高中数学人教A版 (2019)必修 第二册基本立体图形优质导学案

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考点一 多面体
【例1】（2024湖南）下面关于空间几何体叙述正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．正四棱柱都是长方体
D．直角三角形以其直角边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆柱
【一隅三反】
1．（24-25高一下·全国·课后作业）有下列四个命题，其中正确的是（ ）
A．底面是矩形的平行六面体是长方体
B．棱长相等的直平行六面体是正方体
C．有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体
D．对角线相等的平行六面体是直平行六面体
2．（23-24高一下·广东清远·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B．一个多面体至少有4个面
C．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
3．（23-24四川成都）下列说法正确的是（ ）
A．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台
C．多面体至少有5个面
D．六棱柱有6条侧棱，6个侧面，侧面均为平行四边形
4．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
C．各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥
D．底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥
考点二 旋转体
【例2-1】（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）（多选）以下四个空间几何体是旋转体的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（2024云南）下列结论中正确的是（ ）
A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球
B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥
C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台
【一隅三反】
1.（2025山东）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
2（2024河北）给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；
④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；
⑤圆台所有母线的延长线交于一点其中正确的命题是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤
3（2024广东深圳）（多选）下列关于球体的说法正确的是（ ）
A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合
C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体是球体
D．球的对称轴只有1条
考点三 组合体
【例3-1】（24-25湖南）如图所示的组合体，则由下列所示的哪个三角形绕直线l旋转一周可以得到（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】（23-24高一下·河南·期中）两个三棱锥、一个四棱锥拼在一起不可能拼成的是 （ ）
A．一个三棱锥B．一个四棱锥
C．一个三棱柱D．一个四棱柱
【一隅三反】
1．（2025福建）能旋转形成如图所示的几何体的平面图形是
A．B．C．D．
2（2024上海）将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由 ( )
A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成
C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成
3（2025湖北）如图所示，是由等腰梯形、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的平面轴对称图形，若将它绕轴l旋转180°后形成一个组合体，下面说法不正确的是 ( )
A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
考点四 距离最短
【例4-1】（2025云南）某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A．B．C．D．
【例4-2】（2024·陕西西安）圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4．已知P为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为（ ）
A．B．6C．D．
【例4-3】（24-25上海徐汇）已知正四棱柱的底面边长为1，高度为2，一蚂蚁沿着正四棱柱的表面从点爬到点的最短距离是 ．
【例4-4】（24-25 上海·期末）如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 .
【例4-5】（24-25 上海·期中）《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为 .
【例4-6】（24-25安徽如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【一隅三反】
1．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图圆柱的底面周长是，圆柱的高为，为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如果沿着圆柱的侧面从下底面点处爬到上底面点处，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
2（24-25高二上·上海松江·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为 .
3．（23-24高一下·福建福州·期中）已知圆台上下底面的圆心分别为，，母线（点位于上底面），且满足，圆的周长为，一只蚂蚁从点出发沿着圆台的侧面爬行一周到的中点，则蚂蚁爬行的最短路程为
4（23-24高一下·河北石家庄·期中）如图，在正四棱锥中，，．从A拉一条细绳绕过侧棱PB到达C点，则细绳的最短长度为 ．
5（23-24高一下·河北·期末）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，正方形的边长为，，分别是线段，上的一点，则的最小值为
6（2024·江苏苏州）如图， 四棱锥 截取自边长为1 的正方体.其中 平面且 是线段 上靠近 的三等分点， 是线段 上最靠近 B的四等分点，M，N 分别是棱 和 上的动点且恒有， 垂足为H， 则 的最小值为
7（23-24高一下·山西运城·阶段练习）已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为
8.（23-24高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是
考点五 截面
【例5-1】（24-25北京）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）
C．（1）（4）D．（1）（5）
【例5-2】（23-24高一下·河南新乡·期中）一个圆柱的侧面展开图是长为4，宽为2的矩形，则该圆柱的轴截面的面积为（ ）
A．32B．C．D．
【例5-3】（2024北京）圆锥的母线长为6，轴截面的顶角为120度，过两条母线作截面，则截面面积的最大值为（ ）
A．B．18C．D．9
【例5-4】（2024·四川达州）如图，在正方体中，为中点，为线段上一动点，过的平面截正方体的截面图形不可能是（ ）

