人教B版 (2019)必修 第二册函数的应用(二)教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册函数的应用(二)教案，共7页。教案主要包含了创设情境，揭示课题，结合实例，探究新知，归纳小结，发展思维，布置作业等内容，欢迎下载使用。
一、创设情境，揭示课题
大约在一千五百年前，我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一道题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚.问笼中各有多少只鸡和兔？你知道古人是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？
教师介绍古人的大胆解法：假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”.这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔的只数，即47-35=12，鸡的只数就是35-12=23.
引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.
在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这些关系的关键.怎样选择恰当的函数模型呢？
问题1：在人口增长、复利计算中，选择什么样的函数模型呢？
提示：指数函数模型.
问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？
提示：二次函数模型.
问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级时，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常说的里氏震级，使用的是什么样的函数模型？
提示：对数函数模型.
设计意图：激发学生学习兴趣，展示学习目标，建立函数模型.
二、结合实例，探究新知
1.常用到的函数模型.
（1）正比例函数模型：；
（2）反比例函数模型：；
（3）一次函数模型：；
（4）二次函数模型：；
（5）指数函数模型：；
（6）对数函数模型：；
（7）幂函数模型：.
2.已知函数模型问题.
例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题，认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：
其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年均增长率.
下表是1950～1959年我国的人口数据资料：（单位：万人）
（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
（2）如果按表中的增长趋势，大约在哪一年我国的人口将达到13亿？
启迪思维：本例的题型是利用给定的指数函数模型解决实际问题的一类问题，引导学生认识到确定具体函数模型的关键是确定两个参数与.
（1）本例中所涉及的数量有哪些？
（2）描述所涉及数量之间关系的函数模型是否是确定的，确定这种模型需要几个因素？
（3）根据表中数据如何确定函数模型？
（4）对于所确定的函数模型怎样进行检验，根据检验结果对函数模型又应作出如何评价？
（5）如何根据确定的函数模型具体预测我国某个时间的人口数，用的是何种计算方法？
提示：完成数学模型的确定之后，因为计算较复杂，故可以借助计算器.
解（1）建立人口模型，
（2）由题意知，
，即，
.
故大约在1950年后的第39年（即1989年）我国的人口将达到13亿.
设计意图：在验证问题中的数据与所确定的数学模型是否吻合时，可引导学生利用计算器或计算机作出所确定函数的图像，并由表中数据作出散点图，通过比较来确定函数模型与人口数据的吻合程度，并使学生认识到表格也是描述函数关系的一种形式.
引导学生明确利用指数函数模型对人口增长情况的预测，实质上是通过求一个对数值来确定的近似值.
例2 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人刚能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为dB的话，则有
.
（1）求等级为0dB的声音的强度；
（2）计算出90dB的声音和60dB的声音的强度比.
解 （1）由即
可得.因此等级为0dB的声音的强度为.
（2）设，则
，
解得.
设，同理可得.
因此所求强度比为
.
教师进行规律总结：
对数函数模型：能用类似对数函数表示的函数模型叫对数函数模型.对数增长的特点是随着自变量的增大（底数），函数值增大的速度越来越慢.
课堂练习 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是m/s，其中表示燕子的耗氧量.
（1）燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解（1）由题意知，当燕子静止时，它的速度，
可得，解得，
即燕子静止时的耗氧量是10个单位.
（2）将耗氧量代入所给公式，得（m/s），
即当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度为15m/s.
设计意图：应用对数函数模型解决问题，掌握对数函数模型运算和求解的特点.
3.建立函数模型问题.
例3 截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过年后，我国人口为（亿）.
（1）求与的函数关系式；
（2）求函数的定义域；
（3）判断函数是增函数还是减函数？并指出函数增减的实际意义.
解 （1）1999年底人口数：13亿.
经过1年，2000年底人口数：（亿）.
经过2年，2001年底人口数：
（亿）.
