人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的概念教案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册向量数量积的概念教案设计，共6页。
板书设计
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：向量与向量能否进行乘法运算呢？
教师提问，学生回顾所学的向量的加减运算、数乘运算，引入关于向量之间能否相乘的问题.
复习已学知识，同时提出相关的新问题，激发学生的学习兴趣.
形成概念1
思考1：在物理学中，我们学过功的概念，如果给出力的大小和位移的大小，能否求出功的大小？
.
思考2：在上述公式中的角是谁与谁的夹角？两向量的夹角是如何定义的？
向量夹角的定义：给定两个非零向量在平面内任选一点作则称[0,?]内的为向量与向量的夹角，记作
思考3：如果是两个非零向量，那么
（1）的取值范围是什么？
（2）是否成立？
结论：（1）
（2）.
思考4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗？如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？
向量数量积的定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积（也称为内积），记作，即.
教师提出物理课中学生已学过的问题，学生思考后回答.
教师提问出有关夹角的问题让学生思考，从而引出两向量夹角的定义.
学生在理解的基础上记忆向量夹角的定义.
教师提问，学生思考，讨论交流后回答.
教师进一步给出：当时，称向量与向量垂直，记作.
规定零向量与任意向量垂直.
教师提出问题，学生尝试回答.
教师给出向量数量积的定义，要求学生在理解的基础上进行识记.
教师引导学生明确：两个非零向量与的数量积是一个实数.
通过物理学中功的概念及公式中夹角的定义，从而给出两向量夹角的定义以及夹角的范围，进而得出向量数量积的定义.
概念深化1
思考5：如果与都是非零向量，那么可以是正数吗？可以是负数吗？可以是零吗？你能举出实例加以说明吗？
结论：向量数量积的性质：
（1）；
（2），即；
（3）与垂直的充要条件是它们的数量积为0，即.
学生讨论、总结.
教师根据学生总结对向量数量积的性质进行点拨.
点拨：的符号由决定，即由的大小决定.
例如，下图中，所以两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数.
教师将其他性质列出，引导学生进行证明.
通过学生的讨论总结，培养学生的合作交流能力，通过对性质进行证明提升学生的逻辑推理素养.
应用举例1
例1（1）已知求；
（2）已知求
解：（1）由已知可得
（2）由可知因此，，从而可知.
小结：由例1（2）可以看出，如果都是非零向量，则
教师引导学生分析：例1（1）是已知模与夹角求数量积；（2）是已知数量积和模求夹角.在求解时要注意的取值范围是.
通过利用向量的数量积的定义解决问题，培养学生应用知识的能力，提升学生的数学运算素养.
形成概念2
思考6：如图，设非零向量，过分别作直线的垂线，垂足分别为.
你能从图中看出向量与向量有什么关系吗？
学生观察思考后，教师给出投影向量的概念：
向量为向量在直线上的投影向量或投影.
教师进一步给出向量的投影的概念：
给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为，则在直线上的投影称为在向量上的投影.
通过向量的投影的概念，提升学生数形结合的能力和直观想象素养.
概念深化2
思考7：如果都是非零向量，且在上的投影为，那么向量的方向、长度与有什么关联？
结论：当时，的方向与的方向相同，而且；
当时，为零向量，即；
当时，的方向与的方向相反，而且.
思考8：向量的数量积除了用表示，若用投影向量的概念如何表示数量积？
结论：.
小组讨论，每个小组派代表回答，最后师生共同总结.
教师给出投影的数量概念：一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.
学生思考、讨论、回答.
教师给出向量数量积的几何意义：两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的数量与的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义
特别地，当为单位向量时，因为，所以
，
即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量.
通过分组培养学生的合作交流能力.
通过思考，让学生学会分析与整理，提升学生的逻辑推理能力.
通过思考、讨论得出向量数量积的几何意义，培养学生的数学抽象能力.
应用举例2
例2 如图所示，求出以下向量的数量积
（1）；（2）；（3）.
解：（1）（方法一）由图可知，，因此.
（方法二）由图可以看出，向量在向量上的投影的数量为1，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知.
（2）由图可知，因此.
（3）由图可知，向量在向量上的投影的数量为，且为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知.
教师引导学生分析：求向量的数量积除了可以利用数量积公式，还可以利用数量积的几何意义去求.三个小问题都可以让学生尝试用两种方法去解.
培养学生对所学公式的应用能力，提升学生数学运算素养.
归纳总结
1.两个向量夹角的定义.
2.向量数量积的定义.
3.向量数量积的性质.
4.向量投影的概念.
5.向量数量积的几何意义.
先让学生独自回忆，然后师生共同总结.
通过小结使学生加强对所学知识的记忆，养成总结的好习惯.
课后作业
教材第75页练习A第1~5题.
学生独立完成.
巩固新知，提升能力.
8.1.1 向量数量积的概念
1.两向量夹角的定义
（1）；
（2）
2.向量数量积的定义
3.向量数量积的性质
（1）；
（2），即；
（3）
例1
4.向量投影的概念
5.向量数量积的几何意义
例2