人教版（2024）七年级下册（2024）实际问题与二元一次方程组精品测试题

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知识点01 列二元一次方程组解决实际问题
列二元一次方程组解应用题的基本步骤：
审题：弄清题意已经题目中的等量关系。
设未知数：根据题意设出两个未知数表示题目中的两个未知量。
列方程：根据所设未知数以及等量关系列出方程组。
解方程：解出所列的方程组。
检验：检验方程组的解是否满足实际问题。
答：写出答案。
常见的基本等量关系：
行程问题：速度×时间＝路程
顺水速度＝静水速度＋水流速度
逆水速度＝静水速度－水流速度
配套问题：实际数量比＝配套比
商品销售问题：利润＝售价－进价；售价＝标价×折扣；利润率＝利润÷进价×100%
工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率
【即学即练1】
1．列方程（组）解应用题
已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度．
【分析】本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速度＝总路程，据此可列方程组求解．
【解答】解：设船在静水中的速度为x，水流速度为y．
18(x+y)=36024(x−y)=360化简得x+y=20x−y=15，
解得：x=17.5y=2.5．
答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时．
【即学即练2】
2．某网店用24000元的资金购进A、B两种玩具共700件，准备在“双十一”期间销售，A、B两种玩具的进价分别为60元、15元：
（1）网店本次购进A、B两种玩具的数量分别是多少？
（2）该网店的A种玩具在“双十一”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加A种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具．一个A种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？
【分析】（1）设购进A种玩具的数量为x件，购进B种玩具的数量是y件，根据“购进A、B两种玩具共700件，购进A、B两种玩具共24000元”列出方程组解决问题；
（2）设加工甲部件的有m人，加工乙部件的有n人，根据加工甲乙部件的有68名工人；一个A种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个列方程组求解即可．
【解答】解：（1）设购进A种玩具的数量为x件，购进B种玩具的数量是y件，根据题意得：
x+y=70060x+15y=24000，
解得，x=300y=400
所以，购进A种玩具300件，购进B种玩具400件；
（2）设加工甲部件的有m人，加工乙部件的有n人，根据题意得：
m+n=683×16m=2×10n，
解得，m=20n=48，
答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套．
【即学即练3】
3．一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元．
（1）求甲、乙装修组工作一天，商店各需支付多少元费用？
（2）若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：
①甲单独做；
②乙单独做；
③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店经营？说明理由．
【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，根据甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，列出方程组，解方程组即可；
（2）分别求出三种情况下的费用，然后进行比较得出答案即可．
【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元，
依题意得：8x+8y=35206x+12y=3480，
解得：x=300y=140，
所以，甲组工作一天商店应支付300元，乙组工作一天商店应支付140元．
（2）设甲、乙装修组的工作效率分别为m，n，
由题意得8m+8n=16m+12n=1，
解得：m=112n=124，
所以，甲单独完成需要12天，乙单独完成需要24天．
以24天为标准，
选择①所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（300+200）×12＝6000（元），12×200＝2400（元），∴24天花费6000﹣2400＝3600（元）；
选择②所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（140+200）×24＝8160（元）；
选择③所需装修费用及耽误营业损失的费用之和为：（300+140+200）×8＝5120（元），16×200＝3200（元），5120﹣3200＝1920（元）．
因为1920＜3600＜8160，所以，安排甲乙合作施工更有利于商店经营．
【即学即练4】
4．两位同学设计一款填数游戏，根据如图信息解决问题．
（1）求a，b的数量关系；
（2）求c的值．
【分析】（1）由②号正方形上四个数的和与③号正方形上四个数的和相等，可列出关于a，b的二元一次方程，变形后即可得出结论；
（2）由“②号正方形上四个数的和与③号正方形上四个数的和相等，②号正方形上四个数的平方和与③号正方形上四个数的平分和相等”，可列出关于a，b的方程组，解之可得出a，b的值，再结合①号正方形上四个数的和与②号正方形上四个数的和相等，即可求出c的值．
【解答】解：（1）根据题意得：a﹣2+4＝b﹣4+8，
∴a＝b+2；
（2）根据题意得：−2+4+a=8−4+b(−2)2+42+a2=82+(−4)2+b2，
解得：a=16b=14，
又∵﹣2+4＝c+b，
∴c＝2﹣b＝2﹣14＝﹣12．
【即学即练5】
5．某商场购进商品后加价40%作为销售价，现该商场搞优惠促销活动，决定甲、乙商品分别以销售价的七折和九折销售，某顾客购买甲、乙两种商品各一件，共付款399元，这两件商品未打折前的销售价之和为490元，求这两种商品每件的进价．（用二元一次方程组的知识解答）
【分析】设每件甲商品的进价是x元，每件乙商品的进价是y元，根据“打折后购买甲、乙两种商品各一件，共需399元；这两件商品未打折前的销售价之和为490元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每件甲商品的进价是x元，每件乙商品的进价是y元，
根据题意得：70%×(1+40%)x+90%×(1+40%)y=399(1+40%)x+(1+40%)y=490，
解得：x=150y=200．
答：每件甲商品的进价是150元，每件乙商品的进价是200元．
【即学即练6】
6．列二元一次方程组解应用题：
小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20分钟．他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分，他从家到学校的路程是3350米．求小明骑自行车和步行的时间分别为多少分钟？
