初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）代入消元法优秀精练

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）代入消元法优秀精练，文件包含1021代入消元法-知识点梳理+练习含答案解析docx、1021代入消元法-知识点梳理+练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。

知识点01 代入消元法解二元一次方程组
消元思想：
将多元方程中的未知数逐个消除转换为一元一次方程，先求出一个未知数在求其他未知数这样由多化少的转换思想叫做消元思想。
代入消元法：
将二元一次方程组中其中一个方程的未知数用另一个未知数表示出来，在代入另一个方程中实现消元，进而求得这个二元一次方程的解的方法。简称代入法。
代入消元法的具体步骤：
变形：即把其中一个方程中一个未知数用 另一个未知数 表示出来。
代入：将变形得到的式子代入 另一个方程 。得到消元后的一元一次方程。
求解：解消元后的一元一次方程。
回代：把求得的一元一次方程的解代回变形后的式子求出另一个未知数的值。
写解：把两个未知数的解用联立起来。一定要写成的形式。
注意：代入消元法多使用于方程组中未知数系数为±1时的方程，有直接代入，变形代入与整体代入。
【即学即练1】
1．由x2−y3=1可以得到用x表示y的式子是（ ）
A．y=3x−22B．y=32x−12C．y=3−32xD．y=32x−3
【分析】先移项，再方程两边都乘﹣3即可．
【解答】解：x2−y3=1，
移项，得−y3=1−x2，
系数化成1，得y=32x﹣3，
故选：D．
【即学即练2】2．在方程2x﹣3y＝8中，用x的代数式表示y，得 y=23x−83 ．
【分析】对方程2x﹣3y＝8进行变形即可．
【解答】解：将含x项移到等号右侧得：﹣3y＝8﹣2x，
整理得：y=23x−83，
故答案为：y=23x−83．
【即学即练3】3．用代入法解下列方程组：
（1）y=2x−33x−2y=8（2）x−y=33x−8y=14（3）2s=3ts=2t+53（4）3x−5y=6x+4y=−15．
【分析】先找一个简单的方程，用一个未知数表示另一个未知数，再用代入法求解．
【解答】解：（1）y=2x−3(1)3x−2y=8(2)
把（1）代入（2）得，
3x﹣2（2x﹣3）＝8，
∴x＝﹣2，
把x＝﹣2代入（1）得，
y＝﹣7．
∴原方程组的解为x=−2y=−7；
（2）x−y=3(1)3x−8y=14(2)
由（1），得x＝y+3 （3），
把（3）代入（2），得
3（y+3）﹣8y＝14，
解，得y＝﹣1，
把y＝﹣1代入（3），得
x＝2，
∴原方程组的解为x=2y=−1；
（3）2s=3t(1)s=2t+53(2)
把（2）代入（1）得，
4t+103=3t，
解得，t＝2，
把t＝2代入（2）得，
s＝3，
∴原方程组的解为s=3t=2；
（4）3x−5y=6(1)x+4y=−15(2)
由（2）得，
x＝﹣4y﹣15 （3），
把（3）代入（1）得，
3（﹣4y﹣15 ）+4y＝﹣15，
解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入（3），得
x＝﹣3，
∴原方程组的解为x=−3y=−3．
【即学即练4】4．已知关于x，y的方程组4x−y=−5ax+by=−1和3x+y=−93ax+4by=18有相同的解，那么a+b的平方根是（ ）
A．2B．±2C．2D．±2
【分析】根据题意组成新的方程组4x−y=−53x+y=−9，即可求出x、y的值，然后再组成关于a、b的方程组−2a−3b=−1−6a−12b=18，求出a、b的值，再根据算术平方根、立方根的定义计算即可．
【解答】解：根据题意得4x−y=−53x+y=−9，
解得x=−2y=−3，
把x=−2y=−3代入方程ax+by＝﹣1和方程3ax+4by＝18中，得
−2a−3b=−1−6a−12b=18，
解得a=11b=−7，
∴a+b＝11﹣7＝4，
∴a+b=4=2，
∵2的平方根是±2，
∴a+b的平方根是±2，
故选：B．
【即学即练5】5．甲、乙两位同学在解方程组ax+3y=9bx−4y=4时，甲把字母a看错了得到方程组的解为x=4y=1，乙把字母b看错了得到方程组的解为x=3y=2，则a+b＝ 3 ．
【分析】根据题意把x=4y=1代入方程bx﹣4y＝4中求出b的值，把x=3y=2代入方程ax+3y＝9中求出a的值，然后计算a+b即可．
