人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算学案

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.1 空间向量及其运算学案，共16页。

1．1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其运算
(教师独具内容)
课程标准：1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示.2.经历由平面向量的运算及法则推广到空间向量的过程，掌握空间向量的加减、数乘运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及运算的意义.3.掌握空间向量数量积的概念及其性质，了解投影与数量积运算规则的关系，并能用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
学法指导：在平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念运算，体会平面向量和空间向量的共性和差异，学习中要结合空间图形，培养空间想象能力，并通过数量积的运算，培养数学应用意识．
教学重点：空间向量的加减、数乘及数量积运算在空间几何体中的应用．
教学难点：空间几何体中向量的运算；空间向量数量积性质的应用.




如图，一个蜘蛛在一个正方体形状的建筑物边缘爬行，在半个小时内，蜘蛛沿路线AD－DC－CC′从点A爬行到C′，若该正方体形状建筑物的边长为6，求在这半个小时内蜘蛛爬行过的位移．


知识点一 空间向量的概念

知识点二 空间向量的加法运算
(1)运算法则
①三角形法则：给定两个平面向量a，b，在该平面内任取一点A，作＝a，＝b，作出向量，则A是向量a与b的和(为向量a与b的和向量)，向量a与b的和向量记作a＋b，因此＋＝.当平面向量a与b不共线时，a，b，a＋b正好能构成一个三角形，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则．因为空间中的任意两个向量都共面，因此向量加法的三角形法则在空间中也成立．
②平行四边形法则：任意给定两个不共线的向量a，b，在空间中任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，则＝＋.
(2)运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a.
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
(3)有限个空间向量的和：为了得到有限个空间向量的和，只需将这些空间向量依次首尾相接，那么以第一个向量的始点为始点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和向量．例如A＋B＋C＝A.
两个结论：①有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变；②三个不共面的向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
知识点三 空间向量的线性运算
(1)空间向量的减法运算
①给定一个空间向量，我们把与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量．
②三角形法则：在空间中任取一点O，作＝a，＝b，作出向量，则向量就是向量a与b的差(也称为向量a与b的差向量)，即－＝.当向量a与b不共线时，向量a，b，a－b正好能构成一个三角形．
③转化为加法运算：a－b＝a＋(－b).
(2)空间向量的数乘运算
①数乘向量的定义：给定一个实数λ与任意一个空间向量a，规定它们的乘积是一个空间向量，记作λa，上述实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量．
当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
ⅰ.当λ>0时，与a的方向相同；
ⅱ.当λ<0时，与a的方向相反.
当λ＝0或a＝0时，λa＝0.
②向量平行：如果存在实数λ，使得b＝λa，则b∥a.
③三点共线：如果存在实数λ，使得＝λ，则与平行且有公共点A，从而A，B，C三点一定共线．特别地，当λ＝时，B为线段AC的中点．
④运算律：λa＋μa＝(λ＋μ)a(λ，μ∈R)，
λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)．
知识点四 空间向量的夹角
给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b互相垂直，记作a⊥b；约定零向量与任意向量都垂直．
知识点五 空间向量的数量积
(1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.规定零向量与任意向量的数量积为0.
(2)几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积.特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量.
(3)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝，因为＝，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝.

(4)性质：①a⊥b⇔a·b＝0；
②a·a＝|a|2＝a2；
③|a·b|≤|a||b|；
④(λa)·b＝λ(a·b)；
⑤a·b＝b·a(交换律)；
⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

1．对空间向量的理解
(1)空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形的双重性．形的特征：方向、长度等；数的属性：大小、正负、可进行运算等．空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利用数的方式来解决．
(2)空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法．
2．理解空间两个向量的夹角应注意的几个问题
(1)由定义知，两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)．
(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的．
(3)对空间任意两向量a，b有：
①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉；
②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉；
③〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉．
3．对空间向量数量积的理解
(1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定．
(2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．(　　)
(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　)
(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　)
(4)空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．(　　)
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＋＋＝________；－＋＝________.