【分析】设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，利用路程＝速度×时间，结合小明到校所用时间及从家到学校的路程，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小明骑自行车的时间为x分钟，步行的时间为y分钟，
根据题意得：x+y=20200x+70y=3350，
解得：x=15y=5．
答：小明骑自行车的时间为15分钟，步行的时间为5分钟．
题型01 顺行（顺风）与逆行（逆风问题）
【典例1】请欣赏我国古典文学名著《西游记》描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里．若设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，则可列方程组（ ）
A．4x+y=6004x−y=1000 B．4(x+y)=6004(x−y)=1000
C．4x+y=10004x−y=600 D．4(x+y)=10004(x−y)=600
【分析】根据顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1000里，逆风返回时4分钟走了600里，列出方程组即可．
【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
则可列方程组为：4(x+y)=10004(x−y)=600；
故选：D．
【变式1】若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为x km/h，江水的流速为y km/h，则根据题意可列方程组为（ ）
A．3x−y=603x+y=120 B．3(x+y)=1203(x−y)=60
C．3(x−y)=1203(x+y)=60 D．3x+y=603x−y=120
【分析】船只顺流速度＝船静水中的速度+水流流速，船只逆流速度＝船静水中的速度﹣水流流速，根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得3(x+y)=1203(x−y)=60．
故选：B．
【变式2】今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时．
（1）求该客轮在静水中的速度和水流速度；
（2）若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米．
【分析】（1）设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设从重庆港到该码头两地相距a千米，则从石宝寨到该码头两地相距（270﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意得：9(x+y)=270(9+4.5)(x−y)=270，
解得：x=25y=5，
答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；
（2）设从重庆港到该码头两地相距a千米，则从石宝寨到该码头两地相距（270﹣a）千米，
依题意得：a25+5=270−a25−5，
解得：a＝162，
答：重庆港与该码头两地相距162千米．
【变式3】一只小船从A港口顺水航行到B港口需8小时，而从B港口逆水返回到A港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由A港口顺水航行到B港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈．
（1）若A港口到B港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？
（2）若救生圈从A港口漂流到B港口，需要多长时间？
（3）救生圈于何时掉入水中？
【分析】（1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，然后根据题意可列方程组为240=8(x+y)240=12(x−y)，可进行求解；
（2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，然后根据题意可列方程为s=8(a+b)s=12(a−b)，然后根据行船问题可进行求解；
（3）设救生圈在出发t小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了（8﹣t+4）小时，然后根据题意可列方程为18st+(8−t+4)148s+412s=s，进而问题可求解．
【解答】解：（1）设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意得：
240=8(x+y)240=12(x−y)，
解得：x=25y=5，
所以水流速度是每小时5千米，
答：水流速度是每小时5千米；
（2）设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得：
s=8(a+b)s=12(a−b)，
解得a=548sb=148s，
∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为sb=ss48=48（小时）；
答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时；
（3）设救生圈在出发t小时掉入水中，由题意得：
18st+(8−t+4)148s+412s=s，
解得：t＝4，
∴8+4＝12，
所以救生圈于上午12时掉入水中，
答：救生圈于上午12时掉入水中．
题型02 配套问题
【典例1】甘肃博物馆的“砂锅娃娃”系列文创备受欢迎，一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，一名工作人员1天能缝制180个“戏精豆芽”或者240个“弹弹粉条”，若博物馆有15名工作人员缝制“戏精豆芽”和“弹弹粉条”，为了使每天缝制的两种娃娃刚好配套，假设x名工作人员缝制“戏精豆芽”，y名工作人员缝制“弹弹粉条”，根据题意列方程组正确的是（ ）
A．x+y=15180x×2=240y×3B．x+y=15180x×3=240y×2
C．x+y=152x=3y D．x+y=153x=2y
【分析】根据一个“素砂锅”中含有3个“戏精豆芽”和2个“弹弹粉条”，列方程组即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，x+y=15180x×2=240y×3，
故选：A．
【变式1】“辉煌九秩，筑梦百年”，在巴蜀中学建校90周年之际，八年级学生王小明制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知1m2材料可制作10个礼盒或50张礼卡，现有8m2材料，并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套．设用x m2材料用来制作礼盒，y m2材料用来制作礼卡．则可列方程组（ ）
A．x+y=810x=3×50yB．x+y=810x=50y
