初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）三元一次方程组的解法精品当堂达标检测题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）三元一次方程组的解法精品当堂达标检测题，文件包含104三元一次方程组的解法-知识点梳理+练习含答案解析docx、104三元一次方程组的解法-知识点梳理+练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。

知识点01 三元一次方程（组）的定义
三元一次方程的定义：
含有 3 个未知数且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程叫做三元一次方程。
三元一次方程组的定义：
方程组中含有 3 个未知数，含未知数的项的次数都是 1 且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组。
【即学即练1】
1．下列方程中，属于三元一次方程的是（ ）
A．π+x+y＝6B．xy+y+z＝6
C．x+2y+3z＝9D．3x+2y﹣4z＝4x+2y﹣2z
【分析】含有3个未知数，且含有未知数的项的指数为1的整式方程，叫做三元一次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：A、只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意；
B、含未知数的项的最高次幂为2次，不是三元一次方程，不符合题意；
C、是三元一次方程，符合题意；
D、方程化简为：﹣x﹣2z＝0，只含有2个未知数，不是三元一次方程，不符合题意．
故选：C．
【即学即练2】
2．下列是三元一次方程组的是（ ）
A．2x=5x2+y=7x+y+z=6 B．3x−y+z=−2x−2y+z=9y=−3
C．x+y−z=7xyz=1x−3y=4 D．x+y=2y+z=1x+z=9
【分析】如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组；利用三元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
【解答】解：对于A选项，第二个方程中未知数x的次数是2，
故A选项中方程组不是三元一次方程组；
对于B选项，第一个方程中分母含有未知数，
故B选项中方程组不是三元一次方程组；
对于C选项，第二个方程中每个未知数的次数都是1，但对于整个方程而言，次数是3，
故C选项中的方程组不是三元一次方程组；
对于D选项，方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，
故D选项中的方程组是三元一次方程组．
故选D．
知识点02 解三元一次方程组
基本思想：
三元一次方程组消元转化成二元一次方程组，再进行消元转化成一元一次方程。
基本步骤：
变形：通过加减消元或带入消元把三元一次方程组变为二元一次方程。
求解：求解二元一次方程组。
回代：将求得的二元一次方程组的两个解带入原方程中任意一个方程，得到一个一元一次方程。
求解：解一元一次方程得到第三个未知数的值。
写解：用写出方程组的解。
【即学即练1】
3．三元一次方程组x+y=3y+z=5x+z=4的解为（ ）
A．x=1y=3z=2B．x=2y=1z=3
C．x=3y=2z=1D．x=1y=2z=3
【分析】①﹣②得x﹣z＝﹣2④，③+④得2x＝2，解得x＝1，将x＝1代入①③求出y＝2，z＝3．
【解答】解：x+y=3①y+z=5②x+z=4③，
①﹣②得x﹣z＝﹣2④，
③+④得2x＝2，
解得x＝1，
把x＝1代入①得，1+y＝3，
解得y＝2，
把x＝1③得，1+z＝4，
解得z＝3，
方程组的解为x=1y=2z=3．
故选：D．
【即学即练2】
4．解方程组：x−y+z=04x+2y+z=325x+5y+z=60．
【分析】用加减消元法解三元一次方程组．
【解答】解：x−y+z=0①4x+2y+z=3②25x+5y+z=60③，
由②﹣①，得：3x+3y＝3④，
由③﹣②，得：21x+3y＝57⑤，
由⑤﹣④，得：18x＝54，
解得：x＝3，
将x＝3代入④，得：9+3y＝3，
解得：y＝﹣2，
将x＝3，y＝﹣2代入①，得：3+2+z＝0，
解得：z＝﹣5，
∴方程组的解为：x=3y=−2z=−5．
【即学即练3】
5．已知方程组x+2y=k2x+3y=3k−1的解x和y的和等于6，k＝ 72 ．
