人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间中的平面与空间向量教学设计

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册空间中的平面与空间向量教学设计，共10页。教案主要包含了情境引入，新知探究，归纳小结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境引入
我们知道,引入方向向量这个工具后,就可以通过向量来研究直线与直线的平行或垂直关系,那么我们可不可以继续引入一个新的向量来研究直线和平面、平面和平面的位置关系呢？
教师提出以下问题,供学生思考：
（1）什么是直线的方向向量？
（2）直线的方向向量有什么作用？
学生思考问题,回顾直线的方向向量等知识
教师待学生正确回答后,继续提出问题：
（3）直线有方向向量,那么能推广到平面吗？
通过提问,引导学生复习方向向量,启发学生类比得到平面的法向量
新知探究
1.平面的法向量
（1）定义：
如果是空间中的一个平面,是空间中的一个非零向量,且表示的有向线段所在的直线与平面垂直,则称为平面的一个法向量.此时,也称与平面垂直,记作
（2）性质：
①如果直线垂直平面,则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量；
②如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个法向量都平行；
③如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即,从而可知平面的位置可由和A唯一确定.
（3）作用：
①如果是直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,则
；
或
②如果是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,则
；
,或与重合
例1 已知正方体中,分别是与的中点求证：∥面
证明 以为原点,的方向分别为轴、轴、轴正方向,正方体的棱长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系.
则,,又因为是的中点,所以的坐标为
即
类似地,可得,因此
又因为面,所以是平面的一个法向量,而且,因此
,
即,由图可知不在平面内,因此∥面
（4）法向量的求解：如果是平面内不共线的三点,非零空间向量满足
则是平面的一个法向量
根据这一结论,通过设未知数解方程组,即可求得平面的一个法向量
例2 如图所示,已知空间直角坐标系中的三棱锥 中,,,,）,其中,求平面的一个法向量
解 由已知得
设平面的一个法向量为,则
将看成常数,可解得
令,,.因此
为平面的一个法向量.
2.三垂线定理及其逆定理
（1）射影：
已知空间中的平面以及点,过作的垂线,设与相交于点,则就是点在平面内的射影（也称为投影）
空间中,图形上所有点在平面内的射影所组成的集合,称为图形在平面内的射影.
（2）三垂线定理：
如果平面内的一条直线与平面的条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
（3）三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
例3 如图所示,已知是一个正方体,求证：
证明 连接.
因为 是正方体,所以面,因此在平面内的射影为.
又因为是正方形,所以,因此根据三垂线定理可知
例4 如图所示的三棱锥中,,且为的边上的高,求证：.
证明 因为
所以面
因此在平面内的射影为,又因为,所以根据三垂线定理的逆定理可知
教师给出平面的法向量的概念,并借助正方体,指定其中一个平面,然后再让学生找出对应的法向量.
学生间交流、补充,教师进行点评与评价
教师从方向和大小两个角度引导学生根据法向量的定义,探讨问题：
（1）一个平面的法向量唯一吗？
（2）法向量有哪些性质？
学生之间交流、讨论,得出答案教师巡视,对学习有困难的学生进行适时点拨、单独辅导
师生共同总结所得研究成果
教师通过多媒体展示教材第38页“尝试与发现”栏目,请学生思考
学生思考、讨论、交流,得出结论
教师根据学生实际情况,可先引导学生回顾直线与平面、平面与平面的所有位置关系,降低思考难度,然后借助多媒体,直观展示答案
教师出示例1,请学生先思考用非向量法来证明.
学生通过作辅助线,利用线面平行的判定定理完成证明
教师再引导学生通过建系,求出直线对应的方向向量,同时寻找平面的法向量,并研究两向量间的关系
学生确定指定的方向向量及法向量,算出数量积为0,得出两者垂直,进而完成例题的证明
教师根据学生回答情况进行板书,共同完成例1
教师继续提出问题：例1中平面的法向量比较容易找出,如果换成另外一个一般的平面,那么如何求它的法向量呢？
学生根据法向量的概念,抓住实质：法向量对应的直线是与平面垂直的,讨论得出问题的解决方法
教师肯定学生的答案,并请3~4名学生板书例2
其他同学进行补充,教师点评
教师给出射影（投影）的概念,并将其与法向量联系起来,同时利用多媒体展示教材第40页“尝试与发现”栏目,让学生思考、讨论、交流,得出结论.
学生探讨、交流,得出两个结论.
教师归纳、总结两个结论：三垂线定理、三垂线定理的逆定理,并给出以下问题,引导学生理解两个定理：
（1）你能用符号语言描述三垂线定理吗？
（2）三垂线定理中的条件是否要求与射影垂直的直线一定要在平面内？
（3）三垂线定理的依据是什么？
（4）三垂线定理及其逆定理能合在一起来表述吗？
学生根据两个定理的推导过程,思考、交流,回答这四个问题.
教师针对学生的回答进行补充和总结,并请2~3名学生完成例3,例4的解答.
学生根据已给出的信息,补充关键解题步骤
教师根据实际情况进行引导、点拨、补充
举例,帮助学生理解平面法向量的概念,提升直观想象核心素养
通过交流、讨论,进一步加深学生对平面法向量的理解,提升逻辑推理核心素养
通过分类讨论,抽象出模型,感受空间位置关系与空间向量间的联系
通过例1让学生熟悉使用向量方法来判定线面平行的过程,巩固法向量的性质.
学生动手,培养学生直观想象和数学运算核心素养
通过例2让学生掌握求一般平面法向量的方法
让学生通过探究活动,更好地理解两个定理,体会它们之间的联系并通过例题进行巩固,提升逻辑推理与直观想象核心素养.
通过例3和例4的学习让学生牢固掌握三垂线定理及其逆定理的使用方法和使用条件,尤其不要将其混用.
归纳小结
1.平面的法向量的定义、性质、作用、求法.
2.三垂线定理及其逆定理.
教师引导学生分组回答,小组评价.
锻炼学生自主学习、合作学习和归纳总结的能力.
布置作业
教材第41页练习A第1,2,3题
学生课后完成
巩固所学知识
1.2.2空间中的平面与空间向量
一、情境引入
二、新知探究
1.平面的法向量
（1）定义
如果是空间中的一个平面,是空间中的一个非零向量,且表示的有向线段所在的直线与平面垂直,则称为平面的一个法向量.此时,也称与平面垂直,记作
（2）性质：
①如果直线垂直平面,则直线的任意一个方向向量都是平面的一个法向量；
②如果是平面的一个法向量,则对任意的实数,空间向量也是平面的一个法向量,而且平面的任意两个法向量都平行；
③如果为平面的一个法向量,为平面上一个已知的点,则对于平面上任意一点,向量一定与向量垂直,即,从而可知平面的位置可由和A唯一确定.
（3）作用：
①如果是直线的一个方向向量,是平面的一个法向量,则
；
或
②如果是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,则
；
,或与重合
例1
（4）法向量的求解
例2
2.三垂线定理及其逆定理
（1）射影：
已知空间中的平面以及点,过作的垂线,设与相交于点,则就是点在平面内的射影（也称为投影）
空间中,图形上所有点在平面内的射影所组成的集合,称为图形在平面内的射影.
（2）三垂线定理：
如果平面内的一条直线与平面的条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.
（3）三垂线定理的逆定理：
如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.
例3
例4
三、归纳小结
四、布置作业