高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式随堂练习题

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1、直线的交点与方程的解：
求两直线与的交点坐标，
只需求两直线方程联立所得方程组的解即可.
若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
若有，则方程组无解，此时两直线平行；
若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。
2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．
（1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．
（2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论．
（3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系．
二、过两条直线交点的直线系方程
一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数．
由于参数取法不同，从而得到不同的直线系．
经过两直线，交点的直线方程为
，其中是待定系数．
在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线．
三、点到点的距离
1、距离公式：平面内两点，间的距离公式为：.
【注意】公式中和位置没有先后之分，也可以表示为：
2、三种特殊距离：
（1）原点到任意一点的距离为；
（2）当平行于轴时，；
（3）当平行于轴时，.
四、点到直线的距离
1、定义：点到直线的垂线段的长度.
2、距离公式：点到直线的距离.
【注意】（1）直线方程应用一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式.
（2）点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的最短距离；
（3）点到直线的距离公式适用任何情况，当点在直线上时，它到直线的距离为0.
五、平行线间的距离
1、距离公式：两条平行直线，，
它们之间的距离为：
【注意】在使用公式时，两直线方程中和的系数对应相等。
2、两平行线间的距离另外一种解法：
转化为点到直线的距离，在任一条直线上任取一点（一般取直线上的特殊点），
此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离。
题型一 两直线的交点问题
【例1】（多选）若两条直线与有交点，则该交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：
①若方程组无解，则两直线平行；
②若方程组只有一解，则两直线相交；
③若方程组有无数多解，则两直线重合．
其中说法正确的有（ ）
A．① B．② C．③ D．以上都不正确
【答案】ABC
【解析】对于①，若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行，故①正确；
对于②，若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交，故②正确；
对于③，若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合，故③正确. 故选：ABC
【变式1-1】判断下列各组直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
（1），；
（2），；
（3），．
【答案】（1）平行；（2）相交；；（3）相交；
【解析】（1）因为，令，，所以；
（2）因为，所以两直线相交，
联立，解得，所以交点坐标为 ；
（3）因为，所以两直线相交，
联立，解得，所以交点坐标为.
【变式1-2】过两直线的交点，且与直线平行的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由解得，则直线的交点，
又直线的斜率为，则所求直线方程为，整理得.故选：C.
【变式1-3】已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于所求出直线与直线垂直，所以设所求直线为，
由，得，即和的交点为，因为直线过点，
所以，得，所以所求直线方程为，故选：D
题型二 根据交点的情况求参数
【例2】若直线与直线的交点在直线上，求实数a的值．
【答案】
【解析】由题意，联立直线与直线的方程
，解得：故，解得：
【变式2-1】设a为实数，若三条直线，，共有两个不同的交点，求a的值.
【答案】或
【解析】三条直线只有两个交点，因此其中两条平行，另外一条与它们不平行，
直线与直线显然不平行，
由直线与平行得，解得；
由直线与平行得，解得，
所以或．
【变式2-2】若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围．
【答案】
【解析】由得所以两直线的交点坐标为.
又此交点在第四象限，所以，解得，
所以实数m的取值范围是.
【变式2-3】已知直线和相交，且交点在第二象限，则实数的取值范围为____．
【答案】
【解析】当，直线和平行，不满足题意，
故，此时联立方程，解得，
因为交点在第二象限，所以，解得，
故实数的取值范围为．
【变式2-4】若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.
【答案】
【解析】由，可得，由关于，的方程组有唯一解，
可得方程有唯一解，则
故答案为：
题型三 过两直线交点的直线系方程
【例3】经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】设直线方程为，即
令，得，令，得.由，得或.
所以直线方程为或.故选：C.
【变式3-1】求过直线x+y+1＝0与2x+3y﹣4＝0的交点且斜率为﹣2的直线方程．
【答案】2x+y+8＝0．
【解析】设过直线x+y+1＝0 与2x+3y﹣4＝0的交点的直线方程为 x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即 （1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，
它的斜率为 2，解得 λ，∴所求的直线方程为 2x+y+8＝0．
【变式3-2】已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？
【答案】直线，过定点
【解析】因为方程化简得：
为任意实数，方程表示直线.
因为，所以当，直线恒成立，
故直线过定点.
【变式3-3】已知两直线和.
（1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点；
（2）求过与的交点且斜率为的直线方程.
【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）.
【解析】（1）∵，∴两直线相交，
联立两直线方程得解得即两直线交点为.
（2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即.
解法二：显然不是所求方程，
可设所求直线方程为，
整理得，∴，∴，
整理得所求直线方程为.
