高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算精品课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册复数的四则运算精品课后练习题，共4页。
一、单选题
若复数z=(1−i)(2+i)（i为虚数单位），则z的虚部为（ ）
A. -1
B. -i
C. -2
D. 1
设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2等于（ ）
A. -5
B. 5
C. -4 + i
D. -4 - i
若复数z和其共轭复数z满足z+z=6，z⋅z=10，则z等于（ ）
A. 1±3i
B. 3±i
C. 3+i
D. 3−i
已知复数z满足(z−1)(1+2i)=2+i，则|z|等于（ ）
A. 2
B. 22
C. 2
D. 1
已知i是虚数单位，复数z=i20241−i，则z的共轭复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、多选题
下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A. i3(1+i)2
B. i2(1−i)2
C. 1+i1−i
D. (1−i1+i)2
设复数z满足z+3z−1=−i，则下列说法正确的是（ ）
A. z为纯虚数
B. 在复平面内，z对应的点位于第三象限
C. z的虚部为2i
D. |z|=5
已知复数z1，z2是方程x2−x+2=0的两根，则（ ）
A. 12−72i是方程的一个根
B. z1−z2=z1−z2
C. z1z2=|z1|2
D. z1+z21−i在复平面内所对应的点位于第四象限
三、填空题
若复数z=a1−2i+i（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a=______。
已知关于x的方程x2+(1−2i)x+3m−i=0有实根，则实数m=______。
四、解答题
计算：
(1) (−1+i)(2+i)i3；
(2) (1+2i)2+3(1−i)2+i；
(3) (1+i1−i)6+2+3i3−2i。
已知复数z=1−2i。
(1) 若z0z=2z+z0，求复数z0的共轭复数；
(2) 若z是关于x的方程x2−mx+5=0的一个虚根，求实数m的值。
答案：A
解析：因为z=(1−i)(2+i)=2+i−2i−i2=3−i，所以z的虚部为−1。
答案：A
解析：由于z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2=−2+i，则z1z2=(2+i)(−2+i)=−1−4=−5。
答案：B
解析：设z=a+bi(a,b∈R)，则z=a−bi。由题意得2a=6a2+b2=10，解得a=3b=1或a=3b=−1，∴z=3±i。
答案：A
解析：由(z−1)(1+2i)=2+i得(z−1)(1+2i)(1−2i)=(2+i)(1−2i)，即5(z−1)=−2+2+5i，z−1=i，z=1+i，即|z|=12+12=2。
答案：D
解析：因为z=i20241−i=11−i=1+i(1−i)(1+i)=1+i2=12+12i，所以其共轭复数z=12−12i，所以z在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限。
答案：BC
解析：A项，i3(1+i)2=−i⋅2i=2，故错误；
B项，i2(1−i)2=−1⋅(−2i)=2i，故正确；
C项，1+i1−i=(1+i)22=2i2=i，故正确；
D项，(1−i1+i)2=(1−i)2(1+i)2=−2i2i=−1，故错误。
答案：BD
解析：由z+3z−1=−i，得z=−3+i1+i=(−3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=−1+2i，故A错误；z的虚部为2，故C错误；|z|=(−1)2+22=5，故D正确；z=−1−2i，则z在复平面内对应的点位于第三象限，故B正确。
答案：BC
解析：由x2−x+2=0，解得x=12−72i或x=12+72i，故A错误；
不妨设z1=12−72i，z2=12+72i，
则z1−z2=12−72i−(12+72i)=−7i，
z1−z2=7i，
z1−z2=12+72i−(12−72i)=7i，
所以z1−z2=z1−z2，
同理，当z1=12+72i，z2=12−72i时也成立，故B正确；
由根与系数的关系得z1z2=2，|z1|2=(14+74)2=2，
所以z1z2=|z1|2，故C正确；
z1+z21−i=11−i=12+12i，所以z1+z21−i在复平面内所对应的点(12,12)位于第一象限，故D错误。
答案：−53
解析：z=a1−2i+i=a(1+2i)(1−2i)(1+2i)+i=a5+(2a5+1)i。
由题意，知a5+(2a5+1)=0，解得a=−53。
答案：112
解析：设实根为x0，
则x02+(1−2i)x0+3m−i=0，
即(x02+x0+3m)−(2x0+1)i=0，
所以x02+x0+3m=02x0+1=0，解得x0=−12m=112。
答案：
解：(1)(−1+i)(2+i)i3=−3+i−i=−1−3i。
(2)(1+2i)2+3(1−i)2+i=−3+4i+3−3i2+i=i2+i=i(2−i)5=15+25i。
(3)(1+i1−i)6+2+3i3−2i=[(1+i)22]6+i(3−2i)3−2i=i6+i=−1+i。
答案：
解：(1)因为z0z=2z+z0，
所以z0=2zz−1=2(1−2i)−2i=2+i。
所以复数z0的共轭复数为2−i。
(2)因为z是关于x的方程x2−mx+5=0的一个虚根，所以(1−2i)2−m(1−2i)+5=0，
即(2−m)+(2m−4)i=0。
又因为m是实数，所以2−m=0，且2m−4=0，所以m的值为2。