高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线与圆、圆与圆的位置习题

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1、几何法判断直线与圆的位置关系：
直线与圆，圆心到直线的距离
（1）直线与圆相离无交点；
（2）直线与圆相切只有一个交点；
（3）直线与圆相交有两个交点.

2、代数法判断直线与圆的位置关系：
联立直线方程与圆的方程，得到，通过解的个数来判断：
（1）当时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；
二、直线与圆相交时的弦长求法：
1、几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，
整理出弦长公式为：
2、代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；
3、弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长
三、直线与圆相切时的切线问题
1、求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程。
（1）若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；
（2）若点在圆外，过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况
【注意】过圆内一点，不能作圆的切线。
2、求过圆上一点的切线方程
法一：先求出切点与圆心的连线斜率，
若不存在，则结合图形可直接写出切线方程；
若，则结课图形可直接写出切线方程；
若存在且，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式写出切线方程。
法二：若不存在，验证是否成立；
若存在，设点斜式方程，用圆心到直线的距离等于半径列方程，解出方程即可。
3、过圆外一点的圆的切线方程
法一：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
由圆心到直线的距离等于半径，即可求出的值，进而写出切线方程；
法二：当斜率存在时，设为，则切线方程为，即
代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由，求得，切线方程即可求出。
四、与圆的切线相关的结论
1、过圆上一点的圆的切线方程为；
2、过上一点的圆的切线方程为
3、过外一点作圆的两条切线，切点分别为，
则切点弦所在直线方程为：
4、若圆的方程为，
则过圆外一点的切线长为.
5、圆心的三个重要几何性质：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在某一条弦的中垂线上；
（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
题型一 直线与圆的位置关系判断
【例1】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【答案】A
【解析】因为圆的圆心坐标为，半径为；所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆的位置关系是相离.故选：A.
【变式1-1】圆与直线的位置关系为（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【解析】直线可化为，所以恒过定点.把代入，有：，所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交，故选：C
【变式1-2】（多选）直线和圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切或相离 C．相交 D．相切
【答案】CD
【解析】∵圆可化为∴圆心为（0，1），半径为1，
∵直线恒过点（1，1），且点（1，1）在圆上
当时，直线与圆相切，
当时，直线与圆相交，
∴直线和圆的关系是相交或相切，故选：CD．
【变式1-3】已知点在圆上，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断
【答案】B
【解析】由题意得，又，即直线与圆相切，故选：B
【变式1-4】直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定
【答案】B
【解析】因为，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相离.故选：B.
【变式1-5】直线与圆的大致图象可能正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，因为，所以圆过原点，故A不正确；
对于B，圆心坐标在第一象限，，，直线的截距与圆心纵坐标相符合，故正确；
对于C，圆心坐标在第三象限，，，故直线过一三四象限，故C不正确；
对于D，由题知直线的截距与圆心纵坐标相等，D不符合，故不正确；故选：B
题型二 由直线与圆的位置关系求参数
【例2】已知圆与直线相切，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的标准方程是，圆心为，半径为2，所以，解得．故选：A．
【变式2-1】已知对任意的实数k，直线l：与圆C：有公共点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由直线可化为，则直线l过定点，因为直线l：与圆C：有公共点，所以定点在圆C上或圆C内，可得，解得，故选：B
【变式2-2】若直线与曲线恰有两个不同公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】直线过定点，曲线为以为圆心，1为半径，且位于轴上半部分的半圆，如图所示，当直线 过点 时，直线 与曲线有两个不同的交点，此时 ，解得 .
