高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算教案

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间向量及其运算教案，共7页。教案主要包含了问题引入，提出概念，自主探究，交流分享，例题赏析,感悟“运算”，归纳总结，作业巩固等内容，欢迎下载使用。
前面我们刚刚学习了空间向量的加减法、数乘运算，通过学习发现这些运算与平面向量的加减法、数乘运算是完全一致的.我们还学习过平面向量的数量积运算，从定义、几何意义、运算性质等方面认识了数量积运算，那么空间向量的数量积运算是怎样的呢？
设计意图：通过回顾空间向量的加减法、数乘运算的学习经验，让学生体会空间向量与平面向量的内在联系，暗示学生可运用类比的方法学习空间向量的数量积运算.借此，提出“空间向量的数量积”的概念，为后续自主探究、交流分享环节作好铺垫.
二、自主探究，交流分享
1.小组合作，自主探究.
分组：4人一组，每组确定1名组长，组长负责组织讨论、记录，汇报讨论结果.
引导：呈现研究平面向量数量积运算的几个维度，暗示学生探究的方向.
教师巡视、点拨，对讨论过程中个别疑难处进行指导.
提醒：对照表格进行填写，梳理空间向量数量积运算的相关知识.
设计意图：充分发挥学生的主体作用，凸显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式,让学生“动起来”,让课堂“活起来”.
2.概念辨析,交流分享.
（1）空间向量的夹角.
例1 如图所示是一个正方体，求下列各对向量的夹角：
（1）与；（2）与；（3）与
（4）与.
解（1）由于与的方向相同,所以==45°.
（2）==135°.
（3）==90°.
（4）==180°.
设计意图：通过具体实例的分析讲解,巩固空间向量夹角的概念.
（2）空间向量的投影.
空间向量在向量上的投影,除了按照平面向量的投影的方式得到之外,还可以过的始点和终点分别作与所在直线垂直的平面得到,这可以从下图所示的长方体中看出来,其中向量在棱上,=,因为=,,所以在向量上的投影=.
一般地,给定空间向量和空间中的直线（或平面α）,过的始点和终点分别作直线l（或平面α）的垂线,假设垂足为A,B,则向量称为在直线l（或平面α）上的投影.
设计意图：学生通过类比平面向量中的向量投影的概念、作法,在猜想、论证后得到空间向量的投影概念及作法,在此过程中,进一步体会空间向量和平而向量的内在联系,领悟“空间中任意两个向量都是共面的,空间向量的投影可以转化为平面向量的投影”,同时还学会了空间向量投影的直观作法.
（3）空间向量数量积运算的性质.
= 1 \* GB3 ①.
= 2 \* GB3 ②.
= 3 \* GB3 ③.
= 4 \* GB3 ④.
= 5 \* GB3 ⑤（交换律）.
= 6 \* GB3 ⑥（分配律）.
第⑥条性质可以按如下方式理解:
当,,共面时,根据平面向量数量积的性质可知,结论成立；
当,,不共面时,显然≠0,设即是与同向的单位向量.如图所示,设是个长方体,点与都在直线上,且=,= .
因此,在上的投影为=,在上的投影为=,且==+,+在上的投影为.
注意到=+=,这就说明（+）.
在这个式子两边同时乘以,即可知.
设计意图：学生在理解了“空间向量的投影”的概念之后,对投影的认识有进一步提升的需要.另外,从定义出发论证分配律也需要借助投影来实现.以长方体为背景的空间向量图示,能直观呈现空间位置和向量投影
三、例题赏析,感悟“运算”
例2 如图所示长方体 中,是的中点,==2,=4,求：
（1）；（2）.
解（1）（方法一）因为是长方体,而且==2,所以,
,,
因此.
（方法二）由图可以看出,在上的投影是,而且==1,
注意到与的方向相同,所以等于的长,即==2.
（2）由图可以看出,在上的投影是,而且,
注意到与的方向相反,所以等于的长的相反数,即=-=.
四、归纳总结，作业巩固
1.知识：空间向量数量积的定义、几何意义、运算性质.
2.方法：类比与归纳.
3.思想：数形结合思想、化归转化思想.
4.（1）课后作业：教材第11页练习A第3，5题，教材第12页练习B第4-6题.
（2）选做作业：仿照教材理解数量积性质（6）的方式，在长方体中设计一个模型验证性质（6）.
参考答案：
如图所示，，设，即是与同向的单位向量.
以OA，OB为邻边作平行四边形OBDA，则
因此，在上的投影为在上的投影为, 在上的投影为.
注意到，这就说明+b·c,
在这个式子两边同时乘以，即可知
板书设计
教学研讨
1.本节课介绍了一种新的空间向量运算（数量积运算）,从定义、几何意义、运算性质等维度对这种运算进行研究,并且把教学重心放到对数量积运算的认识上.教学过程中,充分发挥学生的主体作用,通过问题引入、阅读理解、表格填写、交流分享等途径调动学生学习的主动性.
2.空间向量的投影以及数量积的运算性质,代数形式上与平面向量完全一样,但是在几何直观上又有些许不同.这是学生在类比归纳中的一个难点,需要教师适时铺垫引导,逐个突破.教学过程中,充分利用直观的几何图示,帮助学生建立对空间向量投影和分配律的几何内涵的认知.向量的数量积

平面向量
空间向量
向量夹 角的 定义、范围
平面内，给定两个非零向量,，任意在平面内选定一点，作，则大小在内的称为与的夹角，记作.
向量 垂直
如果 ，则称向量与垂直，记作.约定零向量与任意向量都垂直.
数量积定义
平面内，两个非零向量与的数量积（或内积）定义为.规定零向量与任意向量的数量积为0.
向量的数量积
平面向量
空间向量

几何意义
如图所示,过的始点和终点分别向所在的直线作垂线,即可得到向量在向量上的投影，与的数量积等于在上的投影的数量与的长度的乘积.特别地,与单位向量的数量积等于在上的投影的数量.

运算
性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（交换律）
（6）（分配律）
第2课时 空间向量的数量积
1.空间向量的夹角
定义、取值范围、向量垂直
2.空间向量的数量积
定义、几何意义
3.空间向量数量积的性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）（交换律）
（6）（分配律）
4.例题
例1
例2