人教B版 (2019)必修 第二册幂函数教案

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册幂函数教案，共9页。教案主要包含了导入新课，新知探究，例题分析，小结与作业等内容，欢迎下载使用。
一、导入新课
1.如果张红购买了每千克1元的水果千克，那么她需要付的钱数（元）和购买的水果质量（千克）之间有何关系？根据函数的定义可知，这里是的函数.
2.如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数.
3.如果正方体的棱长为，那么正方体的体积，这里是的函数.
4.如果正方形的面积为，那么正方形的边长，这里是的函数.
5.如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的速度km/s，这里是的函数.
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？（右边是指数式，且底数都是变量）它们与指数函数有什么区别？
（适当引导：从自变量所处的位置这个角度来思考）
（引入新课，书写课题：幂函数）
二、新知探究
提出问题：
问题1：给出下列函数：，，，，，观察这些解析式的特点，总结出来，它们是否为指数函数？
问题2：根据问题1，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.
问题3：我们前面学习指数函数和对数函数的性质时，用了什么样的思路？这个思路可以用来研究幂函数的性质吗？
问题4：画出，，，，五个函数图像，完成下列表格.
问题5：通过对以上五个函数图像的观察，哪个象限一定有幂函数的图像？哪个象限一定没有幂函数的图像？哪个象限可能有幂函数的图像，这时可以通过什么途径来判断？
问题6：通过对以上五个函数图像的观察和填表，你能类比出一般的幂函数的性质吗？
活动：考虑到学生已经学习了指数函数与对数函数，对函数的学习、研究有了一定的经验和基本方法，所以教学流程又分两条线，一条以内容为明线，另一条以研究函数的基本内容和方法为暗线，教学过程中同时展开，学生相互讨论，必要时，教师将解析式写成指数幂形式，以启发学生归纳.学生作图，教师巡视，学生小组讨论，得到结论，必要时，教师利用几何画板演示.
讨论结果：
（1）通过观察发现这些函数的变量都在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上，不符合指数函数的定义，所以都不是指数函数.
（2）由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数.如果我们用字母来表示函数的指数，就能得到一般的式子，即幂函数的定义：
一般地，函数称为幂函数，其中是自变量，是常数.
如，，等都是幂函数，幂函数与指数函数、对数函数一样，都是基本初等函数.
（3）我们研究指数函数、对数函数时，根据图像研究函数的性质，由具体到一般，一般要考虑函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；有时也通过画函数图像，从图像的变化情况来看函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，研究幂函数的性质也应如此.
（4）用描点法，也可应用函数的性质，如奇偶性、定义域等，画出函数图像.如利用描点法，在同一坐标系中画出函数，，，，的图像.
列表：
描点、连线.画出以上五个函数的图像如图所示.
让学生通过观察图像，分组讨论，探究幂函数的性质和图像的变化规律，教师注意引导学生用类比研究指数函数、对数函数性质的方法来研究幂函数的性质.
通过观察图像，完成问题4中的表格.
（5）第一象限一定有幂函数的图像；第四象限一定没有幂函数的图像；第二、三象限可能有，也可能没有幂函数的图像，这时可以通过幂函数的定义域和奇偶性来判断.
（6）幂函数的性质.
①所有的幂函数在上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点（原因：）.
②当时，幂函数的图像都通过原点，并且在上是增函数（从左往右看，函数图像逐渐上升）.
特别地，当时，，的图像都在图像的下方，形状向下凸，越大，下凸的程度越大；
当时，，的图像都在的图像上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大.
③当时，幂函数的图像在区间上是减函数.
在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图像在轴的右方且无限逼近轴，当无限增大时，图像在轴上方且无限逼近轴.
三、例题分析
例1 判断下列函数哪些是幂函数：
（1）；（2）；（3）；（4）.
活动：学生独立思考，讨论回答，教师巡视引导，及时评价学生的回答.根据幂函数的定义判别，形如的函数称为幂函数，变量的系数为1，指数是一个常数，严格按这个标准来判断.
解（1）的底数是0.2，因此不是幂函数.
（2）的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数.
（3）的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数.
（4）的底数是变量，指数是常数，因此是幂函数.
【教师进行方法总结】判断函数是否是幂函数要严格按定义来判断.
变式训练
判断下列函数哪些是幂函数：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.
答案（1）（3）的底数都是变量，指数都是常数，因此（1）（3）都是幂函数；
（2）的变量的系数为2，因此不是幂函数；
（4）的变量是和的形式，因此不是幂函数；
（5）的变量的系数为-1，因此不是幂函数.
例2 比较下列各题中两个值的大小：
（1）和；（2）和.