A．三角形B．矩形C．梯形D．菱形
【一隅三反】
1．（2024黑龙江）圆柱内有一内接正三棱锥，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025北京）如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（ ）
A．（2）（5）B．（1）（3）C．（2）（4）D．（1）（5）
3（24-25 广西柳州·期中）如图，正方体的棱长为2，E，F分别为的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为 .
4（23-24高一下·湖南长沙·期末）在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为
5．（2024高三·全国·专题练习）我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M、N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABC－A1B1C1所得截面图形的面积为 .
6．（23-24内蒙古）若圆锥的轴截面是一个顶角为，腰长为3的等腰三角形，则过此圆锥顶点的所有截面中，截面面积的最大值为
单选题
1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列几何体中是旋转体的是（ ）
①圆柱；②六棱锥；③正方体；④球体；⑤四面体．
A．①和⑤B．①和②C．③和④D．①和④
2．（23-24高一下·北京大兴·期中）在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（ ）
A．三棱锥B．三棱台
C．四棱锥D．组合体
3．（2025福建）下列几何体的侧面展开图如图所示，其中是棱锥的为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25北京·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．正三棱锥的每个面都是正三角形
B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体
C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
多选题
5．（23-24高一下·云南昭通·期中）下列命题中，正确的有（ ）
A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
6．（23-24高一下·山西大同·期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个多面体至少有4个面
B．圆柱的母线与它的轴可以不平行
C．用任意一个平面截球得到的截面都是一个圆面
D．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
7．（23-24高一下·安徽安庆·阶段练习）下列说法中正确的是（ ）
A．多面体的每条棱都是一条线段
B．在四棱台中，四点可以不共面
C．上、下底面均为正方形的四棱台的四条侧棱长一定相等
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线
8．（23-24高一下·陕西咸阳·期中）以下说法不正确的是（ ）
A．各侧面都是矩形的棱柱是长方体
B．有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥
D．底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱
9．（23-24高一下·河南郑州·期中）下列命题正确的是（ ）
A．一个棱锥至少5个面
B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形
C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
10（2024浙江温州·期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（ ）
A．长方体B．圆台C．四棱台D．正四面体
11．（2024高三·全国·专题练习）如图，从一个正方体中挖掉一个四棱锥，然后从任意面剖开此几何体．下列可能是该几何体的截面的为（ ）
A．B．C．D．
填空题
12．（23-24上海·课堂例题）如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？
①四面体； ②四棱锥； ③四棱柱；
④五棱锥； ⑤五棱柱； ⑥六棱锥；
⑦七面体．
（找出可能的结果，并将序号填在横线上）
13．（23-24高一下·北京大兴·期中）给出下列命题：
① 一个棱柱至少5个面；
② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
③ 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；
④ 所有侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体；
⑤ 有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台.
其中，所有正确命题的序号是 ．
14（2024海南）一个正四棱台上､下底面边长分别为2，4，高为3，则经过相对两侧棱的截面的面积为 .
15．（24-25高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是 .

16．（24-25上海·期中）如图，一圆柱体的底面周长为，高为，是底面的直径.一只昆虫从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则昆虫爬行的最短距离是 .
17．（24-25上海宝山·期末）如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，是母线上一点，且公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路.这条铁路从出发后首先上坡，随后下坡，则上坡段铁路的长度为 公里.
18（24-25上海）已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 ．
19（2024河北邯郸·期中）如图，在正四棱锥中，侧棱长均为4，且相邻两条侧棱的夹角为分别是线段上的一点，则的最小值为 ．
20（23-24高二下·上海·开学考试）如图，在底半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，则圆锥过轴的截面面积为 ，圆柱的底面半径为 ．