当直线 和曲线 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心 到直线的距离，解得，结合图像可知，当 时，直线 和曲线 恰有两个交点，故选：B
【变式2-3】若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程是恒过定点，斜率为k的直线，
曲线，即，
是圆心为，半径在直线及右侧的半圆，半圆弧端点，
在同一坐标系内作出直线与半圆C：，
如图，当直线与半圆C相切时，由得切线PT的斜率，
当直线PT绕点P逆时针旋转到过点A的直线的过程中的每一个位置的直线与半圆C均有两个公共点，包含直线PA，不包含直线PT，旋转到其它位置都没有两个公共点，直线PA的斜率，所以直线与曲线有两个不同的交点，
则实数的取值范围是.故选：A
【变式2-4】（多选）若直线与曲线有公共点，则实数m可以（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题知，两边平方整理得，
所以，曲线是以为圆心，半径为2左半圆，如图，
当直线与曲线相切时，由，解得，
当直线过点时，，
所以，结合图形可知，实数m的取值范围是：．
故实数m可以为内的任意值.
故选：BC
【变式2-5】直线与半圆有两个交点，则的值是____．
【答案】
【解析】由半圆，即，如图所示，当直线在第三象限与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，
解得：或(舍去)，当直线过点时，直线与圆有两个交点和，把代入中，可得 ，解得，则直线与圆有两个交点时，的范围是．故答案为：
题型三 求圆的切线方程
【例3】已知直线经过点，且与圆相切，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线经过点，且与圆相切，则,故直线的方程为，即.故选：A.
【变式3-1】过点作圆的切线，则的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【解析】根据题意，设圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0的圆心为C，圆x2+y2﹣2x﹣6y+2＝0，即，其圆心为（1，3），又由点M的坐标为（3，1），有，即点M在圆上，则，则切线的斜率k＝1，则切线的方程为y﹣1＝（x﹣3），即x﹣y﹣2＝0；故选：C．
【变式3-2】过点作圆：的切线，则切线的方程为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】由题意可设切线的方程为，即，圆心到直线的距离，，或，切线的方程为或．故选：D
【变式3-3】（多选）已知圆，下列命题正确的是（ ）
A．为过点的圆的一条切线
B．为过点的圆的一条切线
C．为过点的圆的一条切线
D．为过点的圆的一条切线
【答案】AC
【解析】圆的圆心为，半径，
故为过点的圆的一条切线，A正确；
不是过点的圆的一条切线，B错误；
当直线斜率存在时，设过点切线为，则由圆心到直线距离等于半径得：，解得：，所以切线为，C正确，D错误，故选：AC
【变式3-4】自点发出的光线经过轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则满足条件的反射光线所在直线的斜率之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】关于轴的对称点为，题中反射光线与圆相切，即为过点的圆的切线，切线斜率显然存在，设切线方程为，即，
圆标准方程为，圆心为，半径为，点到直线的距离为所以，化简得，所以．故选：C.
【变式3-5】过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为______.
【答案】
【解析】不妨设切点，，圆心坐标为，
则有：
根据题意可得：
又切点均在圆上，则有：；
则有：，解得：同理有：
解得：说明，两点均在直线上
故直线AB的方程为：
题型四 与切线长有关的问题
【例4】过点作圆的切线，切点为B，则( )
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【解析】，故圆的圆心为C，半径r＝2，
故.故选：D.
【变式4-1】已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆作切线，切点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圆，可知该圆的圆心坐标为，半径为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在直线上，
所以有，因为过点向圆作切线，切点为，所以
所以，故选：C
【变式4-2】已知圆，P为抛物线上的动点，过点P作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径，因为为抛物线上的动点，设，则，所以当时，过点作圆的切线，此时切线长最小，最小为；故选：C
【变式4-3】设是圆上的动点，是圆的切线，且，则点到点距离的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．15
【答案】B
【解析】由圆，可知圆心，半径为3，又，所以，即点的轨迹方程为，故点到点距离的最小值为.故选：B.
