人教A版必修第一册高一数学上册同步讲与练第21讲 指数函数对数函数压轴题精选（2份，原卷版+解析版）

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第21讲 指数函数对数函数压轴题精选一、单选题1．已知两条直线和，与函数的图像从左至右相交于点,,与函数的图像从左至右相交于,．记线段和在轴上的投影长度分别为，，当变化时，的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出函数图像，结合图像计算四点的横坐标，然后求出线段和在轴上的投影长度，，代入，表达关于的函数，整理后，换元法利用基本不等式求最小值.【详解】作出函数图像如图，如图所示，设点，，，，则，，此时有，，，，解得，，，，线段和在轴上的投影长度分别为，，，则 ，令，则，当且仅当，即时取得最小值，此时的最小值为.故选：B.2．已知函数是偶函数，函数的最小值为，则实数m的值为（       ）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性求出参数，在利用换元法把问题转化为含参的二次函数问题，再通过讨论参数来处理二次函数轴动区间定的问题进行求解.【详解】因为函数是偶函数，所以，即，所以，其中，所以，解得，所以，所以，故函数的最小值为．令，则，故函数的最小值为等价于的最小值为，等价于或，解得．故A，C，D错误.故选：B．3．关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称       ②在区间单调递减③的极大值为0                           ④有3个零点其中所有正确结论的编号为（       ）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】根据给定函数，计算判断①；探讨在上单调性判断②；探讨在和上单调性判断③；求出的零点判断④作答.【详解】函数的定义域为，对于①，，则，，的图象关于直线对称，①正确；对于②，当时，，在单调递增，②不正确；对于③，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；对于④，由得：，即或，解得或，于是得有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D4．已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】判断的奇偶性与单调性，由题意列不等式后求解【详解】由得定义域为，，故为偶函数，而，在上单调递增，故在上单调递增，则可化为，得解得故选：D5．已知函数，若实数满足，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题可得函数关于对称，且在上单调递增，在上单调递减，进而可得，即得.【详解】∵函数，定义域为，又，所以函数关于对称，当时，单调递增，故函数单调递增，∴函数在上单调递增，在上单调递减，由可得，，解得，且.故选：D.6．函数的定义域为，若满足：（1）在内是单调函数：（2）存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数是“梦想函数”，则的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可判断函数为单调递增函数，构造函数，可以求出使得有两解的t的取值范围.【详解】因为 是单调函数，若 ，则是减函数，所以为增函数；若，则是增函数，所以为增函数；由于，，所以所以，又因为 ，所以满足有两解的t的取值范围为 .故选：D7．设函数（a，，且），则函数的奇偶性（       ）A．与a无关，且与b无关 B．与a有关，且与b有关C．与a有关，且与b无关 D．与a无关，且与b有关【答案】D【分析】根据奇偶性的定义域关于原点对称，及奇偶性定义判断参数满足的条件.【详解】由函数，令，即，方程的一个根为，要保证函数定义域关于原点对称，需另一个根为，即，解得，，即函数的定义域为当时，，为奇函数；当时，函数为非奇非偶函数，所以函数的奇偶性与无关，但与有关，故选：D8．已知是减函数，则a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分段函数在上单调递减的特征直接列出不等式组求解即得.【详解】因函数是定义在上的减函数，则有，解得，所以的取值范围是.故选：D9．若函数是奇函数，则使成立的x的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由为奇函数，根据奇函数的定义可求a，代入即可求解不等式.【详解】∵是奇函数，，即，整理可得， ，，， ，， ，解可得. 所以不等式的解集为故选：D.10．已知直线，若分别与函数的图象相交于（从左到右）个不同的交点，曲线段在轴上投影的长度为，则当取得最小值时，的值为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，易得，再结合对数运算以及均值不等式即可求解.【详解】设点的横坐标分别为，则结合函数的图象，易得.由题意得，，，故，因此，当且仅当，即时，取等号.因此当取得最小值时，.故选：C.二、多选题11．函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足①在上是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的“倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（       ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.