解 （1）考察幂函数，因为其在区间上是增函数，而且，所以
.
（2）考察幂函数，因为其在区间上是减函数，而且，所以
.
【教师进行方法总结】分析幂值，找出所考察函数，结合幂函数的单调性比较大小.注意与指数函数做好区分.
例3 讨论下列幂函数的定义域、奇偶性，通过描点作出它们的图像，并根据图像说明函数的单调性.
（1）；（2）；（3）.
活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价.回顾求一个函数的定义域的方法，判断函数奇偶性、单调性的方法.判断函数奇偶性、单调性的方法，一般用定义法.解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑：列出相应不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可得到所求函数的定义域.
解（1）要使函数有意义，只需有意义，即，所以函数的定义域是.又，所以函数是偶函数，它在上是减函数，在上是增函数（作图略）.
（2）要使函数有意义，只需有意义，即，所以函数的定义域是.由于函数的定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，它在上是减函数（作图略）.
（3）要使函数有意义，只需有意义，即，所以函数的定义域是.又，所以函数是偶函数，它在上是增函数，在上是减函数（作图略）.
【教师进行方法总结】在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域，求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.
例4 证明幂函数在上是增函数.
活动：学生先思考讨论，再回答，教师根据实际，可以提示引导.
证明函数的单调性一般用定义法，有时利用复合函数的单调性.
解 任取，，且，则
.
因为，，
所以.
所以，即在上是增函数.
【教师进行方法总结】证明函数的单调性要严格按步骤和格式书写.利用作商的方法比较大小时，与的符号要一致.
知能训练
1.下列函数中，是幂函数的是 （ ）
A. B. C. D.
2.下列结论正确的是 （ ）
A.幂函数的图像一定过原点
B.当时，幂函数是减函数
C.当时，幂函数是增函数
D.函数既是二次函数，也是幂函数
3.下列函数中，在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知某幂函数的图像经过点（2，），则这个函数的解析式为______.
答案 1.C 2.D 3.A 4.
拓展提升
分别在同一坐标系中作出下列函数的图像，通过图像说明它们之间的关系.
（1），，；（2），；
（3），，； （4），.
活动：学生思考或交流，探讨作图的方法，教师及时提示，必要时，利用几何画板演示.
解 利用描点法，在同一坐标系中作出上述四组函数的图像如图1、图2、图3、图4所示.
（1）观察图1得到：
函数，，的图像都过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近轴，向上无限接近轴，指数越小，向右无限接近轴的图像在下方，向上离轴越远.
（2）观察图2得到：
函数，的图像都过点，且在第一象限随的增大而下降，函数在区间上是单调减函数，且向右无限接近轴，向上无限接近轴，指数越小，向右无限接近轴的图像在下方，向上离轴越远.
（3）观察图3得到：
函数，，的图像都过点（1，1），（0，0），且在第一象限随的增大而上升，函数在区间上是单调增函数，指数越大图像下凸越大，在第一象限来看，图像向上离轴近，向下离轴近.
（4）观察图4得到：
函数，的图像过点（1，1），（0，0），且在第一象限随的增大而上升，函数在区间上是单调增函数，指数越小图像上凸越大，在第一象限来看，图像在点（1，1）的左边离轴近，在点（1，1）的右边离轴近.
根据上述规律可以判断函数图像的分布情况.
四、小结与作业
1.小结.
（1）幂函数的概念.
（2）幂函数的性质与图像.
（3）幂函数的性质的应用.
当幂指数时，幂函数的图像都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增；当幂指数时，幂函数的图像都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，且以两坐标轴为渐近线.
2.作业.
教材第36～37页习题4-4A第1～5题，习题4-4B第1～6题.
板书设计
教学研讨
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数，教材内容较少，但高考内容不少，应适当引申，所以设计了一些教材上没有的题目类型，以扩展学生的视野.同时由于作图的内容较多，建议抓住关键点作图，要会熟练地运用计算机作图，强化对知识的理解.函数
性质
定义域
值域
奇偶性
函数
性质
单调性
特殊点
图象分布
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
0
1
1.41
1.73
…
…
9
4
1
0
1
4
9
…
…
-27
-8
-1
0
1
8
27
…
…
-1
1
…
函数
性质
定义域
值域
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
单调递增
在第一象限单调递增；在第二象限单调递减
单调递增
单调递增
在第一象限单调递增；在第三象限单调递减
特殊点
图象分布
第一、三象限
第一、二象限
第一、三象限
第一象限
第一、三象限
4.4 幂函数
1.幂函数的概念
函数称为幂函数，其中为常数.
2.幂函数的性质与图像
例1 例2 例3 例4
小结 作业