C．x+y=83×10x=50yD．x+y=8310x=150y
【分析】根据“共有8m2材料，且制作出来的礼卡总数是礼盒总数的3倍”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵共有8m2材料，
∴x+y＝8；
∵每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，1m2材料可制作10个礼盒或50张礼卡，且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套（即制作出来的礼卡总数是礼盒总数的3倍），
∴3×10x＝50y．
∴根据题意可列方程组x+y=83×10x=50y．
故选：C．
【变式2】某加工厂接到一批制作课桌椅的订单．已知该工厂有70名工人，每人每天平均可以加工40张课桌或60把椅子，一套课桌有1张课桌和2把椅子，为了使每天加工的课桌和椅子刚好配套，求加工课桌和椅子的工人数量．
【分析】设x人加工课桌，y人加工椅子，由题意：该工厂有70名工人，每人每天平均可以加工40张课桌或60把椅子，一套课桌有1张课桌和2把椅子，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设x人加工课桌，y人加工椅子，
由题意得：x+y=702×40x=60y，
解得：x=30y=40，
答：30人加工课桌，40人加工椅子．
【变式3】实验室需要一批无盖的长方体模型，一张大纸板可以做成长方体的侧面30个，或长方体的底面25个，一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，则用多少张做侧面，多少张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余？
【分析】设用x张做侧面，y张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据一个无盖的长方体由4个侧面和一个底面构成．现有26张大纸板，列出方程组，求出x，y的值即可；
【解答】解：设用x张做侧面，y张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余，根据题意得：
x+y=2630x=4×25y，
解得：x=20y=6．
答：用20张做侧面，6张做底面才可以使得刚好配套，没有剩余．
题型03 工程问题
【典例1】为打造沙滨公园风光带，现有一段长为140米的人行步道修建任务，由A、B两个工程小组先后接力完成，A工程小组每天修建12米，B工程小组每天修建8米，共用时16天，设A工程小组修建人行步道x米，B工程小组修建人行步道y米，依题意可列方程组（ ）
A．x+y=140x8+y12=16B．x+y=168x+12y=140
C．x+y=1612x+8y=140D．x+y=140x12+y8=16
【分析】根据河道总长为140米和A、B两个工程队共用时16天这两个等量关系列出方程，组成方程组即可求解．
【解答】解：设A工程小组整治河道x米，B工程小组整治河道y米，依题意可得：
x+y=140x12+y8=16，
故选：D．
【变式1】世界地球日（The Wrld Earth Day）即每年的4月22日，是一项世界性的环境保护活动日．某工厂计划生产800个地球日徽章，若甲机器和乙机器同时运作3天后，甲机器再单独运作2天，还有100个未完成．若乙机器先运作2天后，甲再加入后共同运作5天，则可超产300个．设甲机器每天生产x个，乙机器每天生产y个，则可列方程组为（ ）
A．3(x+y)+2x=800+1002x+5(x+y)=800−300B．3(x+y)+2x=800+1002y+5(x+y)=800−300
C．3(x+y)+2x=800−1002y+5(x+y)=800+300D．3(x+y)+2y=800−1002x+5(x+y)=800+300
【分析】设甲机器每天生产x个，乙机器每天生产y个，根据“计划生产800个地球日徽章，若甲机器和乙机器同时运作3天后，甲机器再单独运作2天，还有100个未完成．若乙机器先运作2天后，甲再加入后共同运作5天，则可超产300个．”，可列出关于x，y的二元一次方程组．
【解答】解：根据题意得：3(x+y)+2x=800−1002y+5(x+y)=800+300．
故选：C．
【变式2】为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数．
（1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：x+y=▱15x+10y=□
乙：x+y=▱x15+y10=□
根据甲、乙两同学所列的方程组，指出未知数x的含义：
甲：x表示 A工程队用时的天数 ；乙：x表示 A工程队整治道路的总长度 ．
（2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题．
【分析】（1）根据题意可得甲：x表示A工程队工作的天数，y表示B工程队工作的天数；乙：x表示A工程队整治的河道长度，y表示B工程队整治的河道长度；
（2）解甲的方程组可得x，y的值，进而可得A，B两工程队分别整治河道的米数．
【解答】解：（1）甲：x+y=3015x+10y=350，
乙：x+y=350x15+y10=30，
甲：x表示A工程队用时的天数；
乙：x表示A工程队整治道路的总长度．
故答案为：A工程队用时的天数；A工程队整治道路的总长度；
（2）选第一种：
x+y=3015x+10y=350，
解得x=10y=20．
答：A工程队用时10天，B工程队用时20天；
选第二种；
x+y=350x15+y10=30，
解得：x=150y=200，
A工程队用时：150÷15＝10．
B工程队用时：200÷10＝20．
答：A工程队用时10天，B工程队用时20天．
【变式3】某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆，由于熟练工不够，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
（1）求每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
（2）如果工厂招聘n名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，求所抽调的熟练工的人数．
【分析】（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，根据关键语句：①1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，②名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车，列出方程组即可；
（2）设需熟练工m名，根据题意可得等量关系n名新工人一年安装的电动汽车数+m名熟练工一年安装的电动汽车数＝240辆，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解：（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车，
根据题意可列方程，x+2y=82x+3y=14，
解得x=4y=2．
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车．