(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
(3)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________.
答案　(1)　　(2)－a＋b－c　(3)－13



题型一 空间向量的概念
例1　给出下列命题：
①在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝；
②若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
③空间中任意两个单位向量必相等；
④只有零向量的模为0.
其中假命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①是真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，应有＝.
②是真命题．向量的相等满足递推规律．
③是假命题．空间中任意两个单位向量模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．
④是真命题．根据零向量的定义可知．
[答案]　A

对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以通过举出反例来排除或否定相关命题，在此过程中，要注意以下几点：
(1)因为空间任何两个向量都可以平移到同一平面上，故在空间的两个向量间的关系都可以转化为平面向量来解决．
(2)零向量是一个特殊的向量，易忽略，要注意！
(3)注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念．

[跟踪训练1]　下列说法中正确的是(　　)
A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
答案　B
解析　|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定，故A错误；向量a是向量b的相反向量，则b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，故C错误；只有在平行四边形ABCD中，＋＝才能成立，在其他四边形中，＋＝不成立，故D错误.
题型二 空间向量的线性运算
例2　(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是(　　)

A．(－)－
B．(＋)－
C．(－)－
D．(－)＋
[解析]　对于A，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；
对于B，(＋)－＝＋＋＝＋＝；
对于C，(－)－＝－＝＋－2＝－2≠；
对于D，(－)＋＝＋＋＝＋＋＝＋≠.
因此，A，B两式的运算结果为向量，而C，D运算的结果不为向量.故选AB.
[答案]　AB

1．空间向量加减运算的注意点
(1)在空间图形中，注意先找到三角形或平行四边形．
(2)在运算时，既要观察图形，应用平行四边形法则或三角形法则，又要注意观察向量表达式在运算时的变化规律，例如＋＝；－＝＋等．
2．用已知向量表示指定向量的方法
用已知向量来表示指定向量时，常结合具体图形．通过向量的平移等手段将指定向量放在与已知向量有关的三角形或四边形中，通过向量的运算性质将指定向量表示出来，然后转化为已知向量的线性表达式．

[跟踪训练2]　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；(2)；(3).
解　(1)∵P是C1D1的中点，
∴＝＋＋
＝a＋＋
＝a＋c＋
＝a＋c＋b.
(2)∵N是BC的中点，
∴＝＋＋＝－a＋b＋
＝－a＋b＋＝－a＋b＋c.
(3)∵M是AA1的中点，
∴＝＋＝＋
＝－a＋(a＋c＋b)＝a＋b＋c.
题型三 空间向量数量积的运算
例3　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则(　　)
A.·＝a2 B．2＝a2
C.·＝a2 D．·＝a2
[解析]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵〈，〉＝45°，∴〈，〉＝135°，∴在上的投影是，∴·＝－2＝－a2，故A错误；又2＝||2＝(a)2＝2a2，故B错误；∵＝，∴·＝·＝a2，故C正确；由＝，得·＝·＝－a2，故D错误．故选C.

[答案]　C



求简单的空间向量数量积的方法
(1)直接在空间几何体中求模和夹角；
(2)利用数量积的几何意义，结合图形，先由一个向量向另一个向量投影，注意挖掘发现几何体中的垂直关系或特殊角．

[跟踪训练3]　已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，求：(1)·；(2)·.
解　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)∵AB＝AA1＝2，∴〈，〉＝45°，
∴·＝||||cos45°＝2×2×＝4.
(2)∵＝，
∴在上的投影是，
∴·＝||2＝16.



1．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c
B.a＋b＋c
C.a－b＋c
D．－a－b＋c
答案　A
解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－a＋b＋c.
2.已知P是正六边形ABCDEF外一点，O为正六边形ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　　)

A. B．3
C．6 D．0
答案　C
解析　＋＋＋＋＋＝6＋(＋＋＋＋＋)＝6.
3．(多选)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列命题中是真命题的是(　　)
A．(＋＋)2＝32
B.·(－)＝0
C.与的夹角为60°
D.与的夹角为45°
答案　AB
解析　根据向量数量积的定义，知A，B正确；与的夹角为120°，故C不正确；∵＝，
∴∠C1AC为与的夹角，设正方体棱长为1，则cos∠C1AC＝＝＝，则∠C1AC≠45°，故D不正确．故选AB.
4．已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________.
答案　－
解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，
∴a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0，
即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos135°＝0，
∴λ＝－.
5.如图所示，已知底面ABCD是边长为2的正方形，ACFE是平行四边形，AE＝2，∠EAB＝∠EAD＝60°.