题型四 点到点的距离问题
【例4】已知点，，那么A，B两点之间的距离等于（ ）
A．8 B．6 C．3 D．0
【答案】C
【解析】因点，，则，
所以A，B两点之间的距离等于3.故选：C
【变式4-1】已知点，求证：是等腰三角形．
【解析】∵，，，
∴，
∵，
∴，∴三点不共线，
∴是等腰三角形．
【变式4-2】求到，，三点距离相等的点的坐标．
【答案】
【解析】设所求点坐标为，
则，解得，因此所求点的坐标为．
【变式4-3】已知，是直线上的两点，若，求的值．
【答案】
【解析】因为，在直线l上，所以，．
根据两点间的距离公式，得，
解得.
【变式4-4】已知直线l经过2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点，则点A(5,0)到l的距离的最大值为________．
【答案】
【解析】联立方程，解得：，故交点坐标为，直线l经过点，
则点A(5,0)到l的距离的最大值为AB的长，且.
【变式4-5】已知是一个长方形，且M是所在平面上任意一个点，求证：．
【解析】因为是长方形，故以为坐标原点，建立如下所示平面直角坐标系：
则，不妨设的坐标为，则，设
故
，
故=，即证.
题型五 点到直线的距离问题
【例5】已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】因为两点到直线的距离相等，
所以有，或，故选：D
【变式5-1】已知的三个顶点是，则的面积为________．
【答案】
【解析】设所在直线方程为，
把点，的坐标代入可求得，求得，，
直线的方程为，即，
点到直线的距离，．
【变式5-2】已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】，，所以，且的中点为，
若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为，即，
则到直线的距离，即，解得或；
所以直线为或；若直线与平行，设直线为，
则到直线的距离，解得或，
所以直线为或；综上可得满足条件的直线有4条；故选：D
【变式5-3】点P为直线上任意一个动点，则P到点的距离的最小值为_______.
【答案】3
【解析】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3.
题型六 平行线间的距离问题
【例6】直线：与：之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，即与平行，故与之间的距离为.故选：B.
【变式6-1】已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意得，直线的方程为，即，
设所求直线的方程为，则，解得或，
∴所求直线的方程为或.故选：C.
【变式6-2】已知直线，．若，求与的距离．
【答案】
【解析】由，得，解得或．当时，两直线方程均为，不合题意；当时，方程为，即，方程为，即，
所求距离为．
【变式6-3】已知直线和，若直线l到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线l的方程为______．
【答案】或
【解析】直线可化为，所以，且直线l与直线l1与l2平行,所以设直线的方程为 (c≠-2且c≠-9).由题意可得：，解得：或，故直线的方程为或.
故答案为：或.
2.3 直线的交点坐标与距离公式
【题组1 两直线的交点问题】
1、直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】联立方程，解得：所以两直线的交点为，所以直线的斜率为，则直线的方程为：，即.故选：B
2、经过两条直线和的交点，并且平行于直线的直线的一般式方程为______．
【答案】
【解析】由解得，故交点坐标为，由平行于直线可得斜率为1，
故方程为，化为一般方程为.故答案为：.
3、经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线方程为_______．
【答案】
【解析】由，解得，即直线和的交点坐标为，
设与直线垂直的直线方程为，则，解得，
所以直线方程为.
4、若直线经过直线和的交点，则___________.
【答案】
【解析】由题意，直线，，交于一点，所以，得，所以直线过点，得，求解得.
5、已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于l1：a1x+b1y﹣1＝0和l2：a2x+b2y﹣1＝0的交点情况是（ ）
A．存在k，P1，P2使之无交点
B．存在k，P1，P2使之有无穷多交点
C．无论k，P1，P2如何，总是无交点
D．无论k，P1，P2如何，总是唯一交点
【答案】D
【解析】P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y＝kx+1（k为常数）上两个不同的点，
直线y＝kx+1的斜率存在，∴k，即a1≠a2，并且b1＝ka1+1，b2＝ka2+1，
∴a2b1﹣a1b2＝ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1＝a2﹣a1，，解得：（a1b2﹣a2b1）x＝b2﹣b1，
即（a1﹣a2）x＝b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：D．
6、若P(2,3)既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的中垂线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线与直线方程相减可得：，
把点代入可得：，线段的中垂线方程是，化为：．故选．
【题组2 根据交点求参数】
1、如果直线经过直线与直线的交点，那么b的值等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由，解得，所以，．故选：D．
2、若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（ ）
A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1
【答案】C
【解析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，∵直线和直线不平行，∴直线和直线平行或直线和直线平行，∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为，∴或.故选：C.
3、若三直线：，：，：经过同一个点，则______
【答案】
【解析】由，解得，∴直线与的交点坐标坐标为．由题意得点在直线上，∴，解得．
4、直线与的交点在第一象限，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】当时，与平行，不合题设；
当时，联立两直线方程，解得，
∴两直线的交点坐标为，又两直线的交点在第一象限，
∴且，解得.故答案为：.