（2）设需熟练工m名，
依题意有：2n×12+4m×12＝240，
整理得：m=5−12n．
所抽调的熟练工的人数为（5−12n）人．
题型04 图标信息问题
【典例1】北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十八号航天员乘组顺利进驻中国空间站与神舟十七号航天员乘组太空会师，载人飞船发射取得了圆满成功!小王和小花都是航天爱好者，他们计划购买甲、乙两种飞船模型收藏．下面是两位同学的对话：
求甲、乙两种飞船模型每件的售价分别为多少元？
【分析】设甲种飞船模型每件的售价是x元，乙种飞船模型每件的售价是y元，根据小王和小花两位同学的对话，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设甲种飞船模型每件的售价是x元，乙种飞船模型每件的售价是y元，
由题意得：x+2y=502x+y=40，
解得：x=10y=20，
答：甲种飞船模型每件的售价是10元，乙种飞船模型每件的售价是20元．
【变式1】元旦期间，若干名家长和学生去某景区游玩．请根据景区票价公示栏中的信息及两人的对话，解答下列问题：
（1）求这次参加游玩的家长和学生各多少人？
（2）通过计算说明，如果家长和学生一起购买团体票，能否比分别购票更省钱？
（3）另有9名家长和6名学生也计划去这个景区游玩，请直接写出这15人按照上述景区票价购票，最少需要多少元？
【分析】（1）设这次参加游玩的家长有x人，学生有y人，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）求出家长和学生一起购买团体票最低费用，即可求解；
（3）分别求出若家长和学生一起购买团体票；若家长和学生分别购票；若10人购买团体票，5名学生购买学生票的费用，即可求解．
【解答】解：（1）设这次参加游玩的家长有x人，学生有y人，根据题意得：
x+y=990x+0.5×90y=630，
解得x=5y=4，
答：这次参加游玩的家长有5人，学生有4人；
（2）家长和学生一起购买团体票最低费用为0.8×90×10＝720（元），
∵720＞630，
∴分别购票比购买团体票更省钱；
（3）若家长和学生一起购买团体票，费用为0.8×90×15＝1080（元），
若家长和学生分别购票费用为90×9+0.5×90×6＝1080（元），
若10人购买团体票，5名学生购买学生票，此时费用为0.8×90×10+5×0.5×90＝945（元），
∵1080＞945，
所以购票最少需要945元．
【变式2】某玩具店经销A，B两种玩具，进价和售价如表所示：
（1）第一次进货时，玩具店购进A，B两种玩具30件共花了1500元，请问A，B两种玩具各进了多少件？
（2）受市场因素影响，第二次进货时，A种玩具进价每件上涨了5元，B种玩具进价每件上涨了10元，但两种玩具的售价不变．玩具店计划用1200元同时购进A，B两种玩具，1200元刚好用完，请问有几种购进方案，并说明哪种购进方案获得利润最多，是多少元？
【分析】（1）设A种玩具进x件，B种玩具y件，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设第二次A种玩具购进a件，B种玩具购进b件，根据题意得：50a+70b＝1200，即5a+7b＝120；然后列举出a、b的可能取值进行解答即可．
【解答】解：（1）设A种玩具进x件，B种玩具y件，根据题意得：
x+y=3045x+60y=1500，
解得x=20y=10，
答：A种玩具进20件，B种玩具进10件；
（2）设第二次A种玩具购进a件，B种玩具购进b件，根据题意得：
50a+70b＝1200，化简得：5a+7b＝120，
因为a，b只能取正整数，所以采购方案共有三种，分别是：
方案一：A种17件，B种5件，利润为：17×16+5×20＝272+100＝372（元）；
方案二：A种10件，B种10件，利润为：10×16+10×20＝160+200＝360（元）；
方案三：A种3件，B种15件，利润为：3×16+15×20＝48+300＝348（元）．
答：共有三种购进方案，其中购进A种玩具17件，B种玩具5件利润最多为372元．
题型05 商品利润问题
【典例1】某商场按定价销售某种商品时，每件可获利30元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件利润相等．设该商品的进价、定价分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A．y−x=305(0.8y−x)=8(y−20−x)B．y−x=305×0.8y=8(y−20)
C．y−x=308(0.8y−x)=5(y−20−x)D．y−x=300.8y−x5=y−20−x8
【分析】根据“按定价的八折销售该商品5件与将定价降低20元销售该商品8件所获得的利润相等”，“每件可获利30元”可列出方程组．
【解答】解：根据题意得
y−x=305(0.8y−x)=8(y−20−x)，
故选：A．
【变式1】某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元．经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元．求实际销售运动衣多少套？每套运动衣实际利润是多少元？设原计划销售运动衣x套，原计划每套运动衣的利润是y元．可列方程组为（ ）
A．(x−400)(y+10)=12000xy=12000+4000B．(x+400)(y−10)=12000+4000xy=12000
C．(x+400)(y−10)=12000xy=12000+4000D．(x−400)(y+10)=12000xy=12000−4000
【分析】利用总利润＝每套的销售利润×销售数量，结合降价前后可获得的利润，可得出关于x，y的二元二次方程组，此题得解．
【解答】解：∵按原价销售，能获得利润12000元，
∴xy＝12000；
∵降低售价后，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元，
∴（x+400）（y﹣10）＝12000+4000．
∴根据题意可列方程组(x+400)(y−10)=12000+4000xy=12000．
故选：B．
【变式2】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利6000元，销售1辆B型汽车可获利4000元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？
【分析】（1）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据3辆A型汽车、4辆B型汽车的进价共计115万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计130万元，即可解得答案；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，可得25m+10n＝150，n=30−5m2，而m，n为正整数，故m=2n=10或m=4n=5，公司共有二种购买方案，算出每种方案的利润可得最大利润为52000元．
【解答】解：（1）设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，