【变式4-4】已知直线，圆，P为l上一动点，过点P作圆C的切线PM，PN，切点为M，N，则四边形PMCN面积的最小值为（ ）．
A． B．7 C．8 D．
【答案】A
【解析】如图所示：圆的圆心为，半径为 ，
圆心C到直线直线的距离为，
，所以四边形PMCN面积，故选：A
题型五 切点弦及其方程应用
【例5】过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，即，圆心为，半径.当斜率不存在时，直线与圆相切，切点为；当斜率为0时，直线与圆相切，切点为.故直线方程为斜率，直线方程为，即.故选：A.
【变式5-1】已知直线是圆的对称轴，过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，圆C的标准方程为，即圆心为 C(2,1)，半径为2.
点(2,1)在直线上，即 点A的坐标为(-4,-1)
过点A作圆C的切线所得切线长为
以点A为圆心，6为半径的圆A的方程为
圆A与圆C的方程作差得，即直线BD的方程为，故选：A.
【变式5-2】已知点P为直线上的动点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A､B，则直线必过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，圆的圆心为，一般方程为①，
线段中点坐标为，，所以以线段为直径的圆的方程为，整理得②，
①-②并化简得，即，
.所以定点坐标为.故选：A
【变式5-3】过圆：外一点作圆的切线，切点分别为、，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【解析】如图，结合题意绘出图像：因为圆：，直线、是圆的切线，
所以，，，，
因为，所以，，
根据圆的对称性易知，则，
解得，，故选：C.
题型六 圆的弦长问题
【例6】直线l:被圆C：截得的弦长为
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意得圆心到直线l:的距离为，故直线l:被圆C：截得的弦长为，故选：B
【变式6-1】已知直线与圆：相交于、两点，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：若，则，此时，，；必要性：若，因为，则圆心到直线的距离，即，解得.故选：C
【变式6-2】直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心为，半径，又直线，直线恒过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，此时弦心距为．所截得的最短弦长：．故选：C．
【变式6-3】已知直线：恒过点，过点作直线与圆C：相交于A，B两点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【解析】由恒过，又，即在圆C内，要使最小，只需圆心与的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由，圆的半径为5，
所以，故选：A
题型七 直线与圆的距离问题
【例7】已知圆与直线，则圆上到直线的距离为1的点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由得，则圆的圆心为，半径，由，
则圆心到直线的距离，∵，∴在圆上到直线距离为1的点有两个.故选：B.
【变式7-1】圆上到直线的距离为的点的个数是____.
【答案】4
【解析】圆， 即，表示以为圆心，以为半径的圆. 圆心到直线的距离为， ， 故圆上到直线的距离为的点共有4个.
【变式7-2】（多选）若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则的取值可（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】圆的圆心为，半径为，由题意可知，圆心到直线的距离为，所以，，解得或故选：BD.
【变式7-3】已知圆的方程为x2＋y2－4x－6y＋11＝0，直线l：x＋y－t＝0，若圆上有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，则参数t的取值范围为（ ）
A．(2，4)∪(6，8) B．(2，4]∪[6，8) C．(2，4) D．(6，8)
【答案】A
【解析】由题意，圆的标准方程为，所以圆心坐标，半径为，
有且只有两个不同的点到直线l的距离等于，故圆心到直线的距离，
即，化简得，解得或，故选：A
【变式7-4】已知圆，直线：，圆上至少有三个点到直线的距离都是，则的取值范围是________.
【答案】
【解析】由圆的方程得：圆的圆心为原点，半径为；
若圆上恰有个点到直线的距离等于，则到直线：的距离等于，若圆上至少有三个点到直线的距离都是，则满足，
∵直线的一般方程为：，∴，解得：，
即的取值范围是.故答案为：.