5、已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】由方程组中的两个方程对应两条直线，则方程组的解就是两直线的交点，要使得两直线只有一个交点，则满足，即，解得.故答案为：.
6、若三条直线不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【解析】三条直线不能构成三角形 至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点.
若∥，则；若∥，则；若∥，则的值不存在；
若三条直线相交于同一点，直线和联立：，
直线和交点为;直线和联立：，
直线和交点为;三条直线相交于同一点两点重合或.故实数的取值最多有个.故选:C
【题组3 过两直线交点的直线系方程】
1、直线l经过原点，且经过直线与直线的交点，求直线l的方程．
【答案】
【解析】经过直线与直线的交点的直线可设为：
把代入，得：，解得：，所以，所求的直线方程为：.
2、经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为__________．
【答案】x－y＝0.
【解析】过两直线交点的直线方程可设为3x－2y＋1＋λ(x＋3y＋4)＝0，
即(3＋λ)x＋(3λ－2)y＋4λ＋1＝0，因为它与直线x－y＋4＝0平行，
所以3＋λ＋3λ－2＝0，即λ＝－，故所求直线为x－y＝0.
3、经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________.
【答案】x+y+1=0或3x+4y=0
【解析】由题意可设所求直线方程为，即
令，得令，得∵所求直线方程在两坐标轴上的截距相等
∴，即或∴所求直线方程为或
故答案为或
4、已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意两直线和的交点为，
所以在直线上，
所以过两点所在直线方程为，故选：B
【题组4 两点间距离问题】
1、求下列两点间的距离：
（1），； （2），； （3），．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）因为，，由两点间的距离公式有；
（2）因为，，由两点间的距离公式有；
（3）因为，，由两点间的距离公式有.
2、已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，求线段的长．
【答案】
【解析】在平面直角坐标系中，，则为直角三角形，且为斜边，
故.
3、已知，证明是等边三角形．
【解析】因为，
所以，，
，所以，所以是等边三角形．
4、用坐标法证明：在△ABC中，AO为边BC上的中线，则AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)．
【解析】如图，以O为坐标原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
设B（－a，0)， C（a，0)， A（m，n)，
则AB2＝（m＋a)2＋n2 ，AC2＝（m－a)2＋n2，故AB2＋AC2＝2（m2＋n2＋a2)．
又AO2＝m2＋n2，BO2＝a2，所以AB2＋AC2＝2（AO2＋BO2)．
5、如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）试判断的形状；
（2）设点D为BC的中点，求BC边上中线的长．
【答案】（1）直角三角形；；（2）.
【解析】（1）根据两点间的距离公式，得，，，，
即，所以是直角三角形.
（2）依题意，线段BC的中点，，
所以BC边上中线的长为.
【题组5 点到直线的距离问题】
1、点到直线的距离等于___________.
【答案】
【解析】由题意知：直线，故点到直线的距离为.故答案为：.
2、在第一象限的点到直线的距离为3，则a的值为__________．
【答案】4
【解析】在一象限，所以，点到直线的距离为3，
则，解得：或.因为，所以.
3、点到直线的距离等于4，则实数m___________.
【答案】或4
【解析】由题意可得：，解得或．
故答案为：或4．
4、点到直线的距离的取值范围为____．
【答案】
【解析】记为点到直线的距离，
则，其中；当变化时，的最大值为5，最小值为，则的最大值为的最小值为，即距离的取值范围为.
5、若点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意得：点在直线上，则点P到坐标原点的最小距离为原点到直线的距离，即，故选：C
【题组6 平行线间的距离问题】
1、直线 与直线 之间的距离为_________.
【答案】##
【解析】因为直线 与直线平行,而直线可化为，故直线 与直线之间的距离为.
2、已知直线和互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】D
【解析】由直线平行可得，解得，则直线方程为，即，则距离是，故选：D.
3、（多选）到直线的距离等于的直线方程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】因为所求直线与直线的距离为，所以可得所求直线与已知直线平行，
设所求直线方程为：，，，解得：或，
故所求直线方程为：或，故选：CD.
4、已知直线与平行，且直线与直线之间的距离为，求m、n的值．
【答案】；或.
【解析】因为直线与平行，所以，解得，，
又因为直线与直线之间的距离为，所以，解得或.
综上，m的值为；n的值为或.
5、两平行直线，分别过，.
（1），之间的距离为5，求两直线方程；
（2）若，之间的距离为d，求d的取值范围.
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）当，斜率不存在时，易知，，之间的距离为1，不合题意；
当，斜率存在时，设斜率为，则，
化为一般式得，，
由，之间的距离为5，可得，
解得或，当时，；
当时，.故两直线方程为
或.
（2）如图：当，旋转到和垂直时，
，之间的距离d最大为，
当，旋转到和重合时，距离为0，
又两平行直线，不重合，故.