由题意可得：3x+4y=1154x+3y=130，
解得x=25y=10，
∴A种型号的汽车每辆进价为25万元，B种型号的汽车每辆进价为10万元；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，
由题意可得25m+10n＝150，且m＞0，n＞0，
∴n=30−5m2，
∵m，n为正整数，
∴m=2n=10或m=4n=5，
∴该公司共有二种购买方案，
当购买A型号的汽车2辆，B种型号的汽车10辆时，获得的利润为：6000×2+4000×10＝52000（元），
当购买A型号的汽车4辆，B种型号的汽车5辆时，获得的利润为：6000×4+4000×5＝44000（元），
答：该公司共有二种购买方案，最大利润为52000元．
【变式3】某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%．
（1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？
（2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．
①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？
②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？
【分析】（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，由题意：第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．列出二元一次方程组，解方程组即可；
②设购进A型台灯a台，B型台灯B台，由题意：想使获得的利润为1000元，列出二元一次方程，求出自然数解，即可解决问题．
【解答】解：（1）设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，
由题意得：10x+20y=300015(1+30%)x+10(1+20%)y=4500，
解得：x=200y=50，
答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元；
（2）①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，
由题意得：10(m−200)+20(n−50)=280015[m−200(1+30%)]+10[n−50(1+20%)=1800]，
解得：m=340n=120，
答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；
②第二次购进的A型台灯的价格为：200（1+30%）＝260（元），B型台灯的价格为：50（1+20%）＝60（元），
设购进A型台灯a台，B型台灯B台，
由题意得：（340﹣260）a+（120﹣60）b＝1000，
整理得：4a+3b＝50，
∵a、b为自然数，
∴a=2b=14或a=5b=10或a=8b=6或a=11b=2，
∴有4种购进方案：
①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．
题型06 行程问题
【典例1】某人要在规定时间内驾车从甲地赶往乙地，如果他以50km/h的速度行驶，那么就会迟到24min；如果他以75km/h的速度行驶，那么可提前24min到达乙地，求甲、乙两地之间的距离，设甲、乙两地之间的距离为s km，从甲地到乙地的规定时间为t h，则可列方程组（ ）
A．s50=t−2460s75=t+2460 B．s50=t+2460s75=t−2460
C．s50=t+2460s75=t+2460 D．s50=t−2460s75=t−2460
【分析】根据如果他以50km/h的速度行驶，那么就会迟到24min；如果他以75km/h的速度行驶，那么可提前24min到达乙地，列出二元一次方程组即可．
【解答】解：根据题意得：s50=t+2460s75=t−2460，
故选：B．
【变式1】甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇；若同向而行，且甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，求甲、乙两人的速度．设甲的速度为x千米/小时，乙的速度为y千米/小时，则可列方程组为（ ）
A．2x+2y=185x−4y=18B．2x−2y=185x+4y=18
C．2x+2y=185x=4y−18D．2x+2y=185x+4y=18
【分析】根据甲乙两人在相距18千米的两地，若同时出发相向而行，经2小时相遇，可得2x+2y＝18，根据甲比乙先出发1小时，那么在乙出发后经4小时甲追上乙，可得5x﹣4y＝18，从而可以列出相应的方程组．
【解答】解：由题意可得2x+2y=185x−4y=18．
故选：A．
【变式2】列二元一次方程组解决实际问题：小明从家到学校需要先走一段上坡路再走一段下坡路，小明上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从家走到学校需要15分钟，如果放学回家时，小明的上坡和下坡的平均速度不变，则从学校回家需要20分钟，请问小明家与学校的距离是多少千米？
【分析】设小明从家到学校上坡路程为x km，下坡路程为y km，根据时间＝路程÷速度分别列出x和y的二元一次方程组，解方程求出x，y即可．
【解答】解：设小明从家到学校上坡路程为x km，下坡路程为y km，
根据题意得：x2+y3=1560y2+x3=2060，
解得：x=0.1y=0.6，
∴x+y＝0.7，
答：小明家与学校的距离是0.7千米．
【变式3】周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
（1）若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
（2）假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒．两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒．按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
【分析】（1）设小明的速度为x米/秒，他的爸爸的速度为y米/秒，根据若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）求出小明和爸爸到400米终点需要的时间，得出小明能在400米终点前追上爸爸，设小明追上爸爸需要的时间为m秒，则追上时距离终点还有（400﹣5m）米，根据追上时小明和爸爸的路程相等，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：（1）设小明的速度为x米/秒，他的爸爸的速度为y米/秒，
由题意得：36x+36y=400180y−180x=400，
解得：x=409y=203，
答：小明的速度为409米/秒，他的爸爸的速度为203米/秒；
（2）∵小明到400米终点需要的时间为400÷5＝80（秒），他的爸爸到400米终点需要的时间为2006+2004=8313（秒），