题型八 直线与圆的实际应用
【例8】已知在某滨海城市A附近的海面出现台风活动，据监测，目前台风中心位于城市A的东偏南60°方向，距城市A300km的海面点P处，并以20km/h的速度向西偏北30°方向移动．已知该台风影响的范围是以台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则城市A受台风影响的时间为（ ）
A．5h B．h C．h D．4h
【答案】B
【解析】如图，
，，台风中心沿方向以的速度移动，台风中心距离城市A的最短距离为又台风中心为圆心的圆形区域，半径为km．则台风中心在以城市A为圆心半径为km的圆内时，城市A受台风影响以城市A为圆心半径为km的圆截直线所得弦长为km，则城市A受台风影响的时间为
【变式8-1】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A．6.48 B．5.48 C．4.48 D．3.48
【答案】A
【解析】以O为原点,以AB所在直线为x轴,以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
设圆心坐标为（0，a），则P(0,10),A(-50,0).可设圆拱所在圆的方程为,
由题意可得：，解得： .所以所求圆的方程为.将x=-30代入圆方程,得: ,因为y>0,所以.故选：A.
【变式8-2】某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向米的处出发，沿处西北方向走向位于设备正北方向的处，则这名工作人员被持续监测的时长为（ ）
A．1分钟 B．分钟 C．2分钟 D．分钟
【答案】C
【解析】以设备的位置为坐标原点，其正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则，，可得，圆．
记从处开始被监测，到处监测结束，因为到的距离为米，所以米，故监测时长为分钟．故选：C.
【变式8-3】如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h．
（1）求外籍船航行路径所在的直线方程；
（2）问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
【答案】（1）；（2）能，持续时间为小时
【解析】（1）以为原点，东西方向为轴，南北方程为轴，建立直角坐标系，如图所示：
则，，圆：则直线：，即。
外籍船航行路径所在的直线方程为：。
（2）设到直线的距离为，则
所以外籍轮船能被海监船监测到。设监测时间为，则
所以外籍轮船被监测到的持续时间时小时。
2.5.1 直线与圆的位置关系
【题组1 直线与圆的位置关系判断】
1、直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】B
【解析】圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，故选：B
2、已知点在圆内部，则直线与圆的公共点有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1或2个
【答案】A
【解析】因为点在圆内部，所以，圆的圆心到直线的距离，所以圆与直线相离，没有公共点，故选:A.
3、直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】直线恒过定点，又，即点在圆内部，所以直线与圆相交，故选：A
4、不论k为何值，直线kx－y＋1－3k＝0都与圆相交，则该圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，直线恒过点，
将点代入中可得；
将点代入中可得；
将点代入中可得；
将点代入中可得；
所以直线恒过的定点在 内，所以当为任意实数时，直线都与圆相交，故选：B
5、方程的两个不等实根为m，n，那么过点，的直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切或相交 C．相切 D．与的大小有关
【答案】B
【解析】由题设有且，故均在直线上，所以的直线方程为：，圆心（原点）到直线的距离为，
而，故直线与圆相交或相切，故选：B.
6、在同一直角坐标系中，直线与圆的位置可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的可知，直线与x轴的交点为圆的圆心，即直线过圆的圆心，圆的半径半径为，圆和y轴相切，直线在轴上的截距为，结合以上几何关系，排除ABD，故选：C．
【题组2 由直线与圆的位置关系求参数】
1、已知直线与圆相切，则实数a的值为_________．
【答案】
【解析】由题可得圆的圆心为，半径为，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，即，解得.
2、已知直线与圆相交，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆心到直线的距离，即，解得选：D
3、已知直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与圆有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以实数的取值范围是，故选：B.
4、如果直线与曲线有公共点，那么b的取值范围是______．
【答案】
【解析】由题设，表示圆的上半部分，如下图：
当直线与圆在第一象限相切时，，则；
当直线过时，；由上图，要使直线与曲线有公共点，只需.故答案为：
5、若直线与曲线有两个不同交点，则k的取值范围是（ ）
A．（，] B．[，） C．[，） D．（0，）
【答案】B
【解析】由，得：，，
如图所示，符合题意得直线夹在OA，OB之间，显然，OA的斜率为，
由，，结合二倍角正切公式可得：，所以k的取值范围为：，故选：B．
【题组3 求圆的切线方程】
1、过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】由圆心为，半径为，斜率存在时，设切线为，则，可得，所以，即，斜率不存在时，显然不与圆相切；
综上，切线方程为.故选：C
2、过点与圆相切的直线是_________．
【答案】
【解析】由题意，因为，所以点在圆上，所以过点与圆相切的直线的斜率，所以切线方程为，即，
故答案为：.