【解答】解：把x=4y=1代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4，
解得b＝2，
把x=3y=2代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9，
解得a＝1，
∴a+b＝1+2＝3，
故答案为：3．
【即学即练6】6．（1）观察发现：
材料：解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②，
将①整体代入②，得3×4+y＝14，
解得y＝2，
把y＝2代入①，得x＝2，
所以x=2y=2
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
请直接写出方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②的解为 x=0y=−1 ．
（2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②．
【分析】（1）将第一个方程变形为x﹣y＝1，利用整体代入法解方程组即可；
（2）将第一个方程变形为2x﹣3y＝2，利用整体代入法解方程组即可．
【解答】解：（1）x−y−1=0①4(x−y)−y=5②，
由①得：x﹣y＝1③，
将③代入②得：4﹣y＝5，
解得：y＝﹣1，
将y＝﹣1代入③得：x+1＝1，
解得：x＝0，
则原方程组的解为x=0y=−1，
故答案为：x=0y=−1；
（2）2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②，
由（1）得：2x﹣3y＝2③，
将③代入②得：2+57+2y＝9，
解得：y＝4，
将y＝4代入③得：2x﹣12＝2，
解得：x＝7，
故原方程组的解为x=7y=4．
题型01 利用代入消元法解二元一次方程组
【典例1】解二元一次方程组x+7y=−19x−5y=17，用代入消元法消去x，得到的方程是（ ）
A．2y＝﹣2B．2y＝﹣36C．12y＝﹣2D．12y＝﹣36
【分析】将①变形代入②即可消去x，得到方程12y＝﹣36．
【解答】解：将x+7y＝﹣19变形为x＝﹣19﹣7y，
将其代入x﹣5y＝17可得：﹣19﹣7y﹣5y＝17，
即12y＝﹣36．
故选：D．
【变式1】用代入法解下列方程组：
（1）2x+4y=5①x=1−y②； （2）3m=5n①2m−3n=1②．
【分析】（1）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
（2）应用代入消元法，求出方程组的解是多少即可．
【解答】解：（1）②代入①，可得：2（1﹣y）+4y＝5，
解得y=32，
把y=32代入②，解得x=−12，
∴原方程组的解是x=−12y=32．
（2）由①，可得n＝0.6m，
把n＝0.6m代入②，可得：2m﹣3×0.6m＝1，
解得m＝5，
把m＝5代入①，解得n＝3，
∴原方程组的解是m=5n=3．
【变式2】用代入消元法解二元一次方程组：
（1）4x+y=153x−2y=3； （2）x−y3=12(x−4)+3y=5．
【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可；
（2）将原方程整理后利用代入消元法解方程组即可．
【解答】解：（1）4x+y=15①3x−2y=3②，
由①得y＝15﹣4x③，
将③代入②得3x﹣2（15﹣4x）＝3，
整理得：11x﹣30＝3，
解得：x＝3，
将x＝3代入③得y＝15﹣12＝3，
故原方程组的解为x=3y=3；
（2）原方程整理得3x−y=3①2x+3y=13②，
由①得y＝3x﹣3③，
将③代入②得2x+3（3x﹣3）＝13，
整理得：11x＝22，
解得：x＝2，
将x＝2代入③得y＝6﹣3＝3，
故原方程组的解为x=2y=3．
【变式3】用代入法解下列方程组：
（1）2x+3y=−19①x+5y=1②． （2）2x−3y=1①y+14=x+23②．
【分析】（1）由②得出x＝1﹣5y③，把③代入①得出2（1﹣5y）+3y＝﹣19，求出x，再把y＝3代入③求出x即可；
（2）由①得出x＝3+2y③，把③代入②得出3（3+2y）﹣8y＝13，求出y，再把y＝﹣2代入③求出x即可．
【解答】解：（1）2x+3y=−19①x+5y=1②，
由②，得x＝1﹣5y③，
把③代入①，得2（1﹣5y）+3y＝﹣19，
解得：y＝3，
把y＝3代入③，得x＝﹣14，
所以方程组的解是x=−14y=3；
（2）2x−3y=1①y+14=x+23②，
②×12得，3y+3＝4x+8③，
由①得，3y＝2x﹣1④，