∵80＜8313，
∴小明能在400米终点前追上爸爸，
设小明追上爸爸需要的时间为m秒，则追上时距离终点还有（400﹣5m）米，
由题意得：5m＝200+4（m−2006），
解得：m=2003，
∴400﹣5m＝400﹣5×2003=2003，
答：小明能在400米终点前追上爸爸，追上时距离终点还有2003米．
1．九章算术原文：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百，问人数、金价咨几何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x人，金价为y钱，根据题意列方程组为（ ）
A．400x+3400=y300x+100=y B．400x−3400=y300x+100=y
C．300x+3400=y400x+100=y D．400x−3400=y300x−100=y
【分析】设合伙人数为x人，金价y钱，根据“每人出钱400，会多出3400钱；每人出钱300，会多出100钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设合伙人数为x人，金价y钱．
∵每人出钱400，会多出3400钱，
∴400x﹣3400＝y；
∵每人出钱300，会多出100钱，
∴300x﹣100＝y．
联立两方程组成方程组得400x−3400=y300x−100=y，
故选：D．
2．《算法统宗》中记载了这样一个问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？”其大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．问大、小和尚各有多少人？设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列方程组为（ ）
A．x+y=1003x+13y=100 B．x+y=10013x+3y=100
C．x+y=1003x+y=100 D．x+y=100x+13y=100
【分析】根据题意列方程组即可．
【解答】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，
由题意得：x+y=1003x+13y=100，
故选：A．
3．福州鱼丸是一种地道闽味小吃，颗颗圆润饱满，外皮Q弹滑嫩，内馅鲜美多汁，精选鱼肉与细腻猪肥膘巧妙融合，由手工打制而成，既保留了鱼肉的鲜香，又增添了口感的层次．周末小花和小丽一起去小吃摊品尝鱼丸，小花说：“我比你多吃了7个鱼丸啊！”小丽说：“如果你给我8个鱼丸，我的鱼丸数量就是你的2倍”．如果她们说的都是真的，设小花吃了x个鱼丸，小丽吃了y个鱼丸，那么可列方程组（ ）
A．x−y=7x−8=2(y+8)B．x−y=72(x−8)=y+8
C．x−y=72(x−8)=yD．y−x=7x+8=2(y−8)
【分析】根据小花说：“我比你多吃了7个鱼丸啊！”小丽说：“如果你给我8个鱼丸，我的鱼丸数量就是你的2倍”，列出方程组即可．
【解答】解：由题意得，x−y=72(x−8)=y+8．
故选：B．
4．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A．y=3(x+4)y=4(x+1)B．y=3x+4y=4x+1
C．x=3(y+4)x=4(y+1)D．x=3y+4x=4y+1
【分析】用代数式表示井深即可得方程．此题中的等量关系有：①将绳三折测之，绳多四尺；②绳四折测之，绳多一尺．
【解答】解：若设绳长、井深分别为x、y尺，则符合题意的方程组是x=3(y+4)x=4(y+1)．
故选：C．
5．李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为7.5cm，用4个碗叠放时总高度为11.5cm．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（ ）
A．15.5cmB．17.5cmC．19.5cmD．21.5cm
【分析】设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，根据用2只碗叠放时总高度为7.5cm，用4只碗叠放时总高度为11.5cm．列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设一个碗的高度为x cm，增加一个碗高度增加y cm，
由题意得：x+y=7.5x+3y=11.5，
解得：x=5.5y=2，
∴8个碗叠成一列高度为x+7y＝5.5+7×2＝19.5（cm），
即将8个碗叠成一列正好能放入消毒柜，则这个消毒柜的高度至少有19.5cm，
故选：C．
6．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空”．诗中后两句的意思是如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，据此求客房和客人的数量，对于甲、乙、丙三人的解题方案，判断正确的个数是（ ）
甲：设客房有x间，则7x+7＝9（x﹣1）；
乙：设客人有y人，则y−77=y9；
丙：设客房有x间，客人有y人，则7x=y−79x=y+9．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据题意找到等量关系式即可．
【解答】解：设客房有x间，则7x+7＝9（x﹣1），故甲正确，符合题意；
设客人有y人，则y−77=y9+1，故乙不正确，不符合题意；
设客房有x间，客人有y人，则7x=y−79x=y+9，故丙正确，符合题意；
综上：正确的有甲、丙，共2个，
故选：C．
7．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ）
A．60厘米B．80厘米C．100厘米D．120厘米
【分析】设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设小长方形纸片的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：x+y=603x=2x+3y，
解得：x=45y=15，
则每个小长方形的周长＝2（x+y）＝120（厘米），
故选：D．
8．如图，长方形ABCD中放置9个形状、大小都相同的小长方形，AD与AB的差为4，小长方形的周长为16，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．26B．28C．30D．32
【分析】设小长方形的长为x、宽为y，根据AD与AB的差为4，小长方形的周长为16，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题．
【解答】解：设小长方形的长为x、宽为y，
由题意得：2(x+y)=16x+4y−(x+2y)=4，
解得：x=6y=2，
∴S阴影＝（x+2y）（x+4y）﹣9xy＝（6+4）×（6+8）﹣9×6×2＝32，
故选：D．
9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个3×3表格，其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则2x+y的值为（ ）
A．﹣5B．﹣4C．4D．5
