数学选择性必修 第一册空间向量及其运算公开课课件ppt

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知识点 2 空间向量的线性运算
1.向量的数量积两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cs,其中为a与b的夹角,范围为[0,π].　　规定零向量与任意向量的数量积为0.
2.空间向量数量积的几何意义两个向量数量积的几何意义与投影有关.一般地,给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α),过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或平面α)上的投影.a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积,即向量a在向量b上的投影的数量为 =|a|cs.
3.空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b=0;(2)a·a=|a|2=a2;(3)|a·b|≤|a||b|;(4)(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);(5)a·b=b·a(交换律);(6)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
1.若两个向量是共线向量,则表示这两个向量的有向线段必在同一条直线上. (　    )
表示这两个向量的有向线段所在的直线平行或重合.
2.向量a,b,c共面,即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面. (　    )
向量共面时,向量所在的直线不一定共面,只有这些向量都过同一点时,向量所在的直线才共面.
3.对于任意向量a,b,c,都有(a·b)·c=(b·c)·a. (　    )
向量数量积的运算不满足乘法的结合律,(a·b)·c与c共线,(b·c)·a与a共线,但c与a不一定共线.
4.若a,b,c为非零向量,|a|=|b|,则|a·c|=|b·c|. (　    )
|a·c|=|a||c||cs θ|,其中θ是向量a和c的夹角,|b·c|=|b||c|·|cs α|,其中α是向量b和c的夹角,而|cs θ|和|cs α|不一定相等,故错误.
1.求两个向量的数量积的方法(1)当所求数量积中两向量的夹角和模已知时,直接利用a·b=|a||b|cs求解.(2)当所求数量积中两向量的夹角和模未知,但其他向量的模和夹角已知时,将所求数量积中两向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式,再利用向量数量积的运算律展开,转化成已知模和夹角的向量的数量积.(3)利用向量数量积的几何意义求解.
2.向量数量积的应用(1)利用数量积求向量的夹角(或夹角的余弦值):可利用cs= 求两个向量的夹角(或夹角的余弦值).若a·b>0,则∈ ;若a·b=0,则= ;若a·b