把④代入③得，2x﹣1+3＝4x+8，
解得，x＝﹣3，
∴y=−73，
所以方程组的解是x=−3y=73．
题型02 方程组的同解方程问题
【典例1】若关于x，y的二元一次方程组x+y=3kx−y=7k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，则k的值为（ ）
A．−32B．32C．−23D．23
【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k．
【解答】解：x+y=3k①x−y=7k②，
①+②，得2x＝10k．
∴x＝5k．
①﹣②，得2y＝﹣4k，
∴y＝﹣2k．
∵二元一次方程组x+y=3kx−y=7k的解也是二元一次方程2x+3y＝6的解，
∴2×5k+3×（﹣2k）＝6．
即4k＝6，
∴k=32．
故选：B．
【变式1】若关于x、y的二元一次方程组3x−4y=kx+8y=2k+3的解与方程x+y＝6的解相同，则k的值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【分析】先解方程组，用含k的代数式表示x、y，再把x、y的值代入二元一次方程中，求出k．
【解答】解：3x−4y=k①x+8y=2k+3②，
①+②，得4（x+y）＝3k+3，
把x+y＝6代入，得24＝3k+3，
解得k＝7．
故选：C．
【变式2】已知方程组2x−y=7ax+y=b和方程组x+by=a3x+y=8有相同的解，则a，b的值分别为（ ）
A．a=1b=2B．a=4b=−6C．a=−6b=2D．a=14b=2
【分析】先根据方程组2x−y=7①3x+y=8②，求出x＝3，y＝﹣1再代入ax+y＝b和x+by＝a中，得到关于a、b的方程组，即可求解．
【解答】解：根据题意得：2x−y=7①3x+y=8②，
由①+②得5x＝15，
解得x＝3，
把x＝3代入①得6﹣y＝7，
解得y＝﹣1，
把x＝3，y＝﹣1代入ax+y＝b和x+by＝a中得
3a−1=b3−b=a，
解得a=1b=2．
故选：A．
【变式3】已知关于x，y的二元一次方程组5x+y=3ax+5y=4和关于x，y的二元一次方程组x−2y=55x+by=1有相同的解，则a+b的平方根为（ ）
A．4B．±4C．﹣2D．316
【分析】由题意可得5x+y=3x−2y=5，解得x，y的值后分别代入ax+5y＝4及5x+by＝1中求得a，b的值，然后求得a+b的值后求得其平方根即可．
【解答】解：由题意得5x+y=3x−2y=5，
解得：x=1y=−2，
则a﹣10＝4，5﹣2b＝1，
解得：a＝14，b＝2，
那么a+b＝14+2＝16，其平方根为±4，
故选：B．
【变式4】关于x，y的方程组2x+3y=19ax+by=−1与3x−2y=9bx+ay=−7有相同的解，则a+4b﹣3的值为（ ）
A．﹣1B．﹣6C．﹣10D．﹣12
【分析】解方程组2x+3y=193x−2y=9，可得出x=5y=3，将其代入ax+by=−1bx+ay=−7中，可求出a，b的值，再将a，b的值，代入a+4b﹣3中，即可求出结论．
【解答】解：方程组2x+3y=193x−2y=9的解为x=5y=3，
将x=5y=3代入关于x，y的方程组ax+by=−1bx+ay=−7得：5a+3b=−15b+3a=−7，
解得：a=1b=−2，
∴a+4b﹣3＝1+4×（﹣2）﹣3＝﹣10．
故选：C．
题型03 方程组的错解方程问题
【典例1】在解关于x、y的方程组ax+8y=7①3x−by=4②时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（ ）
A．a＝﹣4.25，b＝3B．a＝4，b＝13
C．a＝4，b＝4D．a＝﹣5，b＝4
【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可．
【解答】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4，
解得：b＝4，
将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7，
解得：a＝﹣5，
故选：D．
【变式1】甲乙两人共同解方程组ax+5y=15①4x−by=−2②，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为x=5y=4；计算a2024+(−110b)2025= 0 ．
【分析】根据题意建立关于a，b的方程，求出a，b的值即可解决问题．
【解答】解：由题知，
将x=−3y=−1代入4x﹣by＝﹣2得，
