人教A版 (2019)必修 第二册简单几何体的表面积与体积学案及答案

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考点一 多面体的表面积
【例1-1】（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在正方体的八个顶点中，有四个顶点A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的表面积与正方体的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【例1-2】（23-24高一下·河南商丘·阶段练习）如图，在正四棱台中．，，则正四棱台的表面积为（ ）
A．28B．26C．24D．16
【一隅三反】
1．（24-25云南）若正四棱台的上底边长为2，下底边长为8，高为4，则它的表面积为（ ）
A．50B．100C．248D．168
2．（24-25高一下·全国·随堂练习）若正三棱锥的所有棱长均为，则该三棱锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25北京）若正方体八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（ ）
A．B．C．D．
考点二 多面体的体积
【例2-1】（23-24高一下·河南洛阳·期中）如图，正方体的八个顶点中，其中A，，C，恰好是正四面体的顶点，则此正四面体的体积与正方体的体积之比为（ ）
A．B．C．1：3D．1：4
【例2-2】（23-24高一下·江苏·阶段练习）若正六棱台的高为6，且，，则该正六棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25福建）如图所示，在正方体中，点为棱上一动点，四棱锥的体积占正方体体积的（ ）
A．B．C．D．不确定
2（23-24高一下·山东烟台·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为7，9，体积为193，则该正四棱台的侧棱长为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024上·四川南充）如图，在正三棱柱中，，则三棱锥的体积为（ ）．
A．B．3C．D．6
考点三 旋转体的表面积
【例3-1】（24-25高一上·河北保定·期中）若圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．2πB．3πC．2 D．
【例3-2】（2024北京房山·期中）以边长为2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25重庆）已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为 .
2．（2024下·福建莆田）已知圆锥的母线为6，底面半径为1，把该圆锥截成圆台，使圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为
3（2024上·江苏南京）（多选）以长为，宽为的矩形的一边为旋转轴旋转而成的圆柱的表面积可以为（ ）
A．B．C．D．
考点四 旋转体的体积
【例4-1】（2024·吉林）一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（23-24高一下·四川凉山·期末）若圆锥的表面积为，且其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】（24-25·山西）已知某圆台的侧面展开图如图所示，，，，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25黑龙江鸡西·期中）如图，将底面半径为1高为3的圆锥截去体积为的锥尖，剩余圆台的侧面积为（ ）

A．B．C．D．
2．（23-24高一下·四川绵阳·期末）等腰直角的面积为1，以斜边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25湖南永州）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，，，，则该四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
考点五 空间几何体的实际应用
【例5-1】（24-25江西南昌）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ）
A．B．2dmC．3dmD．
【一隅三反】
1．（24-25江苏·阶段练习）如图1的方斗杯古时候常作为盛酒的一种容器，有如图2的方斗杯，其形状是一个上大下小的正四棱台，，，现往该方斗杯里加某种酒，当酒的高度是方斗杯高度的一半时，用酒，则该方斗杯可盛该种酒的总容积为（ ）

A．B．C．D．
2．（安徽省滁州市2025届高三第一次教学质量监测数学试题）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久，最早可以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇面的圆心角为，上板长为若把该扇面围成一个圆台，则圆台的高为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·新疆乌鲁木齐）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（ ）.
A．B．C．D．
考点六 外接球与内切球
【例6-1】（2025陕西省）已知直三棱柱中，，则直三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例6-2】（2024·湖南邵阳）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【例6-3】（24-25安徽·阶段练习）在正四棱台中，，高为，则该正四棱台的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（23-24云南曲靖·阶段练习）．已知直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25河北秦皇岛）已知圆柱的底面半径等于球的半径，圆柱的侧面积与球的表面积之比为，则圆柱外接球的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·广东·期中）半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一下·江苏南京·期末）设是球表面上的四个点，平面，，，，，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高二上·四川内江·期末）已知一个正方体的棱长为2，则该正方体内能放入的最大球体的体积为（ ）
A．B．C．D．
考点七 最值问题
【例7-1】（2025·湖北）若正六棱锥的体积为，则PA的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．
【例7-2】（2025·山东日照）已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4，高为．若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1.（2024重庆）如图，正四面体的棱长为2，在上有一动点，过作平行于底面的截面，以该截面为底面向下挖去一个正三棱柱，则该正三棱柱侧面积的最大值为（ ）

A．B．C．D．
2．（24-25云南文山）已知长方体的体积为16，且，则长方体外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高一下·浙江·期中）如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱.
(1)求此圆锥的表面积与体积；
(2)试用x表示圆柱的高h；
(3)当x为何值时，圆柱的全面积最大，最大全面积为多少？
一、单选题
1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知正四棱柱中，截面是边长为的正方形，则正四棱柱的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024 北京）小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（ ）

