人教A版 (2019)必修 第二册事件的相互独立性当堂达标检测题

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1.掷两枚质地均匀的骰子：事件＂第一枚出现奇数点＂，事件＂第二枚出现偶数点＂，判断与的关系.
2.掷两枚骰子，求点数和为6的概率.
3.甲、乙投篮命中率分别为和，各投一次，求“至少一人命中”的概率.
4.下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
类型一：相互独立与互斥事件混淆
【错因解读】混淆＂相互独立＂与＂互斥＂的概念：
互斥事件：事件与不可能同时发生（即），此时；
相互独立事件：事件发生与否不影响发生的概率（即）.错误本质：未理解独立事件可同时发生，而互斥事件不能同时发生.
【典例引导】掷两枚质地均匀的骰子：事件＂第一枚出现奇数点＂，事件＂第二枚出现偶数点＂，判断与的关系.
【错误解法】由题意，认为A与B互斥（因为“奇数点”和“偶数点”看似对立）.
【正确解法】由题意，样本空间：第一枚骰子点数有，第二枚有，事件A与B可同时发生（如.
验证：，
与相互独立但不互斥.
【补救措施】本题的错误在于没有分清独立事件和互斥事件，对理解不清.
总结：互斥：强调＂能否同时发生＂（若互斥则）；
独立：强调＂概率是否相互影响＂(需验证）. 互斥看“能否共存”，独立看“概率乘积”.
【再练一个】（贵州遵义2024-2025高一下期7月期末学业水平监测）
1．现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（ ）
A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互对立D．丙与丁互斥
类型二：混淆基本事件的“等可能性”与“非等可能性”
【错因解读】对题意理解不清，导致对于等可能或非等可能问题没有分清.
【典例引导】掷两枚骰子，求点数和为6的概率.
【错误解法】由题意，点数和可能为共11种结果，且默认这些结果等可能.
∴点数和.
【正确解法】由题意，构建等可能样本空间：每枚骰子有6种结果，样本空间共36个样本点（如，每个样本点等可能.
列举事件＂点数和＂的样本点：，共5个样本点.
∴点数和.
【补救措施】本题的错误在于未分析试验结构，默认所有结果等概率；未按等可能原则列举所有样本点，而是按事件结果类别划分（如点数和），导致非等可能事件被错误合并.
总结：“复合试验坐标化，点数和非等可能；样本空间数清楚，逐个列举再求和.”
【再练一个】
2．已知不透明的袋中装有三个黑球（记为，和）、两个红球（记为和），从中不放回地依次随机抽取两球．
(1)用集合的形式写出试验的样本空间；
(2)求抽到的两个球都是黑球的概率．
类型三：独立事件概率计算中遗漏互斥分解
【错因解读】在计算多事件组合概率（如“至少一个发生”）时，未正确分解互斥事件或忽略独立性条件，未将复杂事件拆分为互斥的简单事件，或错误使用加法公式.
【典例引导】甲、乙投篮命中率分别为和，各投一次，求“至少一人命中”的概率.
【错误解法】直接相加：至少一人命中甲中乙中.
【正确解法】法一（互斥分解）：至少一人命中仅甲中仅乙中两人中
.
法二（对立事件）：至少一人命中两人均不中
【补救措施】本题的错误在于忽视至少一人命中还存在两人同时命中的情况.
总结：“至少一个发生”考虑对立事件（(全不发生)）；“恰有一个发生”分类加法（注意互斥性）. 若计算结果，必为加法误用（独立事件概率不可直接相加）.
【再练一个】（江苏南通大学附属中学2024-2025高一下期第二次阶段测试）
3．甲、乙两人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，那么两人中恰有一人合格的概率是 ．
类型四：概率与频率的关系不清致错
【错因解读】概率与频率互相关联却也有区别，没有明确二者的关系导致出错.
【典例引导】下列说法中正确的是（ ）
A．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
B．在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有确定性
C．在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1
D．随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率
【错误解法】由题意，
对于A，频率与概率相关联，故A正确.
【正确解法】由题意，
对于A，一般而言，频率是试验值，而概率是估计值，故不是同一个概念，故A错误；
对于B，在n次随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性，故B错误；
对于C，在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和一定等于1，故C错误；
对于D，根据随机事件发生的概率定义，随着试验次数n的增大，一个随机事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生的概率，故D正确.
故选:D.
【补救措施】本题的错误在于混淆概率与频率之间的关系.
总结：应注意概率与频率之间的区别与联系．概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率．频率是一个统计数字，对于不同的样本，频率可能不同；概率是一个理论数字，不因样本的变化而变化.