(1)求·的值；
(2)求||.
解　(1)∵＝＋＝＋＋，∴·＝·＋·＋2＝2×2×cos60°＋2×2×cos60°＋22＝2＋2＋4＝8.
(2)由(1)得||＝
＝
＝
＝
＝2.



A级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．下列命题正确的是(　　)
A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2
C．a(a·b)＝b·a2 D．|a·b|≤|a||b|
答案　D
解析　根据定义可判断出A，B，C均不正确．
2．如图所示，点D是空间四边形OABC的边BC的中点，＝a，＝b，＝c，则为(　　)

A.(a＋b)－c
B.(c＋a)－b
C.(b＋c)－a
D．a＋(b＋c)
答案　C
解析　＝＋＝－a＋(＋)＝－a＋(b＋c)．
3．已知空间向量a，b，c两两夹角均为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|等于(　　)
A. B．5
C．6 D．
答案　A
解析　已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则有a2＝b2＝c2＝1，且a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos60°＝，∴|a－b＋2c|＝＝
＝＝.故选A.
4．已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A. B．
C． D．
答案　A
解析　如右图所示．∵G是CD的中点，∴(＋)＝，∴＋(＋)＝.

5．(多选)如图所示，已知四面体ABCD每条棱长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列数量积等于a2的是(　　)

A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
答案　BC
解析　∵2·＝－2·＝－2a2cos60°＝－a2，∴A错误；∵2·B＝2·＝2a2cos60°＝a2，∴B正确；∵2·＝2＝a2，∴C正确；∵2·＝·＝－a2，∴D错误．故选BC.
二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量在向量上的投影的数量为________.
答案　1
解析　∵＝，DD1⊥CD，∴在上的投影为，故数量为1.
7．设a，b，c是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(c·b)a－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中真命题的序号是________.
答案　②④
解析　①注意向量数乘与数量积的区别，所以不成立；②是三角形不等式，所以成立；③[(c·b)a－(c·a)b]·c＝(c·b)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故垂直，所以③不成立；④由向量的数量积的运算可知其成立．
8．已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.
答案　3a＋3b－5c
解析　取BC的中点M(如图所示)，连接EM，FM，

∵E，F分别是AC，BD的中点，
∴EM綊AB，MF綊CD，
∴＝＝a－c，
＝＝a＋3b－4c，
∴＝＋＝a－c＋a＋3b－4c＝3a＋3b－5c.
三、解答题
9．设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4.
求：(1)a·b；(2)a2与b2；(3)(3a－2b)·(a＋2b)．
解　(1)a·b＝3×4×cos120°＝－6.
(2)a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝16.
(3)(3a－2b)·(a＋2b)＝3|a|2－4|b|2＋4a·b＝3×32－4×42＋4×(－6)＝27－64－24＝－61.
10．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，M为A1C1与B1D1的交点，化简下列表达式．

(1)＋；
(2)＋；
(3)＋＋；
(4)A＋B＋＋＋.
解　(1)＋＝.
(2)＋＝(＋)＝＝.
(3)＋＋＝＋＝.
(4)A＋B＋＋＋＝0.
B级：“四能”提升训练
1．空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别在边CB，CD上，且＝，＝.判断与是否共线？若共线，并判断四边形EFGH的形状．

解　根据题意，
∵＝－，＝－，又＝，
∴＝.∴＝.①
∵＝－，＝－，
又＝，＝，
∴＝(－)＝.②
由①②得，＝.
∴与共线．
∴∥，且||≠||.
又点F不在直线EH上，
∴EH∥FG且EH≠FG.
∴四边形EFGH为梯形．
2．已知正四面体O－ABC的棱长为1.

求：(1)(－)·(＋)；
(2)|＋|.
解　(1)(－)·(＋)
＝·(＋)
＝·＋·
＝1×1×cos60°＋1×1×cos120°＝0.
(2)|＋|＝|＋－|＝
＝
＝.