3、已知圆：，则过点的圆的切线方程为______．
【答案】
【解析】易知，当直线斜率不存在时，直线方程为，不满足题意；当直线斜率存在时，设其方程为，即，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，所以直线方程为.
故答案为：.
4、过点且与圆相切的直线的方程是______．
【答案】或
【解析】当直线l的斜率不存在时，因为过点，所以直线，此时圆心到直线的距离为1=r，此时直线与圆相切，满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，所以，即，因为直线l与圆相切，所以圆心到直线的距离，解得，所以直线l的方程为.
综上：直线的方程为或
5、过点的直线，与圆心在原点、半径为3的圆相切，则该直线方程为______．
【答案】或
【解析】当直线斜率不存在时，易得直线方程为，此时圆心到直线的距离为3，直线和圆相切，符合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
由圆心到直线的距离为3，可得，解得，即，整理得，故直线的方程为：或.
【题组4 与切线长有关的问题】
1、过点作圆的切线，切点为，则线段的长为__________.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径
则则
2、直线平分圆的周长，过点作圆C的一条切线，切点为Q，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】圆的圆心为，半径为，
因为直线平分圆的周长，所以直线经过，所以，故，由已知，，，圆的半径为3，所以，故选：B.
3、经过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】直线上任取一点作圆的切线，设切点为
圆，即圆心，切线长为
所以切线长的最小值为，故选：A
4、已知圆，圆，过动点P分别作圆、圆的切线PA，PB（A，B为切点），使得，则动点P的轨迹方程为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得．因为两圆的半径均为1，则，
则，即．
所以点P的轨迹方程为．故选：D
5、设点为直线上一点，则由该点向圆所作的切线长的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【解析】由题知，圆化简为：，则圆心，半径为，
所以由点向圆所作的切线长为：
，
当时，切线长取得最小值4，故选：C.
6、过直线上一点P作圆M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得四边形PAMB的面积为的点P有两个，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【解析】由圆M：可知，圆心，半径为1，∴，
∴四边形PAMB的面积为，
∴，要使四边形PAMB的面积为的点P有两个，则，解得.故选：A.
【题组5 切点弦及其方程应用】
1、过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．
【答案】
【解析】设切点分别为，因为点在圆上，
所以以为切点的切线方程分别为：，
而点在两条切线上，所以，即点P满足直线.
故答案为：.
2、已知点P是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线的距离的最大值为，则实数m=________．
【答案】4
【解析】连接，，，，设与相交于点，
易知被垂直平分，，圆心到直线的距离为，
中，有，即，
∵圆心O到直线的距离的最大值为，则的最小值为，
依題意，知的最小值为点到直线的距离，
∴，即，∵，∴.
3、过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，可化为，∴圆心，半径，则有，切线段长，若线段长为，则，得.故选：B.
4、已知圆，过动点分别做直线、与圆相切，切点为、，设经过、两点的直线为，则动直线恒过的定点坐标为__________．
【答案】
【解析】设点为圆上一点，当的斜率存在且不为零时，直线的斜率为，
此时，圆在点处的切线方程为，即，
当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足，
当与轴重合时，，，此时切线方程为，满足.
综上所述，圆在其上一点处的切线方程为.
设点、，则直线的方程为，直线的方程为，
由题意可得，所以，点、的坐标满足方程，
故直线的方程为，即，
由，解得，因此，直线恒过的定点坐标为.