【分析】根据每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：由题意得：−7+4+x=−7+(−2)+33+x=y+(−2)，
解得：x=−3y=2，
∴2x+y＝2×（﹣3）+2＝﹣4，
故选：B．
10．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3x+2y=19x+4y=23，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A．|B．||C．|||D．||||
【分析】设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意列出方程组，把x＝3代入，求得a的值便可．
【解答】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
2x+y=11①4x+ay=27②，
把x＝3代入，得6+y=11③12+ay=27④
由③得，y＝5，
把y＝5代入④得，12+5a＝27，
∴a＝3，
故选：C．
11．已知一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字和是9，若颠倒个位数字与十位数字的位置，得到的新数比原数小63，则这个两位数是 81 ．
【分析】理解题意，正确列出方程组，然后求解即可．
【解答】解：设两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意，得x+y=9(10x+y)−(10y+x)=63，
解得x=8y=1，
∴这个两位数为81，
故答案为：81．
12．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，则用 15 张铁皮做盒身， 20 张铁皮做盒底，恰巧配套．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是（1）盒身的个数×2＝盒底的个数；（2）制作盒身的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数＝35，列方程组求解即可．
【解答】解：设用x张制作盒身，y张制作盒底，
根据题意，得x+y=352×20x=30y，
解得x=15y=20，
故答案为：15，20．
13．已知兄弟俩的对话如下：弟弟对哥哥说：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，则哥哥今年的年龄是 11 岁．
【分析】设哥哥今年的年龄是x岁，弟弟今年的年龄是y岁，由题意：“我俩的年龄加起来是妈妈年龄的一半”，哥哥对弟弟说：“现在我比你大4岁，再过18年，我们的年龄加起来就等于妈妈的年龄了”，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设哥哥今年的年龄是x岁，弟弟今年的年龄是y岁，
由题意得：x−y=4x+18+y+18=2(x+y)+18，
解得：x=11y=7，
即哥哥今年的年龄是11岁，
故答案为：11．
14．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年02月04日至2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，这是中国历史上第一次举办冬季奥运会冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”陶制品分为小套装和大套装两种已知购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，则大套装的单价为 120 元．
【分析】设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，根据购买2个小套装和购买1个大套装，共需220元；购买3个小套装和2个大套装，共需390元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得到结论．
【解答】解：设大套装的单价为x元，小套装的单价为y元，
依题意可得：x+2y=2202x+3y=390，
解得x=120y=50，
∴大套装的单价为120元．
故答案为：120．
15．团体购买公园门票，票价如下表：
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a和b（a≥b），若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数的乘积ab＝ 2800 ．
【分析】先判断a+b≥51，且a，b为正整数，再分51≤a+b≤100，a+b＞100，再建立方程组解题即可．
【解答】解：∵50×13＝650，
∴两个部门的人数和超过50人，
∴a+b≥51，且a，b为正整数，
当51≤a+b≤100时，
∴11（a+b）＝990，
∴a+b＝90①，
∵a≥b，
当两部门的人都小于50人时，129013不是整数，不符合题意；
∴51≤a≤100，1≤b≤50，
∴11a+13b＝1290②，
联立①②可得：a+b=90①11a+13b=1290②，
解得：a=−60b=150，不符合题意，
当a+b＞100时，
∴9（a+b）＝990，
∴a+b＝110③，
∵a≥b，
当1≤b≤50，51＜a≤100，
∴11a+13b＝1290④，
联立③④可得：a+b=11011a+13b=1290，
解得：a=70b=40，
∴ab＝40×70＝2800，
当51≤b≤100，51≤a≤100时，
∴11（a+b）＝1290，此时不符合题意，舍去，
当a＞100时，则1≤b＜10，
∴13b+9a＝1290⑤，
联立③⑤可得：a+b=1109a+13b=1290，
解得：a=35b=75，不符合题意，舍去，
综上分析：ab＝2800，
故答案为：2800．
16．在《二元一次方程组》这一章的复习课上，刘老师给出了下面的题目：
在某市“精准扶贫”工作中，甲、乙两个工程队先后接力为扶贫村庄修建一条4000米长的公路，甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，一共用18天完成．
（1）李东同学根据题意，列出了一个尚不完整的方程组x+y=△200x+250y=□，请写出李东所列方程组中未知数x，y表示的意义：x表示 甲队修建的时间 ，y表示 乙队修建的时间 ；并写出该方程组中△处的数应是 18 ，□处的数应是 4000 ；
（2）陈彬同学的思路是想设甲工程队一共修建了x米公路，乙工程队一共修建了y米公路．下面请你按照陈彬的设想列出方程组，并求出乙队修建了多少天？
【分析】（1）由两队共用18天完成修建任务，可得出△处的数，利用工作总量＝工作效率×工作时间，结合甲、乙两队的工作效率及公路的总长，可得出x，y的含义及□处的数；
（2）利用公路的总长及工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再利用乙队的工作时间＝乙队的工作总量÷乙队的工作效率，即可求出乙队的工作时间．
【解答】解：（1）∵甲、乙两个工程队先后接力18天完成公路的修建任务，
∴x+y＝18，
∴△处的数应是18；
∵甲队每天修建200米，乙队每天修建250米，公路全长4000米，