﹣12+b＝﹣2，
解得b＝10．
将x=5y=4代入ax+5y＝15得，
5a+20＝15，
解得a＝﹣1，
所以a2024+(−110×10)2025=（﹣1）2024+（﹣1）2025＝0．
故答案为：0．
【变式2】已知关于x，y的二元一次方程组ax−by=13cx−y=4的解为x=−5y=−14，小强因看错了系数c，得到的解为x=5y=1，则（a﹣b﹣c）2023＝ ﹣1 ．
【分析】把x=−5y=−14代入关于x，y的二元一次方程组ax−by=13cx−y=4得关于a，b的方程和c的值，再把x=5y=1代入ax﹣by＝13得关于a，b的方程，然后把得到的两个关于a，b的方程联立成方程组，解方程组求出a，b，最后把a，b，c的值代入所求代数式进行计算即可．
【解答】解：把x=−5y=−14代入关于x，y的二元一次方程组ax−by=13cx−y=4得：
−5a+14b=13①−5c+14=4②，
由②得：c＝2，
把x=5y=1代入ax﹣by＝13得：5a﹣b＝13③，
①+③得：b＝2，
把b＝2代入③得：a＝3，
∴（a﹣b﹣c）2023
＝（3﹣2﹣2）2023
＝（﹣1）2023
＝﹣1．
【变式3】在解方程组ax+5y=154x−by=−2时，甲看错了方程组中的a，得到的解为x=−3y=1，乙看错了方程组中的b，得到的解是x=5y=4．
（1）求原方程组中a、b的值各是多少？
（2）求出原方程组中的正确解．
【分析】（1）甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为x=−3y=−1，那么他的解对②还是正确的，所以把他的解代入②中得一方程．乙看错了②中的b得到方程组的解为x=5y=4，那么他的解对①也是正解的，所以把他的解代入①中，也得一方程．即可求出a、b的值；
（2）两方程组成一个方程组，求出方程组的解即可．
【解答】解：（1）将x=−3y=1代入②得b＝﹣10，
将x=5y=4代入①得a＝﹣1；
（2）原方程组为−x+5y=15①4x+10y=−2②，
①×2﹣②得：﹣6x＝32，
解得：x=−163，
①×4+②得：30y＝58，
解得：y=2915，
即原方程组的解为：x=−163y=2915．
题型04 整体代入法解方程组的应用
【典例1】阅读材料：小强同学在解方程组x+y+3=104(x+y)−y=25时发现，可将第一个方程通过移项变形为x+y＝7，然后把第二个方程中的x+y换成7，可以很轻松地解出这个方程组．小强同学发现的这种方法叫作“整体代入法”，是中学数学里很常用的一种解题方法．
（1）请按照小强的解法解出这个方程组；
（2）用整体代入法解方程组2x+3y=−46x−5y=16．
【分析】（1）由①，得x+y＝7③，把③代入②即可求出y的值，把y＝3代入③即可求出x的值，从而得出方程组的解；
（2）由②，得3（2x+3y）﹣14y＝16③，把①代入③即可求出y的值，把y＝3代入①即可求出x的值，从而得出方程组的解．
【解答】解：（1）x+y+3=10①4(x+y)−y=25②，
由①，得x+y＝7③，
把③代入②，得4×7﹣y＝25，
解得y＝3，
把y＝3代入③，得x＝4，
所以方程组的解是x=4y=3；
（2）2x+3y=−4①6x−5y=16②，
由②，得6x+9y﹣14y＝16，即3（2x+3y）﹣14y＝16③，
把①代入③，得3×（﹣4）﹣14y＝16，
解得y＝﹣2，
把y＝﹣2代入①，得x＝1，
所以方程组的解是x=1y=−2．
【变式1】阅读以下材料：
解方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②由①得x﹣y＝1③，把③代入②，得4×1﹣y＝5，解得y＝﹣1，y＝﹣1代入③得x＝0，∴x=0y=−1，这种解法称为“整体代入法”．
请你用这种方法解方程组：3x−y+1=0①6x−2y+23+2y=4②．
【分析】先由①得出3x﹣y＝﹣1，求出6x﹣2y＝﹣2③，再把③代入②得出−2+23+2y＝4，求出y＝2，最后把y＝2代入①求出x即可．
【解答】解：3x−y+1=0①6x−2y+23+2y=4②，
由①得：3x﹣y＝﹣1，
等式两边都乘2得：6x﹣2y＝﹣2③，
把③代入②得：−2+23+2y＝4，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：3x﹣2+1＝0，
解得：x=13，
所以方程组的解是x=13y=2
【变式2】阅读材料：小强同学在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5…③，把方程①代入③得：2×3+y＝5即y＝﹣1，把y＝﹣1代入方程①，得x＝4，所以方程组的解为x=4y=−1．