5、已知圆和圆，过圆上任意一点作圆的两条切线，设两切点分别为，则线段长度的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，，，，
∴由得，
，∵，，∴，
∴，故选：C．
【题组6 圆的弦长问题】
1、直线被圆所截得的弦长为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【解析】由题意圆心，圆C的半径为3，故C到的距离为，
故所求弦长为.故选：A.
2、已知两条直线与被圆C截得的线段长均为2，则圆C的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为两条直线与，所以∥，所以与间的距离为，所以圆心C到直线的距离为2，因为直线被圆截得的弦长为2，所以圆的半径为，所以圆C的面积为，故选：A
3、已知直线 l 过点，则直线 l 被圆O：截得的弦长的最小值为（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【解析】依题意可知在圆内，且，圆O的半径为．当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，即弦长的最小值为，故选：B．
4、直线与圆相交于A，B两点，若，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令圆的圆心到直线l的距离为d，而圆半径为，弦AB长满足，
则有，又，于是得，解得，所以实数m的取值范围为.故选：B
5、（多选）已知直线l：与圆C：交于A，B两点，则弦长|AB|的可能取值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．5
【答案】BC
【解析】由，得，令解得故直线l恒过点.圆心，半径，，则，即，故选：BC.
【题组7 直线与圆的距离问题】
1、圆上到直线的距离为的点的个数为________.
【答案】2
【解析】圆方程变形得：，即圆心，半径，圆心到直线的距离，，则圆上到直线的距离为的点的个数为2个.
2、已知圆：，直线：，设圆上到直线的距离等于1的点的个数为k，则___________.
【答案】2
【解析】由圆的方程得到圆心，半径，圆心到直线的距离，且，圆上到直线的距离等于1的点的个数为2，即．
3、（多选）已知圆：，直线：．圆上恰有个点到直线的距离为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由圆的方程知：圆心，半径；圆上恰有个点到直线的距离为，圆心到直线的距离，即，解得：或.故选：BC.
4、若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】如下图所示：设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，，即.
5、设b为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，求b的取值范围．
【答案】或
【解析】由曲线，可得，
表示以原点为圆心，半径为的右半圆，是倾斜角为的直线
与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；
②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
综上可知：或.
【题组8 直线与圆方程的应用】
1、一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度最接近（ ）
A．13.1米 B．13.7米 C．13.2米 D．13.6米
【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，
则圆的方程为，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴ 圆过点,
∴，∴∴圆的方程为，
当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，
则，∴，
∴当水面下降1米后，水面宽度为，约为13.2，故选：C.
2、一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过（ ）
A．1.4米 B．3.0米 C．3.6米 D．4.5米
【答案】C
【解析】可画出示意图如图所示，
通过勾股定理解得米．故选：C.
3、“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦尺，弓形高寸，则阴影部分面积约为（注：，，1尺=10寸）
A．6.33平方寸 B．6.35平方寸 C．6.37平方寸 D．6.39平方寸
【答案】A连接OC，设半径为r，寸，则，在直角三角形中，
即，解得 则 ，所以则
所以扇形的面积 三角形的面积
所以阴影部分面积为，所以选A
4、为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系．
（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
（2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
【答案】（1）；；（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解析】（1）由题意得，∴；
（2）设圆的方程为， 因为该圆经过三点，
∴，得到.所以该圆的方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，圆心（6，8）到直线的距离，所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.即在安全警示区内行驶时长为半小时.
5、一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距离小岛10海里范围内可能存在暗礁．
（1）若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，写出暗礁所在区域边界的⊙A方程．
（2）科考船先向东行驶了50海里到达B岛后，再以北偏西30°方向行驶的过程中，是否有触礁的风险？
【答案】（1）；（2）有触礁的风险
【解析】（1）如图，过A作y轴垂线，垂足为B，
且OA＝40
∴AB＝20，，圆心（20，）
设圆方程：∴
（2）当船向东行驶50海里进B（50，0）
则北偏西30°，直线的倾斜角
则直线方程：
圆心到直线距离
，有触礁的风险．