【分析】先把x+y＝6代入所求方程组得到关于k、y的方程组，再由解二元一次方程的方法求出k的值即可．
【解答】解：将x+y＝6代入到方程组中，
原方程组可化为y=k−612+y=3k−1，即y−k=−6y−3k=−13，
解得k=72．
【即学即练4】
6．设x2=y3=z4，则x−2y+3zx+y+z的值为（ ）
A．27B．23C．89D．57
【分析】设已知等式等于k，表示出x，y，z，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：设x2=y3=z4=k，得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，
则原式=2k−6k+12k2k+3k+4k=89．
故选：C．
【即学即练5】
7．一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【分析】首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组100x+10y+z−(100z+10y+x)=99x+y+z=14x+z=y
通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
【解答】解：这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．
由题意列方程组100x+10y+z−(100z+10y+x)=99①x+y+z=14②x+z=y③
②﹣③得 y＝14﹣y，即y＝7，
由①得x﹣z＝1⑤，
将y＝7代入③得 x+z＝7⑥，
⑤+⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3，
答：这个三位数是473．
题型01 解三元一次方程组
【典例1】解方程组：2x+y−z=−1x−y−z=0x−2y+z=5．
【分析】①﹣③×2，得5y﹣3z＝﹣11④，②﹣③，得y﹣2z＝﹣5⑤，④⑤联立方程组求出y、z值，最后代入②求出x值即可．
【解答】解：2x+y−z=−1①x−y−z=0②x−2y+z=5③，
①﹣③×2，得5y﹣3z＝﹣11④
②﹣③，得y﹣2z＝﹣5⑤
④、⑤联立方程组得5y−3z=−11y−2z=−5，
解得y=−1z=2，
把y=−1z=2代入②得：x+1﹣2＝0，解得x＝1．
故原方程组的解为x=1y=−1z=2．
【变式1】解方程组：x+3y+2z=32x−3y−z=−24x+3y−3z=−2．
【分析】先消去y，把三元一次方程组变成二元一次方程组，解二元一次方程组即可求解．
【解答】解：x+3y+2z=3①2x−3y−z=−2②4x+3y−3z=−2③，
①+②得3x+z＝1④，
（②+③）÷2得3x﹣2z＝﹣2⑤，
④与⑤组成方程组得3x+z=1④3x−2z=−2⑤，
解得x=0z=1，
把x=0z=1代入①得，0+3y+2＝3，
∴y=13，
∴方程组的解为x=0y=13z=1．
【变式2】解方程组：3x+y−4z=135x−y+3z=5x+y−2z=3．
【分析】①+②得出8x﹣z＝18④，②+③得出6x+z＝8⑤，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把x=137，z=−227代入③求出y即可．
【解答】解：3x+y−4z=13①5x−y+3z=5②x+y−2z=3③，
①+②得：8x﹣z＝18④，
②+③得：6x+z＝8⑤，
由④和⑤组成方程组：8x−z=186x+z=8，
解得x=137z=−227，
把x=137，z=−227代入③得：137+y﹣2×（−227）＝3，
解得：y=−367，
即方程组的解是x=137y=−367z=−227．
【变式3】解方程组：2x+3y−z=112x+y−5z=8−2x+7y+z=19．
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：2x+3y−z=11①2x+y−5z=8②−2x+7y+z=19③，
①+③，得：10y＝30，
解得y＝3，
②+③，得：8y﹣4z＝27④，
将y＝3代入④，得：z=−34，
将z=−34，y＝3代入②，得：x=58，
∴原方程组的解为x=58y=3z=−34．
题型02 构造三元一次方程组求值
【典例1】若x，y，z同时满足：x+y＝13，y+z＝12，x+z＝5，则4x+4y+3z＝ 58 ．
【分析】先由①+②+③得，2x+2y+2z＝30④，再根据⑤﹣①得，z＝2进而即可解答．
