数学必修 第三册向量数量积的概念教学设计

这是一份数学必修 第三册向量数量积的概念教学设计，共7页。教案主要包含了创设情境，引出新课，探究向量数量积的概念，探究向量数量积的性质，课堂小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
活动一：创设情境，引出新课
师：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？
这些运算的结果是什么？
生：向量的加法、减法及数乘运算，这些运算的结果是向量.
师：很好，那既然两个向量可以进行加法、减法运算，我们自然就想：两个向量能进行乘法运算吗？如果能，结果也是向量吗？
设计意图：回顾学过的有关向量的知识，提出新的问题让学生思考，激发学生的学习兴趣和探究新知的欲望.
活动二：探究向量数量积的概念
1.给出有关材料并提出问题：
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功：.
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填空：
①W（功）是________量，②F（力）是________量，
③s（位移）是________量，④是________.
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗？
答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积.
这就给我们一种启示：能否把功W看成两个向量F和s的一种运算结果呢？为此我们引入向量数量积，今天，我们就来学习平面向量的数量积.
2.在上述公式中的角是谁与谁的夹角？两向量的夹角是如何定义的？
答：（1）角是力与所发生的位移的夹角（2）给定两个非零向量.在平面内任选一点O，作，则称内的为向量a与向量b的夹角，记作.
设计意图：通过物理学中功的概念及公式引出向量夹角的概念，培养学生数学抽象能力.
3.如果是两个非零向量，那么
（1）的取值范围是什么？
（2）是否成立？
答：根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且
，
.
当时，称向量a与向量b垂直，记作.由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直.
设计意图：了解向量夹角的范围，明确两向量确定后它们的夹角就确定了.
4.向量数量积的定义.
（1）数量积的定义：
一般地，当a与b都是非零向量时，称为向量a与b的数量积（也称为内积），记作：，即：.
（2）定义说明：
①记法“”中间的“”不可以省略，也不可以用“×”代替.
②注意：数量积是实数.
5.向量的数量积运算与向量的线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？
答：向量线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数量，这个数量的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关.
6.学生讨论并完成下表:
由此表可知，两个非零向量的数量积既可以是正数，也可以是零，还可以是负数.
设计意图：引导学生通过自主研究，明确两个向量的夹角决定它们的数量积的符号，进一步从细节上理解向量数量积的定义.
7.研究数量积的物理意义.
（1）请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积.
（2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动：①竖直下降10米；②竖直向上提升10米；③在水平面上位移为10米；④沿倾角为30度的斜面向上运动10米，分别求重力做功的大小.
设计意图：通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，巩固对定义的理解；另一方面使学生理解数量积的物理意义，明白学科间的联系，同时也为学习数量积的性质埋下伏笔.
活动三：探究向量数量积的性质
1.（1）将尝试练习中的①②③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
（2）比较与的大小，你有什么结论？
2.请证明上述结论.
3.向量数量积的性质.
设a与b是非零向量，则
（1）；
（2），即；
（3）.
说明：一般地，可以简写为，因此上述性质（2）也可改写为.
设计意图：将尝试练习的结论推广得到数量积的运算性质，使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识.
活动四：探究向量的投影及向量数量积的几何意义
1.向量投影的概念.
给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影.
2.如果a，b都是非零向量，且a在b上的投影为，那么向量的方向、长度与有什么关联？
答：当时，的方向与b的方向相同，而且
；
当时，为零向量，即；
当时，的方向与b的方向相反，而且
.
3.投影的数量的概念.
一般地，如果都是非零向量，则称为向量a在向量b上的投影的数量.
4.向量数量积的几何意义是什么？
答：，所以两个非零向量a，b的数量积，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.
设计意图：充分了解向量数量积的几何意义，使学生从代数和几何两个方面对数量积的特征有更加充分的认识.
活动五：应用举例
1.例题讲解.
例1 （1）已知，求.
（2）已知，求.
解：（1）由已知可得
.
（2）由可知
，
因此，从而可知.
小结：由例1（2）可以看出，如果a，b都是非零向量，则.
例2 如图所示，求出以下向量的数量积.
（1）；（2）；（3）.
解：（1）（方法一）由图可知，
，因此
.
（方法二）由图可以看出，向量b在向量a上的投影的数量为1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知.
（2）由图可知，，因此.
（3）由图可知，向量d在向量a上的投影的数量为，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知
.
设计意图：通过计算巩固对向量数量积定义及几何意义的理解，同时让学生学会运用其解决问题.
2.反馈练习.
已知△ABC中，，当时，试判断△ABC的形状.
设计意图：加强学生的练习.同时通过观察、问答等方式对学生的掌握情况有进一步的了解和把握.
活动六：课堂小结
1.本节课我们学习的主要内容是什么？
2.向量的数量积有哪些应用？
3.我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究的？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？
4.类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究向量的数量积？
设计意图：通过学生讨论总结，加强学生对概念性质的理解和掌握，体会整个内容的研究过程，明白学习这些内容的原因，学习这些内容的用途，及这对以后的学习的指导意义.
活动七：布置作业
教材第75页练习A第1，3题.
设计意图：通过设计不同层次的作业既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到激发兴趣和“减负”的目的.
板书设计
教学研讨
本节课从总体上来说是一节概念教学，从数学和物理两个角度创设问题情境来引入向量数量积的概念能激发学生的学习兴趣.数量积的性质是数量积概念与投影概念的延伸，这方面的内容按照创设一定的情境，让学生自己去探究、去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明这样能更清楚地看到数学法则与法则间的联系与区别，体会法则对学习研究的重要性，例题选择教材上的例题，难度不大，教师可以再安排一些稍有难度的例题.
8.1.1向量数量积的概念
一、创设情境，引出新课
二、探究向量数量积的概念
已知两个非零向量a与
三、探究向量数量积的性质
设a与b是非零向量，则
（1）；
（2），即；
（3）
四、探究向量的投影及向量数量积的几何意义
1.投影的概念
2.数量积的几何意义
五.应用举例
例1
例2
六、课堂小结
七、布置作业