果为种；
点在横轴上时，有这3种，
当点在纵轴上时，有这3种，
所以点在坐标轴上的结果数一共有种；
则组成的点在坐标轴上的概率是.
故答案为：.
4．
【分析】应用互斥事件的加法公式求概率即可.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，所以.
故答案为：
5．D
【详解】袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从中任意摸2个，其基本事件可能是2个红球，2个白球，2个黑球，1红1白，1红1黑，1白1黑而至少1个红球中包含1红1白，1红1黑，2个红球三个基本事件，故不是基本事件，故选D
6．CD
【分析】根据古典概型的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；
B项中的样本点是无限的，故B不是；
C和D项满足古典概型的有限性和等可能性，故C和D都是．
故选：CD
7．AB
【分析】利用前提举反例，结合独立事件的判定判断A、B；由概率的性质及事件的运算、互斥事件定义判断C、D.
【详解】A：若事件两两独立，则，，，
抛两次硬币，第一次正面，第二次正面，两次结果相同，
所以，，显然满足前提，
而，此时，不满足，即A错；
B：对于样本空间，若，，，则，
所以，且，此时满足，
但，即，显然，显然不相互独立，即B错；
C：若，而，
所以，
必有，即事件两两互斥时成立，即C对；
D：若事件两两互斥，必有，即D对.
故选：AB
8．
【分析】先根据独立事件的概率乘法公式求，再根据概率的加法公式求.
【详解】由题知，，，，
∴，
∴．
故答案为：.
9．(1)
(2)
【分析】（1）根据不放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可；
（2）根据有放回的随机抽样问题，列出样本空间，利用古典概型求概率即可；
【详解】（1）不放回连续取两次的样本空间，，，，，
，，，，，，，，，，，
，，，
记“两数之和为3的倍数”为事件，则事件，，，，，
，，
（2）设5个球记为，，，，，则有放回地取出两个的样本空间
，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，
记“两球颜色恰好不同的概率”为事件，则，，，
，，，，，，，，
，