【解答】解：x+y=13①y+z=12②x+z=5③，
①+②+③得，2x+2y+2z＝30④，
x+y+z＝15⑤，
⑤﹣①得，z＝2，
∵x+y＝13，
∴4x+4y＝4（x+y）＝4×13＝52，
∴4x+4y+3z＝52+3×2＝58，
故答案为：58．
【变式1】在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝1时，y＝﹣2；当x＝﹣1时，y＝20；当x＝2时，y＝5，那么a＝ 6 ，b＝ ﹣11 ，c＝ 3 ．
【分析】根据题意可得：a+b+c=−2①a−b+c=20②4a+2b+c=5③，然后利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：a+b+c=−2①a−b+c=20②4a+2b+c=5③，
①﹣②得：2b＝﹣22，
解得：b＝﹣11，
③﹣②得：3a+3b＝﹣15，
即a+b＝﹣5，
a﹣11＝﹣5，
解得：a＝6，
把a＝6，b＝﹣11代入①得：6﹣11+c＝﹣2，
解得：c＝3，
∴原方程组的解为：a=6b=−11c=3，
故答案为：6；﹣11；3．
【变式2】对于实数x，y定义新运算：x⊗y＝ax+by+c，其中a，b，c均为常数，且已知3⊗5＝15，4⊗7＝28，则2⊗3的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据所给的条件，可得到3a+5b+c＝15，4a+7b+c＝28，从而可求得a+2b＝13，7a+12b+2c＝43，整理可求得b﹣c＝24，从而可求解．
【解答】解：∵3⊗5＝15，4⊗7＝28，
∴3a+5b+c＝15①，4a+7b+c＝28②，
②﹣①得：a+2b＝13，
①+②得：7a+12b+2c＝43，
则7（a+2b）﹣2（b﹣c）＝43，
整理得：b﹣c＝24，
∴2⊗3
＝2a+3b+c
＝2（a+2b）﹣（b﹣c）
＝2×13﹣24
＝26﹣24
＝2．
故选：A．
【变式3】已知y＝ax2+bx+c，当x＝﹣1时，y＝0，当x＝1时，y＝﹣4；当x＝2时，y＝3．
（1）求a、b、c的值；
（2）求当x＝﹣3时，y的值．
【分析】（1）把x、y的三对对应值分别代入y＝ax2+bx+c，列出方程组，再求解；
（2）把x＝﹣3代入y＝3x2﹣2x﹣5，求解．
【解答】解：（1）由题意得：a−b+c=0a+b+c=−44a+2b+c=3，
解得：a=3b=−2c=−5，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5；
（2）当x＝﹣3时，y＝9×3+3×2﹣5＝28．
题型03 求代数式的值
【典例1】已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则a+b+c的值是（ ）
A．3B．2C．1D．无法确定
【分析】由题意，可将x，y及z的值代入方程组得到关于a，b，c的方程组，将方程组中三个方程左右两边相加，变形后即可求出a+b+c的值．
【解答】解：由题意将x=1y=2z=3代入方程组得：
a+2b=2①2b+3c=3②c+3a=7③，
①+②+③得：a+2b+2b+3c+c+3a＝2+3+7，
即4a+4b+4c＝4（a+b+c）＝12，
则a+b+c＝3．
故选：A．
【变式1】已知x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0（xyz≠0），则2x+y+z2x−y+z= ﹣4 ．
【分析】在x+y+7z＝0，x﹣y﹣3z＝0中，未知数 系数相同，xy的系数互为相反数，通过两个式子相减或相加，即可用z的代数式表示出x、y，进而得出答案．
【解答】解：x+y+7z＝0①，
x﹣y﹣3z＝0②，
①﹣②，得2y+10z＝0，即y＝﹣5z，
①+②，得2x+4z＝0，即x＝﹣2z，
∴2x+y+z2x−y+z=−4z−5z+z−4z+5z+z=−8z2z=−4．
故答案为：﹣4．
【变式2】实数x，y，z满足3x+7y+z＝1，4x+10y+z＝2005．求x+3y2004x+2004y+2004z= −14007 ．
【分析】由题得3x+7y+z＝1①，4x+10y+z＝2005②，②﹣①得x+3y＝2004，根据等式的性质可得3x+9y＝6012③，②﹣③得x+y+z＝﹣4007，再代入所求所占计算即可．
【解答】解：由题得3x+7y+z＝1①，
4x+10y+z＝2005②，
②﹣①得x+3y＝2004，
∴3x+9y＝6012③，
