人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理教学设计及反思

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间向量基本定理教学设计及反思，共11页。
板书设计
教学研讨
本节课中把更多的时间、机会留给学生,让学生充分的交流、探究,积极引导学生动手操作、动脑思考.教学中要关注学生是否积极地参与到发现问题、分析问题、解决问题的探索过程中去,是否能够达到掌握知识、提高能力的目的,是否取得了理想的学习成果.教学过程中要尊重学生的自我发现,多角度地给学生以鼓励和肯定.例题选择教材上的例题,数量不多,教师可以根据教学进度适当添加一些例题.教学环节
教学内容
师生互动
设计意图

复习引入
1.共线向量基本定理是什么？
2.平面向量基本定理是什么？
共线向量基本定理：如果且,则存在唯一的实数,使得
平面向量基本定理：如果平面内两个向量与不共线,则对该平面内任意一个向量,存在唯一的实数对,使得.
教师提出两个问题,学生思考并给出回答,教师补充.教师指出,这两个定理在空间中仍然成立.
通过复习引入，使学生回忆共线向量基本定理及平面向量基本定理,为推广到空间向量做准备.
形成概念1
问题1：上述结论在空间中仍成立吗？请举例说明.
问题2：如何判断空间中的三个向量共面？
共面向量定理：如果两个向量,不共线,则向量,,共面的充要条件是,存在唯一的实数对,使.
对于问题1,学生思考讨论,给出回答,并举例说明.
可以看出,共线向量基本定理和平面向量基本定理在空间中仍然成立.
例如,如图所示的正方体中, 在直线上的充要条件是,存在实数,使得

如果在底面内,则定存在实数s与t,使得,而且,若,,则,
对于问题2，教师提示：由平面向量基本定理及空间向量加法的平行四边形法则,可以得到空间中三个向量是否共面的判别方法.学生总结出共面向量定理,教师给予补充,并给出证明.
这个定理的必要性是由平面向量基本定理保证的,而充分性只要注意到当与不共线时,,,分别是平行四边形的两条邻边和一条对角线即可.
通过问题设置,培养学生合作交流、分析问题的能力,发展其逻辑推理核心素养.
例题解析1
例1.如图所示,已知斜三棱柱,,,,在上和上分别有一点M和N,且,其中.求证：,,共面
证明 因为, ,
所以.
由共面向量定理可知,,,共面
由共面向量定理判断空间中四点是否共面的方法：如果三点不共线,则点在平面内的充要条件是,存在唯一的实数对,使.
教师出示例题,学生利用前面所学的知识独立思考完成.
教师给予点评,并提出问题：如何根据共面向量定理说明空间中四点共面？
学生思考讨论,给出答案,教师总结.
进一步使学生熟悉共面向量定理,提高学生的运算能力发展其数学运算核心素养.
形成概念2
问题3：共线向量基本定理表示,给定直线上的一个非零向量,那么直线上任意一个向量都可以唯一地写成数乘向量的形式；平面向量基本定理表示,在给定的平面内,当向量与不共线时,任意一个向量都可以写成与的线性运算,且表达式唯一.空间向量有没有类似的结论？如果有,尝试归纳出来；如果没有,说明理由.
空间向量基本定理：如果空间中的三个向量不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得
问题4：你能利用作图的方法来理解空间向量基本定理吗？
问题5：你能说明空间向量基本定理中唯一性吗？
结论：
当不共面时,
空间中不共面的三个向量组成的集合,称为空间向量的一组基底.
教师进行引导,学生自主归纳
教师让学生尝试进行证明,然后教师带领学生一起学习教材第14页内容,即空间向量基本定理的证明过程.
空间向量基本定理可以通过作图的方式来理解.
因为不共面,所以它们两两都不平行,过点作,,则平面是两两相交的三个平面,如图所示.
如果与的某两个向量共面,则根据共面向量定理可知结论成立.否则,作,过点作直线平行于,交平面于点；在平面内,过作直线平行于,作直线平行于,且分别与直线,相交于点,；在上取一点,使得.于是存在三个实数使得,,.
作,则是一个平行六面体，因此
即.
下面来说明定理中的有序实数组是唯一的
设且,则
如果,则,由此可知共面,这与已知矛盾,因此
同理
教师给出结论及基底的概念,学生理解记忆.
让学生体会类比、推广思想,通过尝试、归纳、总结,培养学生分析问题和解决问题的能力.
通过证明使学生对空间向量基本定理有更深刻的理解和认识.
例题解析2
例2 如图所示平行六面体中,设,试用基底表示向量
解 因为是平行六面体,所以
类似地,有


例3 如图所示,已知直三棱柱中,为的中点, ,,,
求.
解 由题意可知,
,所以,
.
又因为，
所以=.
教师出示例题,学生自主完成,并上台进行演示.教师给予积极的评价,并讲解
教师指出：例3说明,如果空间向量中,有三个不共面的向量的长度和相互之间的角度都已知,那么以这三个向量为一组基底,可以研究其他向量之间的数量积等问题.
通过例题,及时进行反馈,帮助学生掌握知识,同时反映出学生掌握知识的情况.
课堂小结
1.共面向量定理
2.空间向量基本定理
3.数学思想方法：类比,推广,归纳.
学生自己归纳这节课所学的知识
帮助学生形成系统的知识结构
课后作业
教材第16-17页练习A,练习B
教师布置作业,学生按时完成练习
巩固知识,增强学生的求知欲
1.1.2空间向量基本定理
1.共面向量定理：如果两个向量不共线,则向量共面的充要条件是,存在唯一的实数对,使
例1
2.空间向量基本定理：如果空间中的三个向量不共面,那么对空间中的任意一个向量,存在唯一的有序实数组,使得
结论：
当不共面时,
空间中不共面的三个向量组成的集合,称为空间向量的一组基底
例2
例3
课堂小结