【再练一个】
4．小明将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷了5次，每次朝上的点数都是2，则下列说法正确的是（ ）
A．朝上的点数是2的概率和频率均为1
B．若抛掷30000次，则朝上的点数是2的概率为1
C．抛掷第6次，朝上的点数一定不是2
D．抛掷60000次，朝上的点数为2的次数大约为10000次
（易错点：概率与频率的关系不清致错）
5．根据统计，某篮球运动员在1000次投篮中，命中的次数为860次，则该运动员（ ）
A．投篮10次至少有8次命中B．投篮命中的频率为0.86
C．投篮命中的概率为0.86D．投篮100次有86次命中
（易错点：概率与频率的关系不清致错）
（河北邯郸涉县第一中学2024-2025高一下期5月月考）
6．下列说法错误的是（ ）
A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式
B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值
C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法
D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈
（易错点：相互独立与互斥事件混淆）
（湖南长沙湖南师范大学附属中学2024-2025高一下期期末考试）
7．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件A表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件B表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A．A与B为互斥事件B．
C．D．B与C相互独立
（易错点：独立事件概率计算中遗漏互斥分解）
（安徽合肥第六中学2024-2025高一下期期末教学质量检测）
8．甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为 ．
（易错点：混淆基本事件的“等可能性”与“非等可能性”）
9．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字，，，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取次，每次抽取张，将抽取的卡片上的数字依次记为，，.
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字，，不完全相同”的概率.
《10.2 事件的相互独立性、频率与概率【错题档案】（我的错题本）人教A必修二》参考答案：
1．BD
【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项.
【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误；
事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确；
，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误；
事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确.
故选：BD
2．(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）根据题意，列出样本空间所有可能的情况即可；
（2）列出抽到两个球都是黑球的所有可能情况，利用古典概型的概率公式计算即可．
【详解】（1）试验的样本空间
；
（2）设事件“抽到两个黑球”，则对于不放回简单随机抽样，
．
因为样本空间中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型．
因此．
所以抽到的两个球都是黑球的概率为
3．
【分析】将两人中恰有1人合格分为：甲合格乙不合格，乙合格甲不合格两种情况，概率相加得到答案.
【详解】将两人中恰有1人合格分为：甲合格乙不合格，乙合格甲不合格两种情况，
，
，
．
故答案为：
4．D
【分析】根据频率与概率的概念判断A，由频率与概率的关系判断BD，由概率的概念判断C.
【详解】A：由题意知朝上的点数是2的频率为1，概率为，故A错误；
B：当抛掷次数很多时，朝上的点数是2的频率在附近摆动，故B错误；
C：抛掷第6次，朝上的点数可能是2，也可能不是2，故C错误；
D：每次抛掷朝上的点数是2的概率为，所以抛掷60000次朝上的点数为2的次数大约为10000，理论和实际会有一定的出入，故D正确．
故选：D．
5．B
【分析】根据频率、概率的含义以及与事件的关系判断，即得答案.
【详解】由题意可知投篮命中的频率为，
而频率可能比概率大也可能小，概率是频率的稳定值，二者不一定相等，故B正确，C错误；
投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的结果都是随机的，
其结果可能是一次都没中，也可能是多次投中等，频率和概率只反映事件发生的可能性的大小，
不代表事件一定会发生，故AD错误，
故选：B
6．D
【分析】根据抽样调查的概念判断，再根据频率与概率关系，抽样的概念的，再根据概率的定义求解.
【详解】抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确；
根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确；
抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确；
独立事件的概率互不影响，治愈率为10%意味每次治疗结果独立，前人未治愈不影响第人的概率，治愈率仍为10%，故D错误.
故选：D.
7．BD
【分析】首先根据题意将的可能情况列出来，然后根据互斥事件、独立事件和概率知识对选项逐一判断即可.
【详解】不放回的随机取两次，共有种不同结果.
由题意，共15种结果；
共15种结果.
共12种结果.
,
对于选项A：
事件和事件能同时发生，比如，所以不是互斥事件，所以A错误；
对于选项B：，所以B正确；
对于选项C：，，所以，所以C错误；
对于选项D：，.
由于，所以相互独立，所以D正确.
故选：BD.
8．
【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得.
【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况：
(1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为，
(2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为，
由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为.
故答案为：.
9．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；
（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果共有种，
而满足的有、、共计3个
故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为
（2） 所有的可能结果共有种
满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个
故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为
所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为
考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．