②﹣③得x+y+z＝﹣4007，
∴x+3y2004x+2004y+2004z=20042004(x+y+z)=1x+y+z，
∴x+3y2004x+2004y+2004z=−14007．
故答案为：−14007．
【变式3】已知：a3=b5=c7，且3a+2b﹣4c＝9，则a+b+c的值等于 ﹣15 ．
【分析】先设比例系数为k，代入3a+2b﹣4c＝9，转化为关于k的一元一次方程解答．
【解答】解：设a3=b5=c7=k，
则a＝3k，b＝5k，c＝7k，
代入3a+2b﹣4c＝9，
得9k+10k﹣28k＝9，
解得：k＝﹣1，
∴a＝﹣3，b＝﹣5，c＝﹣7，
于是a+b+c＝﹣3﹣5﹣7＝﹣15．
故本题答案为：﹣15．
题型04 三元一次方程组的简单应用
【典例1】某校七年级有3个班，已知一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47，则三个班的总人数为（ ）
A．68B．70C．72D．74
【分析】根据“一班、二班的平均人数与三班人数之和为45，二班、三班的平均人数与一班人数之和为48，一班、三班的平均人数与二班人数之和为47”列出三元一次方程组，再根据整体思想求解．
【解答】解：设一班为x人，二班有y人，三班由z人，
则：12(x+y)+z=4512(y+z)+x=4812(x+z)+y=47，
方程组可化为：
x+y+2z=90①2x+y+z=96②x+2y+z=94③，
①+②+③得：4（x+y+z）＝280，
∴x+y+z＝70，
故选：B．
【变式1】某校开学典礼需要购买一、二、三等奖奖品若干，若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．则购买一件二等奖奖品需要的钱数是（ ）
A．20元B．30元C．40元D．50元
【分析】设三等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，一等奖奖品的单价是z元，根据“若购买一等奖奖品1件，二等奖奖品4件，三等奖奖品4件，共需250元；若购买一等奖奖品2件，二等奖奖品2件，三等奖奖品8件，共需320元．”可得出关于x，y，z的三元一次方程组，①×2﹣②得，6y＝180，即可求出购买一件二等奖所需的费用．
【解答】解：设一等奖奖品的单价是x元，二等奖奖品的单价是y元，三等奖奖品的单价是z元，根据题意得，
x+4y+4z=250①2x+2y+8z=320②，
①×2﹣②得，6y＝180，
解得：y＝30，
故选：B．
【变式2】【阅读理解】
在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易．
例：已知3x+2y+z=4①7x+4y+3z=10②，求2x+y+z的值．
解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③
③×12得：2x+y+z＝3，
所以2x+y+z的值为3．
【类比迁移】
（1）已知x+2y+3z=105x+6y+7z=26，求3x+4y+5z的值；
【实际应用】
（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？
【分析】（1）由整体思想求值即可；
（2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元，根据若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；列出三元一次方程组，由整体思想求出a+b+c＝10，即可解决问题．
【解答】解：（1）x+2y+3z=10①5x+6y+7z=26②，
①+②得：6x+8y+10z＝36③，
③×12得：3x+4y+5z＝18，
∴3x+4y+5z的值为18；
（2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元，
由题意得：3a+2b+c=28①7a+5b+3c=66②，
②﹣①×2得：a+b+c＝10③，
③×45得：45a+45b+45c＝450，
答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱．
【变式3】阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
【分析】（1）由方程组的两式相减与相加即可得出结果；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，由题意列出方程组，即可得出结果；