请你解决以下问题
（1）模仿小强同学的“整体代换”法解方程组3x+5y=166x+11y=35；
（2）已知x，y满足方程组2x2−xy+3y2=246x2+4xy+9y2=51；
（i）求xy的值；
（ii）求出这个方程组的所有整数解．
【分析】（1）把3x+5y看作一个整体，求出3x+5y的值，进而可得出结论；
（2）将①代入方程②求出xy的值，再由x与y是整数求出符合条件的x，y的对应值即可．
【解答】解：（1）3x+5y=16①6x+11y=35②，
将方程②变形：6x+10y+y＝35，
即2（3x+5y）+y＝35③，
把方程①代入③得：2×16+y＝35，
解得y＝3，
把y＝3代入方程①，得x=13，
所以方程组的解为x=13y=3；
（2）（i）原方程组化为2x2−xy+3y2=24①3(2x2−xy+3y2)+7xy=51②，
将①代入方程②得：72+7xy＝51，
∴xy＝﹣3；
（ii）由（i）得xy＝﹣3，
∵x与y是整数，
∴x=−1y=3或x=3y=−1或x=−3y=1或x=1y=−3，
由（i）可求得2x2+3y2＝21，
∴x=−3y=1和x=3y=−1符合题意，
故原方程组的所有整数解是x=−3y=1或x=3y=−1．
【变式3】【阅读理解】数学课上，何老师在讲解教材第125页“温过而知新”第5题“如果关于x，y的二元一次程组3x−ay=162x−by=15的解为x=7y=1，那么关于x，y的二元一次方程组3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)−b(x−y)=15的解是什么？”时，小超和小宇同学的做法如下：
（1）小超：先把x=7y=1代入第一个方程组中求出a，b；再把a，b的值代入第二个方程组中求出它的解．请你按照小超的思路写出详细的解题过程．
（2）小宇：通过观察可以发现把第一个方程组中的未知数x换成（x+y），未知数y换成（x﹣y）就是第二个方程组了，因此可知第二个方程组中的（x+y）的值就等于第一个方程组中的x的值，第二个方程组中的（x﹣y）的值就等于第一个方程组中的y的值，所以x+y=7x−y=1，再求出它们的解就是第二个方程组的解．
【解决问题】何老师对两位同学的讲解进行点评和表扬，并指出“小宇”同学的思路体现了数学中“整体思想”、“代换思想”、“转化思想”的运用．
请你参考小超或小宇同学的做法，解决下面的问题：
①若方程组2x−ay=63x+by=28的解是x=6y=2，则方程组2(x+2)−a(y−1)=63(x+2)+b(y−1)=28的解是 D ；
A．x=6y=2
B．x=8y=1
C．x=4y=1
D．x=4y=3
②已知关于x，y的方程组a1x+y=c1a2x+y=c2的解是x=5y=10，求关于x，y的方程组a1x+2y=a1+c1a2x+2y=a2+c2的解．（其中a1，c1，a2，c2都为常数）
【分析】（1）将x=7y=1代入第一方程组求出a和b值，再把a和b代入第二个方程组求出解即可；
（2）参考小宇解法得到x+2=6y−1=2，进而求解即可；
（3）先将方程组变形为a1(x−1)+(2y)=c1a2(x−1)+(2y)=c2，进而参考小宇解法求解即可．
【解答】解：（1）将x=7y=1代入3x−ay=162x−by=15得，
21−a=1614−b=15，
解得：a=5b=−1；
将a=5b=−1代入程3(x+y)−a(x−y)=162(x+y)−b(x−y)=15并整理得，
−2x+8y=163x+y=15，
解得：x=4y=3；
（2）由小宇解法可得x+2=6y−1=2，
解得：x=4y=3，
故选：D；
（3）原方程组可化为：a1(x−1)+(2y)=c1a2(x−1)+(2y)=c2，
∴x−1=52y=10，
解得：x=6y=5．
1．用代入消元法解方程组2x−5y=4①y=3x−1②时，把②代入①，代入正确的是（ ）
A．2x﹣5（3x+1）＝4B．2x﹣5（1﹣3x）＝4
C．2x﹣5（3x﹣1）＝4D．2x﹣5（﹣1﹣3x）＝4
【分析】根据代入法解方程组的步骤计算，即可得到答案．
【解答】解：2x−5y=4①y=3x−1②，
把②代入①得，2x﹣5（3x﹣1）＝4，
故选：C．
2．解二元一次方程组4x+5y=174x+7y=−19时，用代入消元法整体消去4x，得到的方程是（ ）
A．2y＝﹣2B．2y＝﹣36C．12y＝﹣36D．12y＝﹣2
【分析】由①得出4x＝17﹣5y③，把③代入②即可．
【解答】解：4x+5y=17①4x+7y=−19②
由①得：4x＝17﹣5y③，
