人教A版 (2019)必修 第一册集合的概念习题

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知识点一：集合的有关概念
1．一般地，研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合.
知识点诠释：
（1）对于集合一定要从整体的角度来看待它．例如由“我们班的同学”组成的一个集合A，则它是一个整体，也就是一个班集体．
（2）要注意组成集合的“对象”的广泛性：一方面，任何一个确定的对象都可以组成一个集合，如人、动物、数、方程、不等式等都可以作为组成集合的对象；另一方面，就是集合本身也可以作为集合的对象，如上面所提到的集合A，可以作为以“我们高一年级各班”组成的集合的元素．
2．关于集合的元素的特征
(1)确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则x或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
(2)互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
(3)无序性：集合中的元素的次序无先后之分.如：由1，2，3组成的集合，也可以写成由1，3，2组成一个集合，它们都表示同一个集合.
知识点诠释：
集合中的元素，必须具备确定性、互异性、无序性．反过来，一组对象若不具备这三性，则这组对象也就不能构成集合，集合中元素的这三大特性是我们判断一组对象是否能构成集合的依据．
解决与集合有关的问题时，要充分利用集合元素的“三性”来分析解决，也就是，一方面，我们要利用集合元素的“三性”找到解题的“突破口”；另一方面，问题被解决之时，应注意检验元素是否满足它的“三性”．
3．元素与集合的关系：
(1)如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA
(2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4．常用数集及其表示
非负整数集(或自然数集)，记作N
正整数集，记作N*或N+
整数集，记作Z
有理数集，记作Q
实数集，记作R
知识点二：集合的表示方法
1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内.如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，….
2.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内.具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
知识点诠释：
（1）用描述表示集合时应注意：①弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么），是数，还是有序实数对（点）还是其他形式？②元素具有怎样的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．
（2）用描述法表示集合时，若需要多层次描述属性时，可选用逻辑联结词“且”与“或”等连接；若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围．
【题型归纳目录】
题型一：集合的含义
题型二：元素与集合的关系
题型三：集合中元素的特性及应用
题型四：用列举法表示集合
题型五：用描述法表示集合
题型六：集合表示法的综合应用
题型七集合含义的拓展
【典型例题】
题型一：集合的含义
例1．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ）
A．某班视力较好的同学B．长寿的人
C．的近似值D．倒数等于它本身的数
例2．给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（ ）
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
例3．下列所给对象不能构成集合的是（ ）
A．一个平面内的所有点B．所有小于零的实数
C．某校高一（1）班的高个子学生D．某一天到商场买过货物的顾客
【技巧总结】（判断一组对象能否组成集合的标准）
判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
题型二：元素与集合的关系
例4．用符号“”和“”填空：
（1）______N； （2）1______； （3）______R；
（4）______； （5）______N； （6）0______．
例5．下列关系中正确的个数是（ ）
①，②， ③， ④
A．B．C．D．
例6．已知集合，则 （ ）
A．B．C．D．
例7．设集合，则下列关系式成立的是（ ）
A．B．C．D．
例8．已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．1或0C．0D．或0
例9．已知集合，若，则（ ）
A．-1B．0C．2D．3
题型三：集合中元素的特性及应用
例10．已知集合，，则集合B中元素的个数是（ ）
A．6B．3C．4D．5
例11．已知集合，则集合中元素的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
例12．下列四组集合中表示同一集合的为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
例13．已知集合，，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
（多选题）例14．下列各组中M、P表示不同集合的是（ ）
A．，
B．
C．，
D．，
题型四：用列举法表示集合
例16．用列举法表示下列集合：
(1){x|x是14的正约数}；
(2){(x, y)|x∈{1, 2}, y∈{1, 2}}；
(3){(x, y)|x＋y＝2, x－2y＝4}；
(4){x|x＝(－1)n, n∈N}；
(5){(x, y)|3x＋2y＝16, x∈N, y∈N}.
例17．用列举法法表示下列集合：
（1）B={（x，y）|x+y=4，x∈N*，y∈N*}；
（2）不小于1且不大于17的质数组成的集合A；
(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；
题型五：用描述法表示集合
例18．用描述法表示图中阴影部分的点构成的集合为________．
例19．直角坐标平面中除去两点､可用集合表示为（ ）
A．
B．或
C．
D．
例20．选择描述法表示下列集合：
(1) 不等式3x-8≥7-2x的解集；
(2)所有正奇数组成的集合B；
(3)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D．
【技巧总结】（描述法表示集合的2个步骤）
题型六：集合表示法的综合应用
例21．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
例22．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．
例23．已知集合
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若A中至多有一个元素，求实数的值，并写出相应的集合；
（3）若A中至少有两个元素，求实数的取值范围.
例25．已知．根据下列条件，求实数a的值构成的集合．
(1)当；
(2)当M是单元素集（只含有一个元素的集合）；
(3)当M是两个元素的集合.
例26．已知集合A是方程的解集．
(1)若A是空集，求a的取值范围；
(2)若A是单元素集（集合中只有一个元素），求a的值；
(3)若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
例27．已知集合，其中为常数，且.
(1)若是空集，求的范围；
(2)若中只有一个元素，求的值；
(3)若中至多只有一个元素，求的范围.
题型七集合含义的拓展
例28．对于复数，若集合具有性质“对任意，必有”，则当时，等于( )
A．1B．－1C．0D．
例30．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.
例31．已知集合A的元素全为实数，且满足：若，则．
（1）若，求出A中其他所有元素；
（2）是不是集合A中的元素？请你设计一个实数，再求出A中的元素；
（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？
例32．设集合A由实数构成，且满足：若（且），则．
(1)若，试证明集合A中有元素－1，；
(2)判断集合A中至少有几个元素，并说明理由；
(3)若集合A是有限集，求集合A中所有元素的积．
例33．已知集合，且．
（1）判断是否为中元素
（2）设，求证：
（3）证明：若，则是偶数；
【同步练习】
一、单选题
1．下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
2．若，则的值为（ ）
A．B．C．或D．
3．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
6．方程的所有实数根组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
7．已知关于x的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（ ）
A．3，6，9B．6，9，12C．9，12，15D．6，12，15
8．当一个非空数集满足“如果，则，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题；
①0是任何数域的元素；
②若数域有非零元素，则;
③集合是一个数域
④有理数集是一个数域
其中假命题的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
二、多选题
9．已知集合，，则为（ ）
A．2B．C．5D．
10．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ）
A．B．1C．0D．
12．已知集合，则下列说法中正确的是（ ）
A．但
B．若，其中，则
C．若，其中，则
D．若，其中，则
三、填空题
14．集合，用列举法可以表示为_________．
15．已知集合，则集合=______．（用列举法表示）
16．集合中所有元素之和为，则实数________．
四、解答题
18．设集合，集合，这里是某个正数，且，求集合．
19．已知集合.
(1)若A是空集，求的取值范围；
(2)若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；
(3)若A中至少有一个元素，求的取值范围.
22．设数集由实数构成，且满足：若（且），则.
（1）若，试证明中还有另外两个元素；
（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；
（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.