（3）由定义新运算列出方程组，求出a+b+c＝﹣11，即可得出结果．
【解答】解：（1）2x+y=7①x+2y=8②，
由①﹣②得：x﹣y＝﹣1，
①+②得：3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
由题意得：20m+3n+2p=32①39m+5n+3p=58②，
由①×2﹣②得：m+n+p＝6，
∴5m+5n+5p＝5×6＝30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元；
（3）由题意得：3a+5b+c=15①4a+7b+c=28②，
由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11，
∴1*1＝a+b+c＝﹣11．
1．下列四组数值中，（ ）是方程组a+b+c=02a−b+c=−53a−b−c=−4的解．
A．a=0b=1c=−1B．a=−1b=2c=−1
C．a=−1b=1c=−2D．a=1b=−2c=3
【分析】①+③得出4a＝﹣4，求出a的值，②+③得出5a﹣2b＝﹣9，代入后求出b，即可求出答案．
【解答】解：a+b+c=0①2a−b+c=−5②3a−b−c=−4③
①+③得：4a＝﹣4，
解得：a＝﹣1，
②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，
把a＝﹣1代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，
解得：b＝2，
把a＝﹣1，b＝2代入①得：﹣1+2+c＝0，
解得：c＝﹣1，
故原方程组的解为a=−1b=2c=−1，
故选：B．
2．三元一次方程组2a+b−3c=194a+2b+c=3a−b+c=0消去未知数c后，所得二元一次方程组是（ ）
A．5a−2b=19a+b=1B．2a+b=43a+b=3
C．a+b=13a−2b=19D．3a+b=35a−2b=19
【分析】先消去未知数c可得5a−2b=19a+b=1，从而可得答案．
【解答】解：2a+b−3c=19①4a+2b+c②a−b+c=0③，
②﹣③得：3a+3b＝3即a+b＝1，
③×3+①得：5a﹣2b＝19，
∴5a−2b=19a+b=1，
故选：A．
3．已知方程组x+y=3y+z=−6z+x=9，则x+y+z的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】把三个方程相加，进行计算即可解答．
【解答】解：x+y=3①y+z=−6②z+x=9③，
①+②+③得：
2x+2y+2z＝3+（﹣6）+9，
∴x+y+z＝3，
故选：A．
4．若x、y满足x+y+m＝3，x﹣y﹣3m＝1，则代数式xy有可能值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】结合已知条件进行代数式求值，然后代入xy中确定其取值即可．
【解答】解：由题意可得x+y+m=3x−y−3m=1，
解得x=2+my=1−2m，
则xy＝（2+m）（1﹣2m）
＝2﹣4m+m﹣2m2
＝﹣2m2﹣3m+2
＝﹣2（m+34）2+258≤258，
∵6＞5＞4＞258＞3，
∴代数式xy有可能值为3，
故选：D．
5．方程组x+y=8y+z=−2z+x=4的解使代数式kx+2y﹣z的值为﹣5，则k的值为（ ）
A．0B．57C．−107D．75
【分析】用加减消元法求解该三元一次方程组，再将方程组的解代入kx+2y﹣z＝﹣5即可求出k．
【解答】解：x+y=8①y+z=−2②z+x=4③，
①﹣②得：x﹣z＝10④，
③+④得：2x＝14，
解得：x＝7，
把x＝7代入①得：7+y＝8，
解得：y＝1，
把x＝7代入③得：z+7＝4，
解得：z＝﹣3，
∴原方程组的解为x=7y=1z=−3，
把x=7y=1z=−3代入kx+2y﹣z＝﹣5得：7k+2×1﹣（﹣3）＝﹣5，
解得：k=−107．
故选：C．
6．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款（ ）
A．200元B．400元C．500元D．600元
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，根据题意列出方程组，计算即可求出x，y，z的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款x元，y元，z元，
