人教A版 (2019)必修 第一册集合间的基本关系达标测试

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知识点一．集合与集合的关系
（1）一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为B的子集.
记作：
读作：A包含于B(或B包含A).
图示：
（2）如果两个集合所含的元素完全相同（），那么我们称这两个集合相等.
记作：A=B
读作：A等于B.
图示：
知识点诠释：
（1）“是的子集”的含义是：的任何一个元素都是的元素，即由任意的，能推出．
（2）当不是的子集时，我们记作“(或)”，读作：“不包含于”（或“不包含”）．
知识点二．真子集
若集合，存在元素，则称集合A是集合B的真子集。
记作：AB（或BA）
读作：A真包含于B（或B真包含A）
知识点三．空集
不含有任何元素的集合称为空集，记作：.
规定：空集是任何集合的子集。
结论：（1）（类比）
（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（3）若则（类比，则）
（4）一般地，一个集合元素若为n个，则其子集数为2n个，其真子集数为2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。
【题型归纳目录】
题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题
题型二：韦恩图及其应用
题型三：由集合间的关系求参数的范围
题型四：集合间的基本关系
题型五：判断两集合是否相等
题型六：根据两集合相等求参数
题型七：空集的性质
【典型例题】
题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题
例1．已知集合， 则的真子集有________个；若，则________．
【答案】 ； .
【分析】空一：根据集合真子集个数公式进行求解即可；
空二：利用代入法，结合集合元素互异性进行求解即可.
【详解】空一：因为集合中元素的个数为，所以的真子集的个数为：；
空二：因为，所以有或，当时，，这样不符合集合元素的互异性，
当时，，或，当时，集合
当时，，这样不符合集合元素的互异性，所以，故答案为：；
例2．设集合，则集合的子集个数为________
【答案】16
【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.
【详解】解：，故A的子集个数为，故答案为：16
例3．已知集合．
（1）若有两个子集，求的取值范围；
（2）若中至多有两个子集，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由子集的个数得集合中有且只有一个元素，从而可得参数值或范围；
（2）由中元素个数为1或0可得结论．
【详解】（1）①时，为一次方程，，符合题意；
②时，若中只有一个元素，则，即．或．
（2）中至多只有一个元素：
①中只有一个元素，由（1）知或；
②中没有元素，则此时，解得，
所以的取值范围为．
例5．已知集合，且．
(1)求实数的值；
(2)写出集合A的所有子集．
【答案】(1)1(2)，，，，，，，
【分析】（1）分类讨论哪个元素为3，并检验是否满足集合中元素的互异性；（2）结合第一问求出的集合A，写出所有子集.
(1)∵，
当时，，此时，由于集合中的元素不能重复，故舍去
当时，或，当时，符合要求；当时，，此时集合A中有两个0，故舍去，综上：
(2)由（1）知，，故A的所有子集为：，，，，，，，
例7．已知集合满足，求所有满足条件的集合．
【答案】集合为，，，，，，，．
【分析】根据集合中元素个数分类写出集合．
【详解】解：①当中含有2个元素时，为；
②当中含有3个元素时，为，，；
③当中含有4个元素时，为，，；
④当中含有5个元素时，为．
故满足条件的集合为，，，，，，，．
【技巧总结】（分类讨论是写出所有子集的方法）
1.分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏.
2.若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.
题型二：韦恩图及其应用
例8．已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项.
【详解】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.故选：B
例9．已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由图可得，由选项即可判断.
【详解】解：由图可知：，，由选项可知：，故选：D.
例10．已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是( )
①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.
A．①③B．②③
C．③④D．③⑥
【答案】D
【分析】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．
【详解】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，①S∈U，故错误；②F⊆T，故错误，③S⊆T，故正确；
④S⊆F；故错误，⑤S∈F；故错误，⑥F⊆U故正确故选D．
【技巧总结】(Venn图应用)
Venn是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用.
题型三：由集合间的关系求参数的范围
例11．已知，，若，则的值为( )
A．1或－1B．0或1或－1C．D．
【答案】A
【分析】A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒
【详解】，，若，则＝1或－1，故a＝1或－1．
故选：A．
例12．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分、两种情况讨论，结合可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，即当时，，合乎题意；当时，即当时，由可得，解得，此时.综上所述，.故选：A.