【详解】A：为增函数，若存在“3倍值区间”，则，结合及的图象知，方程无解，故不存在“3倍值区间”，A错误；B：为减函数，若存在“3倍值区间”，则有，得，又，，所以可取，，所以存在“3倍值区间”，B正确；C：为增函数，若存在“3倍值区间”，则，得，所以存在“3倍值区间”，C正确；D：当时，；当时，，从而可得在上单调递增，若存在“3倍值区间”且，则有，解得，不符合题意，所以不存在“3倍值区间”，D错误．故选：BC12．已知，函数的值域是，则下列结论正确的是（       ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】CD【分析】先对分段函数去绝对值讨论单调性，作出，和，的图象，时，由图可得m的范围，可判断A；当时先求出，的值域，进而可判断时，必有解，即可得m的范围，可判断B，C；当时，先计算在上的值域，即可得，的范围，进而可得m的范围，可判断D．【详解】当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值，为．作出与在上的图象如图所示：对于A，当时，，因为的值域为，结合图象知，故A不正确；对于B，当，时，，此时，此时，因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知，故B不正确，C正确；对于D，当时，在上单调递增，此时的最小值为，的最大值为，要使的值域为，由图知，故D正确．故选：CD．13．函数的定义域为，值域为，下列结论中一定成立的结论的序号是（       ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先研究值域为时函数的定义域，再研究使得值域为得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.【详解】由于，，，，，即函数的定义域为当函数的最小值为1时，仅有满足，所以，故D正确；当函数的最大值为2时，仅有满足，所以，故C正确；即当时，函数的值域为，故，故不一定正确，故A正确，B错误；故选：ACD14．已知函数，则下列说法正确的是（       ）A．是奇函数B．的图象关于点对称C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D．令，若，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为，又因为，所以不是奇函数，所以错误；将的图象向下平移两个单位得到，再向左平移一个单位得到，此时，所以图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以B正确；将函数的图象向左平移一个单位得，因为，即，所以函数为奇函数，所以函数关于点对称，所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值，则，所以C正确；由，可得，由，设，，可得，所以为减函数，可得函数为减函数，所以函数为单调递减函数，又由为减函数，所以为减函数，因为关于点对称，所以，即，即，解得，所以D正确.故选：BCD.15．已知正实数x，y，z满足，则（       ）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令则，可得： ，，利用对数的换底公式计算可判断选项A，验证是否正确可判断选项B，由于，比较可判处选项C，利用基本不等式可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】令则，可得： ，，对于选项A：，若则，因为，所以，故选项A不正确；对于选项B：由可得，即，因为，所以，即，故选项B正确；对于选项C：，因为，所以，因为，所以，即，即，故选项C正确；对于选项D：，，因为，因为所以等号不成立，所以，即，所以，根据“或”命题的性质可知选项D正确.故选：BCD16．对于函数定义域中任意的，有如下结论，当时，上述结论中正确结论的序号是（       ）A． B．C．＞0 D．【答案】BC【解析】由对数的运算性质判断A，B，由对数函数的单调性判断C，由对数的运算结合基本不等式判断D．【详解】对于A，，即，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，在定义域中单调递增，，故C正确；对于D，，利用基本不等式知，又，则，故D错误；故选：BC17．关于函数说法正确的是（       ）A．定义域为 B．图象关于轴对称C．图象关于原点对称 D．在内单调递增【答案】ACD【分析】由即可求出其的定义域；利用可判断为奇函数；求利用复合函数的单调性即可判断在内的单调性.【详解】因为,所以，所以定义域为，故A正确；因为，所以图象关于原点对称，故B错误，C正确;又在上单调递减，所以在上单调递增，又在上单调递增，所以在上单调递增，故D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题）三、解答题18．已知函数为奇函数．(1)求常数k的值；(2)当时，判断的单调性，并用定义给出证明；(3)若函数，且在区间上没有零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)；(2)单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；（2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可.（3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围.