根据题意得：3x+2y+z=420①2x+3y+4z=580②，
①+②得：5x+5y+5z＝1000，即x+y+z＝200，
∴2x+2y+2z＝400，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：B．
7．用现代高等代数的符号可以将方程组x+y=52x−y=4的系数排成一个表1152−14，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵11t32−1m2表示x，y，z三元一次方程组，若4x+y﹣z为定值，则t与m关系（ ）
A．m﹣2t＝﹣1B．m+2t＝1C．2m﹣t＝1D．2t+m＝﹣1
【分析】根据矩阵定义列方程组可解答．
【解答】解：由题意得：x+y+tz=3①2x−y+mz=2②，
①×2+②得：4x+y+2tz+mz＝8，
∵4x+y﹣z为定值，
∴2t+m＝﹣1．
故选：D．
8．对于有理数x、y定义一种运算“□”：x□y＝ax+by+c，其中a、b、c为常数，等式右边是通常的加法与乘法运算，已知3□5＝15，4□7＝28，则1□1的值为（ ）
A．﹣1B．﹣11C．1D．11
【分析】先由运算的定义，写出3□5＝15，4□7＝28，得到关于a、b、c的方程组，用含c的代数式表示出a、b．代入2□2求出值．
【解答】解：∵3□5＝3a+5b+c＝15，4□7＝4a+7b+c＝28，
∴3a+5b+c=154a+7b+c=28，
解这个方程组，得
a=13−2bc=b−24，
所以1□1＝a+b+c＝13﹣2b+b+b﹣24＝﹣11．
故选：B．
9．小华到学校超市买铅笔11支，作业本5个，笔芯2支，共花12.5元；小刚在这家超市买同样的铅笔10支，同样的作业本4个，同样的笔芯1支，共花10元钱．若买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需（ ）元．
A．3B．2.5C．2D．无法求出
【分析】等量关系为：11×铅笔的单价+5×作业本的单价+2×笔芯的单价＝12.5；10×铅笔的单价+4×作业本的单价+1×笔芯的单价＝10，把两个方程相减后即可得到的方程可得购买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需的钱数．
【解答】解：设购一支铅笔，一个作业本，一支笔芯分别需要x，y，z元，
根据题意得11x+5y+2z=12.5①10x+4y+z=10②，
①﹣②得x+y+z＝12.5﹣10＝2.5．
故买这样的铅笔1支、作业本1个，笔芯1支共需2.5元．
故选：B．
10．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（ ）
A．﹣2B．0C．2D．4
【分析】根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等列出方程组即可解得答案．
【解答】解：根据题意得：e+10=b+cc+e=b−2，
∴（e+10）﹣（c+e）＝（b+c）﹣（b﹣2），
∴c＝4；
故选：D．
11．若x+2y+3z＝5，4x+3y+2z＝10，则x+y+z的值为 3 ．
【分析】此题可运用“整体思想”求解，让已知的两式相加，然后将系数化为1，即可求得x+y+z的值．
【解答】解：将两个方程左右两边分别相加，得5x+5y+5z＝15，
两边同时除以5，得x+y+z＝3．
故答案为：3．
12．如果方程组x=4ax+by=5的解与方程组y=3bx+ay=2的解相同，则a+b＝ 1 ．
【分析】两个方程组的解相同，意思是这两个方程组中的x都等于4，y都等于3，即x=4y=3是方程组ax+by=5bx+ay=2的解，根据方程组的解的定义，即可求出a+b的值．
【解答】解：依题意，知x=4y=3是方程组ax+by=5bx+ay=2的解，
∴4a+3b=5①3a+4b=2②
①+②，得7a+7b＝7，
方程两边都除以7，得a+b＝1．
13．若方程组a+b=3b+c=2c+a=1的解满足k＝a+b+c，则点P（k+2，1﹣2k）在第 四 象限．
【分析】将方程组中的三个方程相加后求得k的值，再将其代入k+2，1﹣2k中计算，最后根据各象限内点的坐标特征即可求得答案．
【解答】解：∵若方程组a+b=3b+c=2c+a=1的解满足k＝a+b+c，
∴将方程组中的三个方程相加可得2a+2b+2c＝6，
∴k＝a+b+c＝3，
∴k+2＝5，1﹣2k＝﹣5，
则P（5，﹣5）在第四象限，
故答案为：四．