例13．已知集合，，若，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围.
【详解】解：，且，，解得，故的取值范围是.
例14．已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是_____.
【答案】
【分析】结合数轴图与集合包含关系，观察即可得到参数的范围.
【详解】在数轴上表示出集合A，B，
由于，如图所示，则.
例15．已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
(1)∵，∴，即，∴实数a的取值范围为；
(2)∵，，
∴，解得，故实数的取值范围为.
例16．已知.
(1)若是的子集，求实数的值；
(2)若是的子集，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)或.
【分析】（1）由题得，解即得解；
（2）由题得，再对集合分三种情况讨论得解.
(1)解：由题得.
若是的子集，则，所以.
(2)解：若是的子集，则.
①若为空集，则，解得；
②若为单元素集合，则，解得.
将代入方程，得，即，符合要求；
③若为双元素集合，，则.综上所述，或.
例17．已知集合．
(1)若是的子集，且至少含有元素，写出满足条件的所有集合；
(2)若，且，求实数的取值集合．
【答案】(1)，，，；(2).
【分析】（1）根据集合包含关系和可直接得到结果；
（2）分别在和两种情况下，根据构造方程可求得结果.
(1)，，可能的集合为：，，，；
(2)当时，，满足；
当时，；若，则或或，解得：或或；
综上所述：实数的取值集合为.
例19.已知集合，，若，求实数的取值范围．
【答案】或
【分析】分析得出，求得，对方程，计算得出，分、、三种情况讨论，在、的前题下，验证成立，在时，可得出，可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.
【详解】因为，
对于方程，.
当时，，则，合乎题意；
当时，，此时，合乎题意；
当时，即当时，则，所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
【技巧总结】（根据集合之间关系，求参数的值或范围）
1.求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示.
2.涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视.
题型四：集合间的基本关系
例22．集合与之间的关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【分析】分别求出集合，中的元素，即可得集合，的关系，进而可得正确选项.
【详解】由于集合，中的元素均为的整数倍，且、（、）都可表示出所有的奇数，因此．故选：C．
例23．已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设可得，结合集合与集合、元素与集合的关系判断各选项的正误即可.
【详解】由题设，，而为自然数集，则，且，
所以，，故A、B、D错误，C正确.故选：C
例24．若集合，，则、、的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分析出集合、为奇数集，可得出，再讨论集合、的包含关系，即可得解.
【详解】由已知可知，集合、为奇数集，则，，故.
故选：A.
【技巧总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的.这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）.
题型五：判断两集合是否相等
例25．下列集合与集合相等的是( )
A．(1,2022)B．
C．D．{(2022,1)}
【答案】C
【分析】根据集合相等，元素相同即可求解.
【详解】(1,2022)表示一个点，不是集合，A不符；集合的元素是点，与集合A不相等，B不符；，故C符合题意；集合{(2022,1)}的元素是点，与集合A不相等，D不符题意.故选：C.
例26．下列各组两个集合和表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接利用集合相等的定义逐一判断求解.
【详解】解：A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故；
B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故；
C选项中因为，则集合，故；
D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故．故选：C．
例27．（多选）下列选项中的两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】AC
【分析】对于A、C：直接解出集合P、Q，即可判断；
对于B：取特殊值1，由，而，即可判断；
对于D：由集合P、Q的类别不一样，即可判断.
【详解】对于A，，，所以P和Q都只含有两个元素1，2，所以；故A正确；对于B，，而，所以；故B错误；
对于C，，，所以；故C正确；
对于D，集合P是数集，而集合Q是点集，所以．故选：AC．
题型六：根据两集合相等求参数
例28．集合，则的值为（ ）
A．0B．1C．－1D．±1
【答案】B
【分析】根据两个集合相等，那么两个集合中的元素完全一致，求出的值，进而计算的值.
【详解】因为，且，所以，即，所以，，
又因为，所以，所以，故选B.
例29．若，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得出或，求解即可.
【详解】因为，所以或，
由可解得（不符合，舍去）或，由可解得，
综上，，则.故选：C.
