高中数学人教A版 (2019)必修 第二册空间直线、平面的平行学案

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考点一 等角性质
【例1-1】（2024湖南）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【例1-2】（24-25上海）已知空间两个角与，若，，，则 .
【一隅三反】
1．（23-24上海）如果两个三角形不在同一平面上，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形（ ）
A．全等B．相似
C．相似但不全等D．不相似
2．（24-25海南）空间中两个角和，若，则的大小是
3．（23-24广东）如图，在两个相交平面、的交线上任意取两点O与．在平面上，过O与分别作射线OA与垂直于；在平面上，过O与分别作射线OB与垂直于．求证：．
考点二 线面平行的判定定理
【例2-1】（24-25云南昭通）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，．

(1)求证：平面．
(2)求三棱柱的表面积；
【例2-2】（2025福建）在四棱锥中，四边形为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且.求证：平面.
【例2-3】（2024安徽）如图，在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，平面，点是的中点，点在线段上且，为三角形的重心.求证：平面
【一隅三反】
1．（23-24江西南昌）（多选）在下列底面为平行四边形的四棱锥中，是四棱锥的顶点或棱的中点，则平面的有（ ）
A．B．C．D．
2．（2024江苏）如图，在三棱柱中，侧面为菱形，侧面为正方形.点为的中点，点为AB的中点.证明：平面.

3．（24-25高一下·全国·单元测试）在多面体中，点O是矩形的对角线的交点，棱且．求证：平面．
4．（2024北京）如图，平面，，，，，点分别为的中点.求证：平面

5．（2024浙江）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，，点，是棱上的三等分点，点是棱的中点．，．证明：//平面，且，，，四点共面；
考点三 面面平行的判定定理
【例3-1】（24-25广东·阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点.
(1)求证：，，，四点共面；
(2)求证：平面平面；
【例3-2】（2025云南）如图，已知三棱柱中，与交于点为边上一点，为中点，且平面.求证：平面平面.
【一隅三反】
1．（24-25高一下·全国·课后作业）在正四棱台中，，，，E，F分别是AD，AB的中点．证明：平面平面．
2．（24-25贵州遵义）在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面平面.
3．（22-23高一下·广东·期中）如图，在正方体中，为的中点.
(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求证：平面平面.
考点四 线面平行的性质定理
【例4-1】（2024安徽）如图，且，，且，且，平面，，设平面与平面的交线为，求证：；
【例4-2】（2024湖南）如图，平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，当平面时，（ ）

A．B．C．D．
【例4-3】（23-24甘肃）已知正方体的棱长为1，点是平面的中心，点是平面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点．若平面，则的值为 ．
2．（23-24安徽合肥·阶段练习）如图，四棱锥中，四边形是矩形，平面，且，，，点为中点，若上存在一点使得平面，则长度为 .
3．（2024广西）如图，四棱锥的底面为正方形，且面.设平面与平面的交线为. 证明：.
考点五 面面平行的性质定理
【例5-1】（24-25江西九江）如图，在矩形中，，在上且，将沿折起到，使得平面，点在线段上，若平面，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（2025广西）如图，，若为的中点，为的中点，求证：平面.
【一隅三反】
1．（24-25辽宁）如图，四棱柱中，四边形为平行四边形，分别在线段上，且在上且平面平面，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025北京）如图，，，点、在平面的同侧，，，，平面平面，.求证：平面；
3．（2025安徽）如图，在多面体中，四边形是菱形，且有，，，平面，．求证：平面；
考点六 平行判断定理与性质辨析
【例6】（24-25上海）已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则；
B．若，，则；
C．若、是异面直线，，，，，则；
D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．
【一隅三反】
1．（24-25江西南昌）已知直线，，平面，，则下列说法正确的是（ ）
A．，，则
B．，，，，则
C．，，，则
D．，，，，，则
2．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知表示两条不同的直线，表示三个不同的平面，下列推理正确的是（ ）
A．
B． 且
C．
D．
考点七 平行中的动点
【例7-1】（2024湖北）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，若平面，则动点的轨迹长度为

【例7-2】（2024江西景德镇）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（ ）
A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]
【例7-3】（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）在底面是菱形的四棱锥中，，， ，点E在PD上，且，平面平面．
(1)证明：；
(2)在棱PC上是否存在一点F，使平面？证明你的结论．
【一隅三反】
1．（2024河南·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为 .
2．（2025广东）如图，在三棱柱中，，，与为正三角形，动点为侧面四边形内一点，若平面，则动点运动轨迹长度为 .
3（23-24高一下·江苏淮安·阶段练习）如图，正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是，M为的中点，N是侧面上一点，且∥平面，则线段MN的最大值为 .