经过3年，2002年底人口数：
（亿）.
……
经过年数与的指数相同.
经过年后人口数：（亿）.
.
（2）此问题以年作为单位时间，是此函数的定义域.
（3）.
，，是增函数，
即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长.
教师进行规律总结：
指数函数模型：能用类似指数函数表示的函数模型叫指数函数模型.指数函数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数），常形象地称之为指数爆炸.
注意：（1）增长率与减少率问题都应归结为指数函数模型；（2）平均增长（或减少）率问题的表示：（或）.
例4 有些银行存款是按复利的方式计算利息的，即把前一期的利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期的利息.假设最开始本金为元，每期的利率为，存期后本息和为元.
（1）写出的解析式；
（2）至少要经过多少期后，本息和才能不小于本金的2倍？
解 （1）不难看出，
，
，
，
……
因此
，.
（2）由可得
，
由此可解得.
设不小于的最小整数为，则至少要经过期后，本息和才能不小于本金的2倍.
由例4的（2）可以得到银行业中经常使用的“70原则”：因为，而且当比较小时，，所以
，
即利率为时，本息和大约要期才能“倍增”（即为原来的2倍）.例如，当年利率为5%时，要经过14年，本息和才能“倍增”.
课堂练习 某合资企业2008年的产值达200万美元，2013年的产值达6400万美元，则平均每年增长的百分率为 （ ）
A.50% B.100%
C.150% D.200%
答案 B
点拨 设平均每年增长的百分率为，则，，.
设计意图：建立指数型函数模型，掌握指数函数建模的特点.
4.拟合函数问题.
例5 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在500～8000美元的地区销售该公司饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.
（1）下列几个模拟函数中：①；②；③；④（表示人均GDP，单位：千美元，表示年人均饮料的销售量，单位：L），用哪个模拟函数来描述年人均饮料的销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；
（2）若人均GDP为1000美元时，年人均饮料的销售量为2L，人均GDP为4000美元时，年人均饮料的销售量为5L，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均饮料的销售量最多是多少？
分析 （1）理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择；
（2）根据（1）中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值.
解（1）用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适.
（2）因为人均GDP为1000美元时，年人均饮料的销售量为2L；人均GDP为4000美元时，年人均饮料的销售量为5L，把，；，代入到，得解得，，所以函数解析式为.
因为，所以当时，年人均饮料的销售量最多是L.
课堂练习 在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据.现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
（ ）
A. B.
C. D.
答案 B
三、归纳小结，发展思维
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法：
（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；
（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.
四、布置作业
教材第44～45页习题4-6A第1～4题，习题4-6B第1～4题.
板书设计
教学研讨
解决函数应用题关键在于理解题意，提高学生的阅读能力，以及把文字语言转化为数学语言的能力.为了达到此要求，一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化.另一方面，要不断拓宽学生的知识面，提高其间接的生活阅历，如经常介绍一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也可以涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，逐步渗透，培养学生实际问题数学化的意识和能力.年份
1950
1951
1952
1953
1954
人口数
55196
56300
57482
58796
60266
年份
1955
1956
1957
1958
1959
人口数
61456
62828
64563
65994
67207
1.95
3.00
3.94
5.10
6.12
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
4.6 函数的应用（二）
“鸡兔同笼” 问题1 问题2 问题3
1.常用到的函数模型
（1）正比例函数模型
（2）反比例函数模型
（3）一次函数模型
（4）二次函数模型
（5）指数函数模型
（6）对数函数模型
（7）幂函数模型
2.已知函数模型问题
例1 例2
3.建立函数模型问题
例3 例4
4.拟合函数问题
例5
利用给定函数模型或建立确定的函数模型解决实际问题的方法：
（1）根据题意选用恰当的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系；
（2）利用待定系数法，确定具体函数模型；
（3）对所确定的函数模型进行适当的评价；
（4）根据实际问题对模型进行适当的修正.