把③代入②得：17﹣5y+7y＝﹣19，
2y＝﹣36，
故选：B．
3．已知x=−1y=−2，x=1y=2，x=3y=6是二元一次方程2x﹣y＝0的三个解，x=−1y=3，x=1y=2，x=3y=1是二元一次方程x+2y＝5的三个解，则二元一次方程组2x−y=0x+2y=5的解是（ ）
A．x=−1y=−2B．x=1y=2
C．x=−1y=3D．x=3y=1
【分析】根据二元一次方程组的解的定义进行判断即可．
【解答】解：由二元一次方程组的解的定义可知，这个方程组的解为x=1y=2，
故选：B．
4．数学老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组4名同学每人完成一步．如图，这是4个人合作完成解方程组的过程，合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是（ ）
A．甲、乙、丙B．甲、乙、丁C．甲、丙、丁D．乙、丙、丁
【分析】观察四位同学的解题过程，找出出错的即可．
【解答】解：2x+3y①3x−5y②，
由①得：x=8−3y2 ③，
把③代入②得：3×8−3y2−5y=5，
去分母得：24﹣9y﹣10y＝10，
解得：y=1419，
由③得：x=5519．
则合作中出现错误的同学为丙．
由24﹣9y﹣10y＝5解得：y＝1，
∴合作中自己负责的一步没有出现错误的同学是：甲、乙、丁，
故选：B．
5．若|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0，则x，y的值是（ ）
A．x=0y=2B．x=1y=−1C．x=1y=1D．x=2y=0
【分析】根据非负数的性质可得关于x，y的二元一次方程组，再解方程组即可解答．
【解答】解：∵|x﹣y﹣2|+（2x+y﹣4）2＝0，
∴x−y−2=0①2x+y−4=0②，
①+②得：3x﹣6＝0，
解得：x＝2，
将x＝2代入①得：y＝0，
∴方程组的解为x=2y=0．
故选：D．
6．关于x，y的方程组mx−2y=52x+ny=14的解为x=3y=−1，则m﹣n的平方根是（ ）
A．9B．±3C．7D．±3
【分析】根据二元一次方程的解，求得m=1n=−8，代入即可求出m﹣n的平方根．
【解答】解：∵x=3y=−1是方程组mx−2y=52x+ny=14的解，
∴3m+2=56−n=14，解得：m=1n=−8，
∴m﹣n的平方根是±1−(−8)=±9=±3．
故选：B．
7．以方程组x+y=12x−y=−4的解为坐标的点（x，y），在平面直角坐标系中的位置是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】先求解方程组，再判断点（x，y）在平面直角坐标系中的位置．
【解答】解：x+y=1①2x−y=−4②，
①+②得：3x＝﹣3，
解得：x＝﹣1．
把x＝﹣1代入①得：y＝2．
∴原方程组的解为x=−1y=2．
∵x＝﹣1＜0，y＝2＞0，
∴点（﹣1，2）在第二象限．
故选：B．
8．已知关于x，y的方程组2x+y=3k+24x−3y=−k+5，若x﹣2y＝1，则k的值为（ ）
A．14B．−14C．12D．−12
【分析】让方程组中的第二个方程减去第一个方程，即可得出2x﹣4y＝﹣4k+3，再进行化简，结合已知x﹣2y＝1，得到−4k+32=1，即可求出k的值．
【解答】解：2x+y=3k+2①4x−3y=−k+5②，
②﹣①，得2x﹣4y＝﹣4k+3，
∴x﹣2y=−4k+32，
∵x﹣2y＝1，
∴−4k+32=1，
解得k=14，
故选：A．
9．甲、乙两人同解方程组ax+5y=15①4x=by−2②时，甲看错了方程①中的a，解得x=−3y=−1，乙看错了②中的b，解得x=5y=4，则ab的值是（ ）
A．1B．﹣1C．10D．﹣10
【分析】甲看错了方程①中的a，那么甲的结果符合方程②，乙看错了②中的b，那么乙的结果符合方程①，据此求出a、b的值即可得到答案．
【解答】解：由题意得，−3×4=−b−25a+20=15，
解得a=−1b=10，
∴ab＝﹣10，
故选：D．
10．已知关于x，y的二元一次方程组x+2y=−a+1x−3y=4a+6（a是常数），若不论a取什么实数，代数式kx﹣y（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【分析】根据原方程得出x，y的表达式，整理得kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1），推出当k＝﹣1时，不论a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2，从而得解．