例30．集合，，若，则______．
【答案】或##或
【分析】由元素互异性可得，即且，可得，再由可得，，在讨论、时，根据元素的确定性列方程组可得的值即可求解.
【详解】因为，所以即，
所以且，可得，因为，所以，，
当时，，，当时，可得：，
当时，，可得：，所以或，故答案为：或.
例31．含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则=___________．
【答案】
【分析】根据集合相等求得值，然后计算．
【详解】由题意，所以，即，所以，，时，与元素互异性矛盾，舍去，
时，两个集合 为．满足题意．所以．故答案为：．
例32．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，求的值．
【答案】
【分析】根据集合相等的定义和集合的定义求解．
【详解】由，可得，（否则不满足集合中元素的互异性）．
所以，或解得或．经检验，满足题意．
所以．
题型七：空集的性质
例34．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.
【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；
②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；
③空集是任意集合的子集，故，正确；
④空集没有任何元素，故，错误；
⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；
⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.
（多选）例36．下列关系式正确的为( )
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据集合相关的基本概念逐项判断即可﹒
【详解】A：集合里面的元素没有顺序，且一个集合是其本身的子集，故A正确；B：空集里面没有元素，故B错误；C：元素与集合是属于或不属于的关系，故C错误；D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒
故选：AD﹒
例37．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：
(1)；
(2)恰有一个元素.
【解析】
(1)若，则关于x的方程没有实数解，则，且，
所以，实数m的取值范围是；
(2)若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，
讨论：当时，，满足题意；
当时，，所以．
综上所述，m的取值范围为．
【同步练习】
一、单选题
1．若，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】利用元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可得解.
【详解】元素与集合的关系用符合“”，1是集合A中的元素，所以，故A正确，B错误；集合与集合的关系用符号“”，所以，故C错误；空集是任何集合的子集，所以，故D错误；故选：A
2．若集合的子集只有一个，则实数的取值情况是（ ）
A．或B．C． D．
【答案】C
【解析】集合是空集的时候满足题意， 求无解时的取值范围即可.
【详解】集合的子集只有一个，所以集合是空集，当时，不满足条件；
当时，有，即，集合是空集，满足条件，综上所述，集合的子集只有一个时，，故选：C.
4．已知集合，，，则（ ）
A．9B．0或1C．0或9D．0或1或9
【答案】C
【分析】根据可得或，根据集合元素的互异性求得答案.
【详解】由可得：或，当时， ，符合题意；
当时，或，但 时，不合题意，故m的值为0或9,故选：C
5．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】讨论和，求得集合，再由新定义，得到的方程，即可解得的值．
【详解】解：集合，，，，若，则，即有；
若，可得，，不满足；若，两个集合有公共元素，但互不为对方子集，
可得或，解得或．综上可得，或或2.故选：A.
6．已知集合，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可
【详解】由题意，集合，即
（1）若，则，此时，成立；故
（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；
（3）若，即或当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；
当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立，综上：，，
故选：A
7．已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】化简集合，再对分三种情况讨论得解.
【详解】由题得，因为，所以当时，
当时，；当时，；
故实数的取值集合是.故选：C
8．若集合，，，则A，B，C之间的关系是（ ）
A．B．AB=CC．ABCD．BCA
【答案】B
【分析】先将A,B,C三个集合里面的分母统一为6，再去比较每个集合的关系.
【详解】将各集合中元素的公共属性化归为同一形式，集合A中，，；集合B中，，；集合C中，，．由与p均表示整数，且，可得AB=C．
故选B.
二、多选题
10．已知集合，集合，则集合可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据集合的包含关系，逐一检验四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】因为集合，对于A：满足，所以选项A符合题意；
对于B：满足，所以选项B符合题意；
对于C：满足，所以选项C符合题意；
对于D：不是的真子集，故选项D不符合题意，故选：ABC.
11．已知集合，，下列说法正确的是（ ）
A．不存在实数使得
B．当时，
C．当时，
D．存在实数使得
【答案】AD
【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定.
【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确.选项B：当时，，不满足，故选项B错误.
若，则①当时，有，；②当时，有此方程组无实数解；
所以若，则有，故选项C错误，选项D正确.故选：AD.
