人教B版 (2019)必修 第二册增长速度的比较教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册增长速度的比较教学设计，共5页。教案主要包含了情境引入，新知探究，典例剖析，小结与作业等内容，欢迎下载使用。
一、情境引入
一家世界500强公司曾经出过类似这样的一道面试题：
有一套房子，价格为200万元，假设房价每年上涨10%，某人每年固定能攒下40万元，如果他想买这套房子，不贷款、收入不增加的前提下，这个人需要多少年才能攒够钱买这套房子？
（A）5年 （B）7年 （C）8年 （D）9年 （E）永远也买不起
你能给出这道题的答案吗？
二、新知探究
1.函数从到的平均变化率.
教师提出问题引导学生思考，师生共同归纳答案.
问题1：平均变化率中，自变量每增加1个单位，函数值将增加多少个单位？它反映了函数变化的什么特征？
提示：，平均变化率可以反映函数值变化的快慢程度.
问题2：对于二次函数，在对称轴右侧，自变量每增加1个单位，在区间长不变的条件下，端点数值之和越大，的函数值增加会出现什么趋势？
提示：端点数值之和越大，的函数值增加越快.
设计意图：应用平均变化率分析函数的变化趋势，给学生直观感知的印象.
2.不同函数增长模型的变化规律.
（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律.
（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律.
（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律.
教师提出问题引导学生思考，师生共同归纳答案.
问题3：函数，和有怎样的增长速度差异？
教师让学生分别在同一直角坐标系内作出这3个函数的图像并进行观察，学生小组汇报结论.
提示：随着的增大，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度越来越慢.
问题4：在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加的速度急剧变化，一般选择哪个函数模型合适？若变化的速度很平缓，一般选择哪个函数模型合适？
提示：前者选择指数函数模型合适，后者选择对数函数模型合适.
设计意图：通过问题鼓励学生善思多问，结合社会实际分析函数变化趋势，为函数建模做准备.
三、典例剖析
例1 在附近，取，在下面四个函数①，②，③，④中，平均变化率最大的是（ ）
A.④ B.③ C.② D.①
解析 时，在附近的平均变化率；②在附近的平均变化率；③在附近的平均变化率；④在附近的平均变化率.
.
答案 B
【教师进行方法指导】平均变化率的大小比较的方法：
（1）求平均变化率；
（2）对平均变化率化简后比较大小.
设计意图：回顾平均变化率的求解方法，为后面应用做铺垫.
例2 已知函数，分别计算函数在区间与上的平均变化率，并说明，当自变量每增加1个单位时，函数值变化的规律.
解 因为
，
所以在区间上的平均变化率为
；
在区间上的平均变化率为
.
不难看出，当自变量每增加1个单位时，区间的左端点值越大，函数值增加越快.
设计意图：应用平均变化率分析函数值的变化规律.
例3 巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图.同样是登山，从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.想想看，为什么？你能用数学语言来量化段曲线的陡峭程度吗？
分析 根据图中，，的坐标计算出山路从到高度的平均变化率和山路从到高度的平均变化率，根据平均变化率越大山路越陡峭即可得结论.
解 山路从到高度的平均变化率为
，
山路从到高度的平均变化率为
，
.
山路从到比从到要陡峭得多.
故从处到处会感觉比较轻松，而从处到处会感觉比较吃力.
【教师进行方法总结】可以根据平均变化率的定义式求出平均变化率作出比较.
设计意图：理清同一函数在不同区间内的变化趋势的比较.
例4 已知函数，，，分别计算这三个函数在区间上的平均变化率，并比较它们的大小.
解 因为
，
，
，
又因为时，有
，
，
因此在区间上，的平均变化率最大，的最小.
设计意图：理清不同函数在相同区间内的变化趋势的比较.
四、小结与作业
1.小结.
（1）平均变化率与函数模型增长速度的关系.
（2）三种函数模型的选取：
①当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型.
②当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型.
③当增长速度不变时，选用线性函数模型.
2.作业.
教材第41页习题4-5A第1～3题，习题4-5B第1～4题.
板书设计
教学研讨
要让学生较为全面地体会函数模型的思想，本节例题中有许多数据、图像等方面处理上的困难，利用平均变化率的运算支持，可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和线性函数的增长速度差异.这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法.因此在本节内容教学的处理上，应让学生充分利用平均变化率的运算，分析并比较指数函数、对数函数以及线性函数间的增长速度差异，结合实例体会线性增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.定义式
实质
函数值的改变量与自变量的改变量之比
作用
比较函数值在区间上变化的快慢
4.5 增长速度的比较
1.平均变化率
2.函数不同变化趋势：
线性函数增长模型
指数函数增长模型
对数函数增长模型
例1 例2 例3 例4
小结
作业