4．（2024湖南衡阳·阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是
5．（2025北京）如图，在棱长为1的正方体中，点 E，F分别是棱BC，的中点，P是侧面内一点（包含边界），若 平面AEF，则线段长度的取值范围是 .
6．（24-25湖南长沙）如图，在三棱锥中，、分别为、的中点，求证：
(1)∥平面；
(2)若点为棱上一点，是确定点的位置，使得平面∥平面，并说明理由．
7（23-24高一下·福建厦门·期中）如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面．
(1)判断直线l与BC的位置关系并证明；
(2)求证：平面PAD；
(3)直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．
单选题
1．（24-25北京）已知l，m是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（23-24高一下·广东广州·期中）在空间中，l，m是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，，则
3（2024上·北京 ）已知正方体，平面与平面的交线为l，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024河南）给出下列4个命题，其中正确的命题是（ ）
①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直于同一平面的两个平面平行；
③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行.
A．①②B．③④C．②③D．①④
5．（2024·全国· 专题练习）如图是一个四棱锥的平面展开图，其中四边形为正方形，四个三角形为正三角形，分别是的中点，在此四棱锥中，则（ ）
A．与是异面直线，且平面
B．与是相交直线，且平面
C．与是异面直线，且平面
D．与是相交直线，且平面
6．（2025·海南）如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ）

A．B．C．D．
多选题
7．（22-23高一下·广东·期中）如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下列判断错误的是（ ）

A．平面平面B．
C．平面D．与相交
8．（23-24云南昆明·期末）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则（ ）

A．平面B．平面
C．点在平面内D．点在平面内
9．（24-25江苏连云港）已知直线m，l，平面，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
10．（2024湖北）如图，为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则直线与平面平行的是（ ）
A．B．C．D．
11．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面四边形为梯形，．设，，，的中点分别为，，，，则（ ）

A．B．
C．四点共面D．四边形是梯形
填空题
12．（24-25内蒙古兴安盟）如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①平面；②平面；
③平面平面；④平面平面.
以上四个命题中，正确命题的序号是 .

13．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 .
14．（2025·山西吕梁）如图所示，在棱长为4的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 .
15．（2025湖南）如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是为的中点，是侧面内的动点，且平面，则点的轨迹的长度为 ．
16．（2025·四川绵阳 ）在几何学的世界里，阿基米德体以其独特的形状和美丽的对称性吸引了无数数学爱好者和科学家，它是一种半正多面体，其中每个面都是正多边形，且各个面的边数不全相同.如图，棱长为2的半正多面体是将一个棱长为6的正四面体切掉4个顶点所在的小正四面体后所剩余的部分，已知A，B，C，D为该半正多面体的四个顶点，点P为其表面上的动点，且平面，则P点的轨迹长度为 .
17．（23-24 上海·期末）如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为 ．
解答题
18．（2024 河南安阳 ）如图所示，已知圆锥是圆O的直径，是等腰直角三角形，C是圆周上不同于的的一点，D为中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求四棱锥的体积.
19．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，点是线段的中点，点在线段上，且，求证：平面.

20．（2024海南）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为中点．求证：平面；
21．（2024云南）如图，已知三棱柱为直三棱柱，，为AC的中点.证明：平面
22．（2024安徽）如图，在直三棱柱中，为的中点.

(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积.
23．（2024 全国·专题练习）如图所示，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，是棱上的一个动点，为的中点，为的中点．

(1)证明：平面；
(2)若，求证：平面；
(3)若，为的重心，证明平面.
24．（2025山西）如图，在四棱锥中，底面ABCD为梯形，，，，E为PC的中点．求证：平面PAD．

26．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图，在正方体中，E，F，P，Q分别是，，，的中点．求证：

(1)平面；
(2)平面．
27．（23-24高一下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）正方体如图所示
(1)求证:平面.
(2)平面平面.
28．（2025山东）如图，在三棱柱中，侧面为矩形，M，N分别为AC，的中点．求证：平面平面；
29（2024贵州）如图，以正方形的边所在直线为旋转轴，其余三边旋转120°形成的面围成一个几何体．设是弧上的一点，，分别为线段，的中点．证明：平面.
30（2024·河南）如图，三棱柱各棱长均相等，为棱上一点，为棱的中点，平面．
(1)求的值；
(2)若平面将三棱柱分为两部分，较小部分的体积为，较大部分的体积为，求的值．