14．信息安全保障越来越受到人们重视，很多信息需要加密处理，有一种加密、解密的工作原理为：发送方由明文通过加密规则加密成密文，接收方由密文通过解密成明文．已知某加密规则为：明文x，y互为相反数，其对应密文为x+2y﹣k，2x+y﹣k．若接收方收到密文为2和﹣1，则k的值为 −12 ．
【分析】根据题意列出方程，求解即可．
【解答】解：由题意得：x+2y−k=22x+y−k=−1x+y=0，
∴x=−32y=32k=−12，
故答案为：−12．
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足a+43=b+32=c+84，a+b+c＝12，则△ABC的形状为 直角三角形 ．
【分析】设a+43=b+32=c+84=k，表示a、b、c的长，代入a+b+c＝12中，计算k的值，可得三边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．
【解答】解：△ABC是直角三角形，理由是：
设a+43=b+32=c+84=k，
则a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
∵a+b+c＝12，
∴3k﹣4+2k﹣3+4k﹣8＝12，
k＝3，
∴a＝5，b＝3，c＝4，
∴c2+b2＝42+32＝25＝a2，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：直角三角形
16．解下列方程（组）
（1）x+23−x−12=1 （2）x+13=y+24x−34−y−33=112 （3）x+2y+z=02x−y−z=13x−y−z=2．
【分析】（1）利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
（2）利用加减消元法进行求解即可；
（3）利用加减消元法进行求解即可．
【解答】解：（1）x+23−x−12=1，
2（x+2）﹣3（x﹣1）＝6，
2x+4﹣3x+3＝6，
﹣x＝﹣1，
x＝1；
（2）x+13=y+24x−34−y−33=112，
整理得：4x−3y=2①3x−4y=−2②，
①×3得：12x﹣9y＝6③，
②×4得：12x﹣16y＝﹣8④，
③﹣④得：7y＝14，
解得：y＝2，
把y＝2代入①得：4x﹣6＝2，
解得：x＝2，
故原方程组的解是：x=2y=2；
（3）x+2y+z=0①2x−y−z=1②3x−y−z=2③，
①+②得：3x+y＝1④，
①+③得：4x+y＝2⑤，
⑤﹣④得：x＝1，
把x＝1代入④得：3+y＝1，
解得：y＝﹣2，
把x＝1，y＝﹣2代入①得：1﹣4+z＝0，
解得：z＝3，
故原方程组的解是：x=1y=−2z=3．
17．已知三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，且a+2b﹣c＝13，2a＝c+3，求三角形的三边长．
【分析】根据已知条件列出关于a，b，c的方程组，然后利用加减和代入消元法解方程组即可．
【解答】解：∵三角形的周长为30，三边长分别是a、b、c，
∴a+b+c＝30，
∴a+b+c=30①a+2b−c=13②2a=c+3③，
①+②得：2a+3b＝43④，
把③代入④得：c+3b＝40⑤，
①﹣②得：﹣b+2c＝17⑥，
⑥×3得：﹣3b+6c＝51⑦，
⑤+⑦得：c＝13，
把c＝13代入③得：a＝8，
把a＝8，c＝13代入①得：b＝9，
∴方程组的解为：a=8b=9c=13，
∴三角形的三边长分别为8，9，13．
18．已知等式y＝ax2+bx+c，且当x＝1时y＝0；，当x＝2时y＝3；当x＝﹣3时y＝28；
（1）求a、b、c的值；
（2）当x＝﹣2时，y的值又是多少？
【分析】（1）②﹣①，得3a+b＝3④，③﹣②，得a﹣b＝5⑤，然后求出a、b的值，再代入①即可求出c的值；
（2）把a、b、c的值代入等式y＝ax2+bx+c，得到y＝2x2﹣3x+1，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）由题意得，
a+b+c=0①4a+2b+c=3②9a−3b+c=28③，
②﹣①，得3a+b＝3④，
③﹣②，得5a﹣5b＝25，即a﹣b＝5⑤，
④与⑤组成方程组得3a+b=3a−b=5，
解得a=2b=−3，
把a=2b=−3代入①，得c＝1，
∴a、b、c的值分别是2，﹣3，1；
（2）由（1）知a、b、c的值分别是2，﹣3，1，
∴y＝2x2﹣3x+1，