(1)由，即，所以，故，则，当时，显然不成立，经验证：符合题意；所以；(2)单调递增，证明如下：由（1）知：，若，则，而，即，所以，故单调递增.(3)由，令，所以，由（2）知：在上递增，而在上递减，所以在上递减，则.又在区间上无解，故19．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为，且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数，）．利用上述性质，解决以下问题：(1)求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；(2)证明：对任意实数，为定值；(3)已知，记函数，的最小值为，求．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用函数奇偶性的性质可得出关于、的等式组，即可求得这两个函数的解析式；（2）利用指数的运算性质可证得结论成立；（3）设，可得出，问题转化为求函数，的最小值，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，即可求得的表达式.(1)解：由性质③知，所以，由性质②知，，，所以，即，解得，.因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，合乎题意.(2)证明：由（1）可得：.(3)解：函数，设，由性质①，在是增函数知，当时，，所以原函数即，，设，，当时，在上单调递减，此时．当时，函数的对称轴为，当时，则，在上单调递减，此时，当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，此时．当时，即时，在上单调递减，此时．综上所述，.20．已知函数，.(1)若，对，使得成立，求实数的取值范围；(2)若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知，利用基本不等式求得，可得出，令，分离参数可得，利用函数的单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围；（2）令，分析可知关于的方程有且只有一个正根，分、、三种情况讨论，在时，直接求出方程的根，验证即可；在、这两种情况下，利用二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围.(1)解：，即，若，使得成立，只需要成立.因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，则，因为，令，分离参数可得，令，其中，任取、且，则，当时，，，则，当时，，，则，所以，函数在上单调递减，在上单调递增，故，.(2)解：由（1）可得，由题意知，方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，令，则方程有且只有一个正根，即方程有且只有一个正根，构造函数.①当时，，令，解得，不合乎题意；②当时，则，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，，由于，要使得方程有且只有一个正根，则，解得；③当时，则，，设方程的两根分别为、，由韦达定理可得，，则方程有且只有一个正根.综上所述，实数的取值范围是.21．布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点"函数，而称为该函数的一个不动点． 现新定义： 若满足，则称为的次不动点．(1)判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点； 若不是，请说明理由(2)已知函数，若是的次不动点，求实数的值：(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．【答案】(1)是“不动点”函数，不动点是2和；(2)；(3).【分析】(1)根据不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(2)根据次不动点定义列出方程，求解方程即可作答.(3)设出不动点和次不动点，建立函数关系，求出函数最值推理作答.(1)依题意，设为的不动点，即，于是得，解得或，所以 是“不动点” 函数，不动点是2和.(2)因是“次不动点”函数，依题意有，即，显然，解得，所以实数的值是.(3)设分别是函数在上的不动点和次不动点，且唯一，由得：，即，整理得：，令，显然函数在上单调递增，则，，则， 由得：，即，整理得：，令，显然函数在上单调递增，，，则，综上得：，所以实数的取值范围.22．已知函数是偶函数.(1)求的值；(2)若方程有解，求实数的取值范围；(3)若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)(3)存在，-1【分析】（1）根据偶函数的定义，结合对数运算，可求得答案；（2）根据（1）的结果，写出函数的解析式，利用基本不等式求出其值域，即可求得实数的取值范围；（3）整理化简，采用换元法将问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题求解,讨论二次函数图象的对称轴和区间的位置关系，可求得最值,判断是否存在问题.(1)函数是偶函数，，即,,即，.(2)由（1）可知： ，方程有解，即有解，即有解，而，当且仅当时取等号，故，实数a的取值范围是(3)假设存在满足条件的实数m，由题意，可得令，则，令，函数的图象开口向上，对称轴为直线，当，即时，，解得；当，即时       ，解得（舍去）；当，即时，，解得（舍去）.综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为-1.