三、填空题
13．若集合，且下列四个关系中有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是______．
①； ②； ③； ④．
【答案】6
【分析】依次假设其中一项是正确的，再结合集合关系推理求解即可.
【详解】解：若①正确，则②③④不正确，可得不正确，即，与矛盾，故①不正确．
若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得；由，，，得满足条件的有序数组为，，，或，，，．
若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得；由②不正确，得，则满足条件的有序数组为，，，．
若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得；由，，，得满足条件的有序数组为，，，或，，，或，，，．
综上所述，满足条件的有序数组的个数为6．故答案为：6
14．下列三个命题中
①若A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝2（n﹣1），n∈Z}，则A＝B；
②若M﹣{x|x＝2n﹣1，n∈N}，B＝{x|x＝2n+1，n∈N}，则M＝N；
③若C＝{x|x2﹣x＝0}，D＝{x|x，n∈Z}，则C＝D；
④若P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝4k，k∈Z}，则P⊆Q．
其中真命题的是_____．
【答案】①③
【分析】根据集合相等的定义逐一进行判断即可．
【详解】①集合和集合都是偶数集，故，①正确；
②集合是由1，3，所有正奇数组成的集合，是由3，5，所有大于1的正奇数组成的集合，所以；
③，，中，当为奇数时，，
当为偶数时，，，，所以，③正确．
④集合是所有偶数的集合，集合是0，，，，8，，部分偶数的集合，所以，故④错误．
故答案为：①③．
15．设是实数，集合，若，则的取值集合是_______.
【答案】
【分析】先求解集合中的一元二次方程可得，由，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】由题意，集合
若，且集合中至多有一个元素，则当时，即时，满足题意；
当时，即，即时，满足题意；
当时，即，即时，满足题意；
综上，的取值集合是故答案为：
16．已知集合，集合是集合M的含有两个元素的子集，且满足对任意的，都有，这里表示两个数x，y中的较大者，则k的最大值为___________.
【答案】11
【分析】写出集合M的含两个元素的所有子集，再求出不符合要求的子集个数即可得解.
【详解】集合M的含有两个元素的子集有：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15个，但是在子集，，中只能取一个，在子集，中只能取一个，在子集，中只能取一个，综上满足条件的两个元素的子集最多有个，所以k的最大值为11.
故答案为：11
四、解答题
17．已知集合，是否存在这样的实数m，使得集合A有且仅有两个子集？若存在，求出所有的m的值组成的集合M；若不存在，请说明理由.
【答案】存在，
【分析】当方程有一解时，集合A只有一个元素即可满足题意.
【详解】存在实数m满足条件，理由如下：若集合A有且仅有两个子集，则A有且仅有一个元素，
即方程只有一个根，∴，解得.∴所有的m的值组成的集合.
18．已知集合.
(1)若，，求实数的取值范围；
(2)若，，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可；
(2)，则是的子集，列出不等式组求解即可.
(1)①若，则，即，此时；
②若，则，解得.
综合①②，得实数的取值范围是.
（2）若，则，解得，所以实数的取值范围是.
19．，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)1(2)或.
【分析】（1）根据，由-4和0是方程的两个根求解；
（2 ）根据，分，，，讨论求解.
(1)解：，
因为，所以-4和0是方程的两个根，
所以，解得，所以实数的值是1；
(2)解：，因为，
所以当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，符合题意；
当时，，解得，
综上：实数的取值范围是或.
20．已知集合，，
（1）若A为空集，求实数a的取值范围；
（2）若B是A的真子集，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1)根据给定条件，利用空集的意义列式作答；
(2)利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【详解】（1）因是空集，则，解得，
所以实数a的取值范围是；
（2）且B是A的真子集，则，解得，
显然，a-1=0与2a+1=1不同时成立，于是得，所以实数a的取值范围.
21．已知集合．
（1）若是的真子集，求的范围；
（2）若，且是的子集，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据是的真子集可得得解；
（2）由是的子集对集合进行讨论可求解.
【详解】（1）∵若是的真子集∴，∴，∴；
（2），∵，∴，，，，
，则，∴；是单元素集合，，
∴此时，符合题意；，不符合.
综上，．