【解答】解：∵x+2y=−a+1x−3y=4a+6（a是常数），
∴y＝﹣a﹣1，
x＝a+3，
则kx﹣y＝（a+3）k﹣（﹣a﹣1），
∴kx﹣y＝（k+1）a+3k+1，
当k＝﹣1时，不论a取何值，kx﹣y＝3k+1＝﹣2，
故k的值为﹣1，
故选：A．
11．把x＝1和x＝﹣2分别代入式子x2+bx+c中值分别为2和6，则bc＝ −49 ．
【分析】把x与相应代数式的值代入得到方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值，代入代数式，即可求解．
【解答】解：由题意得，把x＝1和x＝﹣2分别代入式子x2+bx+c中值分别为2和6，
1+b+c=2①4−2b+c=6②，
解得：b=−13c=43，
∴bc=−13×43=−49．
故答案为：−49．
12．已知﹣x2n+3my3与3x7ym+n是同类项，则n﹣4m的值为 ﹣2 ．
【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可．
【解答】解：由同类项的定义可知3m+2n＝7，m+n＝3，
解得m＝1，n＝2，
∴n﹣4m＝2﹣4×1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．已知关于x，y的二元一次方程组3x+2y=4−3mx−y=3m−1，则4x+y的值为 3 ．
【分析】将两方程相加并计算即可．
【解答】解：3x+2y=4−3m①x−y=3m−1②，
①+②得：4x+y＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
14．如图所示，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A，B，C，D对应的数分别是数a，b，c，d，且2a﹣3b＝﹣2，那么数轴的原点是点 D ．
【分析】根据数轴上各个点所表示的数的大小关系进行计算即可．
【解答】解：由A、B、C、D在数轴上的位置可知，a＝b﹣3，又2a﹣3b＝﹣2，
所以b＝﹣4，
即点B所表示的数是﹣4，
又d﹣b＝4，而b＝﹣4，
所以d＝0，
即原点是点D．
故答案为：D．
15．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），如果点Q（x，y′）的纵坐标满足y′=4y−x，(x≥y)4x−y，(x＜y)，那么称点Q为点P的“友好点”．如果点P（x，y）的友好点Q坐标为（﹣3，﹣10），则点P的坐标为 （﹣3，﹣10）或（﹣3，﹣2） ．
【分析】分两种情况：当x≥y时，由题意得：x=−34y−x=−10；当x＜y时，由题意得：x=−34x−y=−10；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥y时，由题意得：x=−34y−x=−10，
解得：x=−3y=−134，
∵﹣3＞−134，
∴符合题意；
当x＜y时，由题意得：x=−34x−y=−10，
解得：x=−3y=−2，
∵﹣3＜﹣2，
∴符合题意；
综上所述：点P的坐标为（﹣3，﹣10）或（﹣3，﹣2）
故答案为：（﹣3，﹣10）或（﹣3，﹣2）．
16．用代入消元法解方程组：
（1）y=6−2x，⋯⋯①x+2y=6；⋯⋯②；
（2）5x−2y−4=0，⋯⋯①x+y−5=0．⋯⋯②．
【分析】（1）利用代入消元法进行求解即可；
（2）利用代入消元法进行求解即可．
【解答】解：（1）y=6−2x①x+2y=6②，
将①代入②得：x+2（6﹣2x）＝6．
解得x＝2．
将 x＝2 代入①得：y＝6﹣2×2＝2．
所以原方程组的解为：x=2y=2；
（2）5x−2y−4=0①x+y−5=0②，
由②得：x＝5﹣y③，
将③代入①得：5（5﹣y）﹣2y﹣4＝0．
解得y＝3．
将 y＝3代入③得：x＝2．
所以原方程组的解为 x=2y=3．
17．对于有理数x和y，定义新运算：x⊙y＝ax+by，其中a、b是常数，已知2⊙4＝12，4⊙10＝2．
（1）求a、b的值；
（2）若x＝1，x⊙y＝6，求y的值．
【分析】（1）根据新定义运算可得：2a+4b=124a+10b=2，根据解二元一次方程组的方法，利用加减消元法解方程组即可；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以得到关于y的一元一次方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）∵2⊙4＝12，4⊙10＝2，