A．108B．162C．180D．189
3．（23-24高一下·山东威海·期末）有一个正四棱台形状的油槽，最多装油，已知它的两底面边长分别为和，则它的深度为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的母线长为（ ）
A．2B．C．1D．2
5．（24-25宁夏银川·阶段练习）若一个圆锥底面半径为1，高为，则该圆锥表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25辽宁抚顺）已知圆柱和圆锥的高相等，侧面积相等，且它们的底面半径均为2，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·浙江·一模）将半径为4的半圆面围成一个圆锥，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
8（2025海南）如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
9．（24-25甘肃白银·阶段练习）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45°之后，表面积增加了（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25湖北）在测量降雨量的实践活动中，某小组利用现有仪器，将一个玻璃漏斗固定在一个较大的锥形瓶上，漏斗的下端伸进锥形瓶内，下雨时将其置于室外收集雨水．如图所示，已知锥形瓶的底部直径为，瓶口直径为，玻璃漏斗口直径为，收集完毕后测得水面距瓶底，水面直径，则平地降雨量大约为（ ）注：平地降雨量等于收集到的雨水体积与收集雨水玻璃漏斗口的面积之比
A．B．C．D．
11．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
12．（24-25高一上·湖南娄底·期中）已知球是三棱锥的外接球，，则当点到平面的距离取最大值时，球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
13（24-25高一下·全国·单元测试）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则（ ）
A．三棱锥的体积为B．三棱锥的体积为
C．三棱锥的体积为D．三棱锥的体积为
14．（24-25河北邢台）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，高相等，侧面积也相等，则（ ）
A．圆柱和圆锥的体积之比为3
B．圆柱的底面半径和高之比为
C．圆锥的母线和高之比为2
D．圆柱和圆锥的表面积之比为
15．（24-25河北张家口·开学考试）已知正四棱台上底面的边长为2，下底面边长为4，棱台的体积为56，则下列说法正确的是（ ）
A．该四棱台的高为3B．该四棱台的侧棱长为
C．该四棱台的侧面积为D．该四棱台一定不存在内切球
16．（24-25·新疆）在直四棱柱中，底面四边形是边长为的菱形，，，则下列说法正确的是（ ）
A．该直四棱柱的体积为
B．该直四棱柱的表面积为
C．三棱锥外接球的半径为
D．点到平面的距离为
17．（24-25广东肇庆·期末）如图所示的圆台，在轴截面中，，则（ ）
A．该圆台的高为1
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5
18．（24-25湖北）已知圆锥的顶点为P，AB为底面圆O的直径，，，点C在圆O上，则（ ）
A．该圆锥的侧面积为B．该圆锥的体积为
C．三棱锥体积的最大值为1D．该圆锥内部最大的球的半径为
三、填空题
19．（2024浙江）棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为 .
20．（23-24高一下·福建漳州·期中）某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为，的正四棱台，若棱台的高为，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 .

21．（2024河北）已知圆柱与圆锥的高均为3，底面半径均相等，若圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等，则圆锥的体积为 ．
22．（24-25河南）某一次性咖啡杯的杯体近似视为圆台，如图所示，该圆台的上、下底面圆周长分别为，，侧面积为，则该咖啡杯的体积为 ．
23．（24-25上海长宁·期末）在三棱锥中，平面，，若点A，B，C，D均在球O的表面上，且，则球O的表面积为 .
24．（24-25高一上·湖南衡阳·期末）将一个底面边长为2cm，高为的正四棱锥铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为 .
25．（23-24高一下·河南漯河·期中）在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为 .
26．（24-25上海·期末）将一个半径为5的金属球熔化后，重新铸造为64个相同的小球，则这些小球的表面积之和为 ．
四、解答题
27．（23-24高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求四棱锥的表面积.
28．（24-25高一·全国·假期作业）我们生活中常以多少毫米降雨量来描述雨势的大小，例如：降雨量10毫米的实际意义为本次降雨过程平地上每平方米的平均水深为10毫米．这种计量方式源远流长，南宋数学家秦九韶在《数书九章》中有天池测雨一题：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数．假令盆口径二尺八寸，底径一尺二寸、深一尺八寸，接雨水深九寸，欲求平地雨降几何？
(1)试说明秦九韶认为不能直接用盆里的水深来代替平地水深的原因；
(2)该盆的容积为多少立方寸？（注：径指直径，盆视为一个圆台，一尺等于十寸）
(3)题中记载八百年前的这次降雨过程折算到现代为多少毫米的降雨量．（精确到1毫米，宋代一寸约为现代31.2毫米）
29．（23-24高一下·福建泉州·期中）如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm.

(1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积.
30（23-24高一下·福建福州·期末）罗星塔，位于福州马尾，某校开展数学建模活动，有学生选择测量罗星塔的高度，为此，他们设计了测量方案，如图， 罗星塔垂直于水平面，他们选择了与罗星塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得∠ADB=45°， AB=30米，且在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为45°和 ，其中 .
(1)求罗星塔的高 CD的长；
(2)在(1)的条件下求多面体A-BCD的表面积；
(3)在(1)的条件下求多面体A-BCD的内切球的半径.
31．（23-24高一下·北京·期末）高一年级举办立体几何模型制作大赛，某同学想制作一个顶部是正四棱锥、底部是正四棱柱的模型，并画出了如图所示的直观图.其中正四棱柱. 的高 是正四棱锥. 的高 的4倍.
(1)若 ；
(i)求该模型的体积；
(ii)求顶部正四棱锥的侧面积；
(2)若顶部正四棱锥的侧棱长为 6，当 为多少时，底部正四棱柱的侧面积S最大?并求出S的最大值.