高中数学人教B版 (2019)必修 第二册幂函数教学设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册幂函数教学设计，共8页。教案主要包含了情境导入，自主研习，课堂达标，小结与作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境导入
是指数函数吗？
二、自主研习
1.幂函数的概念.
一般地，函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.
思考：幂函数与指数函数有什么样的区别？
提示：幂函数的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数中，底数是常数，指数是自变量.
2.幂函数的图像与性质.
（1）五个常见幂函数的图像：
（2）五个常见幂函数的性质：
【基础自测】
1.判断对错.
（1）函数是幂函数. （ ）
（2）函数是幂函数. （ ）
（3）幂函数的图像都不过第二、四象限. （ ）
2.下列所给函数中，是幂函数的是 （ ）
A. B.
C. D.
3.下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知幂函数的图像经过点，则______.
答案 1.（1）√（2）×（3）×
2.C
3.A
4.2（点拨：设，则，即，，.）
【课堂共研】
题型1 幂函数的概念
例1 （1）在函数，，，中，幂函数的个数为
（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
（2）幂函数在上是减函数，则_______.
[思路探究]（1）由幂函数的定义，从“底数只有，且的系数必须为1，指数为常数”这三个方面判断；
（2）利用幂函数的概念可得到关于的关系式，解之即可.
解析 （1）根据幂函数的定义可知，只有是幂函数.
（2）幂函数在上是减函数，
.
答案（1）B（2）-1
【教师进行规律方法总结】1.只有形如（其中为常数，为自变量）的函数才是幂函数，否则就不是幂函数.
2.判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为（为常数）的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且（1）指数为常数，（2）底数为自变量，（3）的系数为1.形如，，，…形式的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式.
题型2 幂函数的图像和性质
例2 （1）如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图像，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为 （ ）
A.，，，2 B.2，，，
C.，，2， D.2，，，
（2）已知幂函数的图像关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围是______.
[思路探究]（1）根据幂函数的图像特征与性质确定相应的函数图像；
（2）先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定的值，再利用幂函数的单调性求解关于的不等式.
解析（1）考虑幂函数在第一象限内的增减性.注意当时，对于，越大，增幅越快，时看的大小.根据幂函数的性质，在第一象限内的图像当时，越大，递增速度越快，故的，的；当时，越大，曲线越陡峭，所以曲线的，曲线的.
（2）因为函数在上单调递减，所以，解得.又，所以1，2.
因为函数的图像关于轴对称，所以为偶数，故，则原不等式可化为.
因为在，上单调递减，所以或或，解得或.
答案 （1）B （2）或
【教师进行规律方法总结】幂函数的性质如下：
（1）在区间上都有定义，并且图像都经过点.
（2）若，则幂函数的图像经过原点，并且在区间上是增函数.当时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上.
（3）若，则幂函数在区间上是减函数，且在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图像在轴右方且无限地逼近轴；当无限增大时，图像在轴上方且无限地逼近轴.
跟踪训练
幂函数的图像如图所示，则的值为 （ ）
A.1，2或3 B.0或2
C.1或3 D.0，1，2或3
答案 D（点拨：幂函数的图像不过原点，且在第一象限内单调递减，则，解得.又，则，1，2，3.又该函数图像关于轴对称，则该函数为偶函数.当或3时，；当或2时，.均满足题意.）
题型3 幂的大小比较
[探究问题]
1.指数函数的单调性与实数有什么关系？幂函数在上的单调性与有什么关系？
提示：当时，指数函数单调递增；当时，指数函数单调递减.当时，幂函数在上单调递增；当时，幂函数在上单调递减.
2.和可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：和可以看作函数的两个函数值.因为函数单调递增，所以.
3.和可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：和可以看作幂函数的两个函数值.因为幂函数在上单调递减，所以.
例3 比较下列各组数的大小：
（1），；（2），；
（3），，.
活动：学生先思考或回忆，然后讨论交流，教师适时提示点拨.
比较数的大小，常借助于函数的单调性.
对于（1）（2）可直接利用幂函数的单调性比较.
对于（3）只利用幂函数的单调性是不够的，还要利用指数函数的单调性，事实上，这里可作为中间量.
解 （1）由于要比较的两数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数的单调性，在第一象限内该函数单调递增，又因为，所以.
（2）由于要比较的两数的指数相同，所以利用幂函数的单调性，考察函数的单调性，在第一象限内函数单调递减，又因为，所以.
（3）首先比较指数相同的两个数的大小，考察函数的单调性，在第一象限内函数单调递增，又因为，所以.
再比较同底数的两个数的大小，考察函数的单调性，在定义域内函数单调递减，又因为，所以.
所以.
另外，本题还有图像法、计算结果等方法，留作同学们自己完成.
【教师进行规律方法总结】指数相同的幂的大小比较可以利用幂函数的单调性；底数相同的幂的大小比较可以利用指数函数的单调性.
例题探究：（改变问法）例3中的（1）（2），你能否利用对数函数来比较它们的大小呢？
解（1）令，，则，.
在同一坐标系中作出与的大致图像，如图.
作直线，交图像于，两点，
则，即.
（2）令，，
则，.
在同一坐标系中作出与的大致图像，如图.
作直线，交图像于，两点，
则，即.
【教师进行规律方法总结】
利用幂函数的单调性比较大小的三种基本方法：
三、课堂达标
1.给出四个说法：
①当时，的图像是一个点；
②幂函数的图像都经过点，；
③幂函数的图像不可能出现在第四象限；
④幂函数在第一象限为减函数，则.
其中，正确的说法个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（ ）
A. B. C. D.
3.设，则使函数的定义域是，且为奇函数的所有的值是 （ ）
A.1，3 B.-1，1 C.-1，3 D.-1，1，3
答案 1.B（点拨：当时，函数的定义域为，故①不正确；当时，函数的图像不过点，故②不正确；③④正确.）
2.D（点拨：A中定义域和值域都是；B中定义域和值域都是；C中定义域和值域都是；D中定义域为，值域为.）
3.A（点拨：当时，的定义域是，且为奇函数；当时，函数的定义域是，且为奇函数；当时，函数的定义域是，且为非奇非偶函数；当时，函数的定义域是，且为奇函数.）
四、小结与作业
1.小结.
一般幂函数的图像特征：
（1）所有的幂函数在上都有定义，因此在第一象限内部有图像，并且图像都经过点；
（2）当时，幂函数的图像经过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图像下凸；当时，幂函数的图像上凸；
（3）当时，幂函数的图像在区间上是减函数；
（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图像关于直线对称；
（5）在第一象限，作直线，它同各幂函数图像相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.
2.作业.
教材第36～37页习题4-4A第1～5题，习题4-4B第1～6题.
板书设计
函数
性质
定义域
值域
奇偶性
奇
非奇非偶
偶
奇
奇
单调性
上增
上增
上减；上增
上增
上减
上减
公共点
4.4 幂函数
1.幂函数的概念
函数称为幂函数，其中是常数.
2.幂函数的图像与性质
从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面研究
例1 例2 例3
小结 作业