人教B版 (2019)必修 第二册数学建模活动:生长规律的描述教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册数学建模活动:生长规律的描述教案，共6页。教案主要包含了创设情境，揭示课题，尝试实践，探求新知，归纳小结，巩固提高，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、创设情境，揭示课题
2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了可供决策部门参考的应用软件.
这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要.分析报告说，就全国而论，若非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加2100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府未采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人.
这项研究在充分考虑传染病控制中心每日发布的数据的基础上，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测.
本例建立数学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数的过程，也就是数学建模的过程.
二、尝试实践，探求新知
1.结合教材实例，通过数据统计，启发学生发现问题并提出问题.
我国7岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0岁指刚出生时），这些数据可以用下图表示.
问题1：我国7岁以下女童身高的增长速度呈什么趋势？
提示：越来越慢.
再例如，农业专家在研究某地区玉米在不同生长阶段的植株高度时，得到了以下数据，这些数据可以用下图直观表示.
问题2：玉米植株高度的增长有何规律？
提示：先慢后快再慢.
提问3：如何用数学语言描述类似的生长规律？
2.分析问题，建立模型.
启发学生建立函数模型探究生长规律.
例如，对于前述我国7岁以下女童身高来说，考虑到增长速度一开始比较快，后来慢慢变缓，而我们熟悉的函数中，幂函数具有这种性质，因此生长规律可用
来描述.
类似地，对于前述玉米植株高度来说，因为增长速度一开始比较慢，后来逐渐加快，而我们熟悉的函数中，指数函数具有这种性质，因此生长规律可用
来描述.
教师强调函数类型的选择技巧：根据画出的函数图像的样式，选择对应的我们学过的函数类型，这样能够保证不会出现大的偏差.
3.确定参数，计算求解.
教师和学生一起探究，通过取点检验计算，求得参数.
例如，对于函数，如果选择的是与，则有
由此可解得，，所以
.
类似地，也可选择已有数据中的两对来确定函数中的，.
例如，如果选择的是与，则有
由此可解得，，所以
在函数类型确定后，接下来的工作就是确定其中的参数，得出具体的函数解析式了.这里考验的是学生的数学运算素养，需要认真计算，保证计算正确.
4.验证结果，改进模型.
用统计表中的其他数据通过代入检验，看是否有较高的拟合度.
例如，对于描述我国7岁以下女童身高的函数来说，计算函数值，可以得到以下数据的对比表.
由表可以看出，误差都在2cm以内，因此能够较好地反映我国7岁以下女童身高的生长规律.
对于玉米植株高度函数来说，可以算得函数值的对应表如下.
不难看出，在前面7个阶段内，的函数值与实际值之间的误差不大，但是第9-11阶段就不一样了.
这种现象实际上是可以预料到的.因为指数函数的增长速度会越来越快，这就意味着这个函数一定不能反映出植株高度的实际增长规律（即先慢后快，然后又变慢）.
和学生一起分析数据，确定函数模型，并对函数模型的后续发展给出自己的判断.
课堂实践——拟合函数问题
我国1990～2000年的国内生产总值如下表所示：
（1）描点画出1990～2000年国内生产总值的图像；
（2）建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型，并画出其图像；
（3）根据所建立的函数模型，预测2004年的国内生产总值.
分析 首先根据表中数据作出散点图，然后通过观察图像来判断问题所适用的函数模型.
解 （1）取自变量为0，1，…，10，对应年份为1990，1991，…，2000，得函数图像，如下图：
（2）根据图像，取函数模型.
取两组数据：，，
代入得
解得，，得函数模型：
.
将其他数据代入上述函数解析式，基本吻合.
（3）令得（亿元），
根据所建函数模型预测2004年的国内生产总值为213726.8亿元.
规律总结：
此类题为开放性的探究题，函数模型不确定，需要我们去探索尝试，找到最适合的模型，此类题目解题的一般步骤为：
（1）作图：根据已知数据作出散点图；
（2）选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图像形状，找出比较接近的函数模型；
（3）求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式；
（4）利用所求得的函数模型解决问题.
三、归纳小结，巩固提高
1.选择函数模型时，要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合.根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，再通过数据验证.
2.函数拟合与预测的一般步骤是：
（1）能够根据原始数据、表格，绘出散点图.
（2）通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般是不会发生的.因此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
（3）根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式.
（4）利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据.
四、布置作业
教材第49页第2题.
板书设计
年龄/岁
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
身高/cm
49.7
66.8
75
81.5
87.2
92.1
96.3
年龄/岁
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
身高/cm
99.4
103.1
106.7
110.2
113.5
116.6
119.4
生长阶段
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
植株高度/cm
0.67
1.75
3.69
7.73
16.55
32.55
53.38
97.46
153.6
174.9
180.79
年龄/岁
0.5
1
1.5
2
2.5
3
身高/cm
66.8
75
81.5
87.2
92.1
96.3
68.6
76.4
82.4
87.5
91.9
95.9
年龄/岁
3.5
4.5
5
5.5
6
6.5
身高/cm
99.4
106.7
110.2
113.5
116.6
119.4
99.7
106.3
109.4
112.3
115.1
117.8
生长阶段
1
3
4
5
6
7
9
10
11
植株高度/cm
0.67
3.69
7.73
16.55
32.55
53.38
153.6
174.9
180.79
0.90
3.42
6.68
13.05
25.51
49.85
190.40
372.08
727.14
年份
1990
1991
1992
1993
产值/亿元
18598.4
21662.5
26651.9
34560.5
年份
1994
1995
1996
1997
产值/亿元
46670.0
57494.9
66850.5
73142.7
年份
1998
1999
2000
产值/亿元
76967.1
80422.8
89404.0
4.7 数学建模活动：生长规律的描述
创设情境
建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型
数学建模论文示例
1.发现问题，提出问题
2.分析问题，建立模型
3.确定参数，计算求解
4.验证结果，改进模型
归纳小结
布置作业