当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）2﹣3×（﹣2）+1＝2×4+6+1＝15．
19．数学活动：探究不定方程
小张，小王两位同学在学习方程过程中，发现三元一次方程组3x+2y+z=9①2x+3y+4z=11②，虽然解不出x，y，z的具体数值，但可以解出x+y+z的值．请在以下横线处补全两人的解法．
小张的方法：
②×3﹣①×2，整理可得：y＝ 3﹣2z ；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝ z+1 ，
∴x+y+z＝4
小王的方法：①+②： 5x+5y+5z＝20 ③；
∴ ③÷5 得：x+y+z＝4．
请利用解不定方程的思路解决以下问题：已知买4本英语簿，5本数学簿，2本作文本需要6元；买4本英语簿，8本数学簿，2本作文本需要7，2元，求买2本英语簿，3本数学簿，1本作文本需要多少钱？
【分析】（1）分别根据题干提示的思路求解x+y+z即可；
（2）由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，再建立方程组4x+5y+2z①4x+8y+2z=7.2②，先求解y，再求解2x+z，从而可得答案．
【解答】解：3x+2y+z①2x+3y+4z=11②，
由题意，小张的方法：②×3﹣①×2，
整理可得：y＝3﹣2z；
①×3﹣②×2，整理可得：x＝z+1，
∴x+y+z＝4，
小王的方法：①+②：5x+5y+5z＝20③；
∴③÷5得：x+y+z＝4．
故答案为：3﹣2z；z+1；5x+5y+5z＝20；③÷5．
由题意，设1本英语簿x元，1本数学簿y元，1本作文本z元，
可得方程组4x+5y+2z①4x+8y+2z=7.2②
∴②﹣①得，3y＝1.2，
∴y＝0.4．
又①×8﹣②×5，整理得，2x+z＝2．
∴2x+3y+z＝3.2．
20．在解决“已知有理数x、y、z满足方程组2x+3y−z=5①x−2y+3z=1②，求4x+13y﹣9z的值”时，小华是这样分析与解答的．
解：由①×a得：2ax+3ay﹣az＝5a③，由②×b得：bx﹣2by+3bz＝b④．
③+④得：（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝5a+b⑤．
当（2a+b）x+（3a﹣2b）y+（﹣a+3b）z＝4x+13y﹣9z时，
即2a+b=43a−2b=13−a+3b=−9，解得a=3b=−2．
∴①×3+②×（﹣2），得4x+13y﹣9z＝5×3+1×（﹣2）＝13．
请你根据小华的分析过程，解决如下问题：
（1）若有理数a、b满足（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，求a、b的值；
（2）母亲节将至，小新准备给妈妈购买一束组合鲜花，若购买2枝红花、3枝黄花、1枝粉花共需18元；购买3枝红花、5枝黄花、2枝粉花共需28元．则购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需多少元？
【分析】（1）把左边去括号，合并关于x、y、z的同类项，得出a和b的方程组求解；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，然后按照小华的解法解答即可．
【解答】解：（1）∵（3x+4y+2z）×a+（x+6y+5z）×b＝12x+2y﹣5z，
∴3ax+4ay+2az+bx+6by+5bz＝12x+2y﹣5z，
∴（3a+b）x+（4a+6b）y+（2a+5b）z＝12x+2y﹣5z，
∴3a+b=124a+6b=2，解得a=5b=−3；
（2）设一枝红花、黄花、粉花的单价分别是x、y、z元，
由题意得2x+3y+z=18①3x+5y+2z=28②，求x+3y+2z的值．
设①×a得：2ax+3ay+az＝18a③，
②×b得：3bx+5by+2bz＝28b④，
③+④得：（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝18a+28b⑤，
当（2a+3b）x+（3a+5b）y+（a+2b）z＝x+3y+2z时，
即2a+3b=13a+5b=3a+2b=2，
解得a=−4b=3，
∴x+3y+2z＝18a+28b＝12，
答：购买1枝红花、3枝黄花、2枝粉花共需12元．
课程标准
学习目标
①三元一次方程（组）
②三元一次的解法
掌握三元一次方程（组）的概念并能够准确的进行判断。
掌握三元一次方程组的解法并能够熟练的解三元一次方程组。