∴200x+250y＝4000，
∴x表示甲队修建的时间，y表示乙队修建的时间，□处的数应是4000．
故答案为：甲队修建的时间，乙队修建的时间，18，4000；
（2）根据题意得：x+y=4000x200+y250=18，
解得：x=2000y=2000，
∴y250=2000250=8（天）．
答：乙队修建了8天．
17．为了防治“甲流病毒”，某医药公司计划用两种车型购买相关药物．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆B型车装满药物一次可运13吨．
（1）求1辆A型车和1辆B型车都装满药物一次可分别运多少吨？
（2）该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．请你帮该医药公司设计租车方案．
【分析】（1）设1辆A型车装满药物一次可运x吨，1辆B型车装满药物一次可运y吨，根据用2辆A型车和1辆B型车装满药物一次可运11吨，用1辆A型车和2辆B型车装满药物一次可运13吨．列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）根据该医药公司准备购买33吨药物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可》
【解答】解：（1）设1辆A型车装满药物一次可运x吨，1辆B型车装满药物一次可运y吨，
由题意得：2x+y=11x+2y=13，
解得：x=3y=5，
答：1辆A型车装满药物一次可运3吨，1辆B型车装满药物一次可运5吨；
（2）由题意，得3a+5b＝33，
整理得：a＝11−53b，
∵a，b均为正整数，
∴a=6b=3或a=1b=6，
∴有2种租车方案：
①租A型车6辆，B型车3辆；
②租A型车1辆，B型车6辆．
18．列方程（组）解应用题：
某超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，这两种商品的进价，标价如下表：
（1）求甲、乙两种商品各购进多少件？
（2）若甲种商品按标价下降a元出售，乙种商品按标价八折出售，那么这批商品全部售出后，超市共获利2640元，求a的值．
【分析】（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，利用进货总价＝进货单价×购进数量，结合该超市用9600元购进甲、乙两种商品共200件，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润＝每件甲商品的销售利润×购进数量+每件乙商品的销售利润×购进数量，可列出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种商品购进x件，乙种商品购进y件，
根据题意得：x+y=20030x+60y=9600，
解得：x=80y=120．
答：甲种商品购进80件，乙种商品购进120件；
（2）根据题意得：（50﹣a﹣30）×80+（90×0.8﹣60）×120＝2640，
解得：a＝5．
答：a的值为5．
19．某商场从厂家购进了A、B两种品牌篮球，第一批购买了这两种品牌篮球各40个，共花费了7200元．全部销售完后，商家打算再购进一批这两种品牌的篮球，最终第二批购进50个A品牌篮球和30个B品牌篮球共花费了7400元．两次购进A、B两种篮球进价保持不变．
（1）求A、B两种品牌篮球进价各为多少元一个；
（2）第二批次篮球在销售过程中，A品牌篮球每个原售价为140元，售出40个后出现滞销，商场决定打折出售剩余的A品牌篮球；B品牌篮球每个按进价加价30%销售，很快全部售出．已知第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，求A品牌篮球打几折出售？
【分析】（1）设A品牌篮球进价为x元，B品牌篮球进价为y元，根据题意，列出二元一次方程组，解出即可得出答案；
（2）设A品牌篮球打m折出售，分别算出A、B品牌篮球的利润，然后根据第二批次两种品牌篮球全部售出后共获利2440元，列出方程，解出即可得出答案．
【解答】解：（1）设A品牌篮球进价为x元，B品牌篮球进价为y元，
根据题意，可得：40(x+y)=720050x+30y=7400，
解得：x=100y=80，
∴A品牌篮球进价为100元，B品牌篮球进价为80元；
（2）设A品牌篮球打m折出售，
∴A品牌篮球的利润为：(140−100)×40+(50−40)×140×m10−100×(50−40)=140m+600（元），
B品牌篮球的利润为：30×80×30%＝720（元），
根据题意，可得：140m+600+720＝2440，
解得：m＝8，
∴A品牌篮球打八折出售．
20．某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨．该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资，一次可分别运多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案；
（3）若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆B型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费．
【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
（3）利用总租金＝每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论．
【解答】解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，
根据题意得：x+2y=102x+y=11，
解得：x=4y=3．
答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆B型车装满资物一次可运3吨；
（2）根据题意得：4a+3b＝31，
∴a=31−3b4．
又∵a，b均为正整数，
∴a=1b=9或a=4b=5或a=7b=1，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用1辆A型车，9辆B型车；
方案2：租用4辆A型车，5辆B型车；
方案3：租用7辆A型车，1辆B型车；
（3）选择方案1所需租金为120×1+150×9＝1470（元）；
选择方案2所需租金为120×4+150×5＝1230（元）；
选择方案3所需租金为120×7+150×1＝990（元）．
∵1470＞1230＞990，
∴最省钱的租车方案为：租用7辆A型车，1辆B型车，最少租车费为990元．
课程标准
学习目标
①列二元一次方程组解决实际问题
掌握列二元一次方程组解决实际问题的基本步骤，能够熟练的列方程解应用题。
掌握基本等量关系，能够熟练的根据题目设出未知数列出方程并解决实际问题。
名称
A
B
进价（元）
45
60
售价（元）
66
90
购进的台数
购进所需要
的费用（元）
A型
B型
第一次
10
20
3000
第二次
15
10
4500
购票人数
1～50
51～100
100以上
门票价格
13元/人
11元/人
9元/人
价格
类型
甲种
乙种
进价（元/件）
30
60
标价（元/件）
50
90