∴2a+4b=12①4a+10b=2②，
由①，得2a＝12﹣4b③，
把③代入②，得2（12﹣4b）+10b＝2，
去括号，得24﹣8b+10b＝2，
解得：b＝﹣11，
把b＝﹣11代入③，得2a＝12﹣4×（﹣11），
解得：a＝28，
∴a＝28，b＝﹣11；
（2）∵a＝28，b＝﹣11，x⊙y＝6，
∴28x﹣11y＝6，
∵x＝1，
∴28﹣11y＝6，
解得：y＝2．
18．甲、乙两人同解方程组ax−4y=−6①5x=by+10②时，甲看错了方程①中的a，解得x=3y=1，乙看错②中的b，解得x=−1y=2．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【分析】（1）先将x=3y=1代入方程5x＝by+10之中可得b的值；再将x=−1y=2代入方程ax﹣4y＝﹣6之中可得a的值；
（2）将（1）中求出的a，b的值代入方程组ax−4y=−6①5x=by+10②之中，再解这个方程中即可．
【解答】解：（1）∵甲看错了方程①中的a，解得x=3y=1，
∴x=3y=1是方程5x＝by+10的解，
∴15＝b+10，
解得：b＝5，
∵乙看错②中的b，解得x=−1y=2，
∴x=−1y=2是方程ax﹣4y＝﹣6的解，
∴﹣a﹣8＝﹣6，
解得：a＝﹣2，
∴a＝﹣2，b＝5，
（1）a＝﹣2，b＝5
（2）x=73y=13
（2）将a＝﹣2，b＝5代入原方程组，得：−2x−4y=−65x=5y+10，
整理得：x+2y=3③x−y=2④，
③﹣④得：3y＝1，
解得：y=13，
将y=13代入④，得：x−13=2，
解得：x=73，
∴原方程组的正确解为x=73y=13．
19．阅读下列材料，解答下面的问题：
我们知道方程2x+3y＝12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．
例：由2x+3y＝12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．要使y＝4−23x为正整数，则23x为正整数，可知：x为3的倍数，从而x＝3，代入y＝4−23x＝2．所以2x+3y＝12的正整数解为x=3y=2．
问题：
（1）请你直接写出方程3x+2y＝8的正整数解 x=2y=1 ．
（2）若6x−3为自然数，则满足条件的正整数x的值有 B ．
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k的值．
【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可；
（2）根据题意得出x﹣3＝6或3或2或1，求出即可；
（3）先求出y的值，即可求出k的值．
【解答】解：（1）方程3x+2y＝8的正整数解为x=2y=1，
故答案为x=2y=1；
（2）正整数有9，6，5，4，共4个，
故选B；
（3）x+2y=9①2x+ky=10②
①×2﹣②得：（4﹣k）y＝8，
解得：y=84−k，
∵x，y是正整数，k是整数，
4﹣k＝1，2，4，8，
∴k＝3，2，0，﹣4，
但k＝3时，x不是正整数，故k＝2，0，﹣4．
20．【阅读材料】：
善于思考的小明在解方程组2x+5y=3①4x+11y=5②时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y＝5，即2（2x+5y）+y＝5③，把方程①代入③得：2×3+y＝5，所以y＝﹣1，将y＝﹣1代入①得x＝4，所以原方程组的解为x=4y=−1．
【解决问题】：
（1）请模仿小明的“整体代换”法解方程组3x−2y=59x−4y=19；
（2）已知x，y满足方程组3x2−2xy+12y2=25x2+xy+4y2=5，求x2+4y2的值．
【分析】（1）方程组变形后，“整体代换”即可求出解；
（2）方程组整理后，利用“整体代换”法求出所求式子的值即可．
【解答】解：（1）3x−2y=5①9x−4y=19②
将方程②变形得：3（3x﹣2y）+2y＝19③，
把方程①代入③得：3×5+2y＝19，
解得：y＝2，
将y＝2代入①得x＝3，
所以原方程组的解为x=3y=2；
（2）原方程组可整理为：3(x2+4y2)−2xy=25①xy=5−(x2+4y2)②，
把②代入①得：3（x2+4y2）﹣10+2（x2+4y2）＝25，
整理得：5（x2+4y2）＝35，
解得：x2+4y2＝7．
课程标准
学习目标
①代入消元法解二元一次方程组
掌握消元思想以及利用代入消元解一元二次方程组，能够根据方程组的特点选择合适的方法解二元一次方程组。