初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）实际问题与二元一次方程组优秀第2课时学案

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）实际问题与二元一次方程组优秀第2课时学案，共5页。学案主要包含了总结提升，梳理收获，复习铺垫，导入新课，探究新知，突破核心等内容，欢迎下载使用。
3. 展示评价：邀请学生上台展示拓展题的解题过程，要求规范书写步骤，师生共同评价，肯定优点，指出步骤中的错误和不足，对思路清晰、步骤规范的学生给予表扬，同时引导学生总结解题技巧，巩固两种消元法的应用。
五、总结提升，梳理收获（5分钟）
1. 师生共同总结：教师引导学生回顾本节课的核心内容，提问“本节课我们学会了什么方法解二元一次方程组？解题的核心思想是什么？”，让学生自主发言，梳理代入消元法和加减消元法的解题步骤，强调“消元思想”是解二元一次方程组的核心，两种方法的本质都是将二元转化为一元。
2. 梳理收获：教师补充总结，强调两种方法的适用场景：代入消元法适合有一个未知数系数为1或-1的方程组；加减消元法适合有一个未知数系数相同或互为相反数的方程组，鼓励学生根据方程组特点选择合适的方法，同时提醒学生注意解题步骤规范和计算准确性，避免常见错误。
3. 布置作业：让学生课后巩固两种消元法的解题方法，完成基础计算题（每种方法各2道），并解决1道实际应用题（列出方程组并求解），要求规范书写解题步骤，下节课上台展示，进一步强化技能，深化对消元思想的理解。
整个教学过程注重实操性和逻辑性，层层递进，从思想讲解到方法演示，再到实操练习和拓展应用，兼顾知识传授和能力培养，符合七年级学生的认知特点和运算能力水平，确保学生能掌握代入消元法和加减消元法，能熟练解简单的二元一次方程组，同时培养学生的运算能力、逻辑推理能力和规范书写习惯。
本教学过程时长45分钟，面向初中七年级学生，核心目标是让学生理解二元一次方程、二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的解的概念，能判断一个数对是否为方程组的解，培养学生的方程思想和抽象思维能力。教学过程围绕“复习铺垫—探究新知—实操巩固—拓展应用—总结收获”五个环节展开，注重实例引导、师生互动和分层教学，突出概念的逻辑性和实操性，总字数控制在1500字左右，贴合导学案教学落地需求，确保学生能扎实掌握二元一次方程组的核心概念。
一、复习铺垫，导入新课（5分钟）
1. 师生互动：教师提问“我们之前学过一元一次方程，谁能说出一元一次方程的定义？”，引导学生回忆——只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程，随后板书例题：2x+3=7、5y-1=0，让学生快速判断并说明理由，唤醒旧知，强调“一元一次方程的核心是‘一个未知数、次数为1’”。2. 情境导入：展示实际问题：“现有鸡和兔共8只，它们的脚共有26只，问鸡和兔各有几只？”，引导学生思考：若设鸡有x只，兔有y只，可列出两个关系式：x+y=8、2x+4y=26，提问“这两个方程和我们之前学的一元一次方程有什么不同？”，进而引出课题——二元一次方程组，明确本节课学习任务：理解二元一次方程、二元一次方程组及解的概念，能判断方程类型和数对是否为方程组的解。
二、探究新知，突破核心（15分钟）
本环节是本节课的核心，分三步引导学生探究二元一次方程组的相关概念，注重实例分析、概念拆解和易错点强调，贴合七年级学生认知特点，避免抽象难懂。
1. 二元一次方程的定义：结合导入环节的两个方程x+y=8、2x+4y=26，讲解二元一次方程的定义——含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，等号两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。强调三个关键条件：① 含有两个未知数（如x和y）；② 未知数的项的次数都是1（不含平方、立方等次数）；③ 等号两边都是整式（分母不含未知数）。举例说明：3x+2y=5是二元一次方程，而x²+y=3（未知数次数为2）、1/x + y=2（分母含未知数）都不是二元一次方程，通过正反例对比，帮助学生准确理解定义。
2. 二元一次方程组的定义：讲解“把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组”，强调“合在一起”的含义——两个方程共同含有两个相同的未知数，且每个方程都是二元一次方程。
【学习目标】
1.学会利用二元一次方程组解决图表、工程问题，提高综合素养能力，加强用数学语言描述现实世界的能力，培养模型意识和观念.
2.自主学习，小组合作交流，通过构建等量关系解决实际问题.
【学习重点】能根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决实际问题.
【学习难点】学会利用二元一次方程组解决图表、工程问题.
【自主学习】
据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是 1：2．现要把一块长 200 m、宽 100 m 的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是 3∶4 ？
【合作探究】
探究点1：图表问题
问题：将长方形 ABCD 分割为两个小长方形，你有几种分割方法?
将一个长方形分成两个小长方形.
① 竖画； ② 横画；
等量关系
[典型例题]
例1 在长为 20 m、宽为 16 m 的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示，求每个小长方形花圃的面积.
[练一练] 1.如图，8 块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，每块小长方形地砖的长和宽分别是多少? (单位 cm)
探究点2：工程问题
有一批零件共 420 个，如果甲先做 2 天后乙加入合作，那么再做 2 天完成；如果乙先做 2 天后甲加入合作，那么再做 3 天完成. 则甲、乙两人每天分别做多少个零件.
问题1：你能列出工作总量、工作效率、工作时间之间的关系式吗?
问题2：设甲每天做 x 个零件，乙每天做 y 个零件那么甲、乙合作一天可以做多少个零件?
追问：列方程组求解：
[典型例题]
例2 在某外环公路建设过程中，准备让甲、乙两个工程队接力完成. 已知甲工程队独立完成这项工程需要 20 天，每天要支付甲工程队 2000 元；乙工程队独立完成这项工程需要 15 天，每天要支付乙工程队 3000 元；最后一共支付甲乙工程队 42000 元，请问甲、乙分别工作了多少天?
要点归纳：
1. 解决工程问题，有时我们需要把工作总量看做_____________.
2. 工作总量、工作效率和工作时间之间的关系式为：
______________________________________________
______________________________________________
______________________________________________
[练一练]2. 某工地挖掘机的台数和装卸机的台数之和为21，如果每台挖掘机每天平均挖土 750 m3，每台装卸机每天平均运土 300 m3，正好能使挖出的土及时运走，问挖掘机有多少台？装卸机有多少台？
课堂检测
1. 如图，直线a∥b，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设∠1＝x°，∠2＝y°，则可得到的方程组为( )
（1）x=y−50①，x+y=180②（2）x=y+50①，x+y=180②
（3）x=y−50①，x+y=90②（4）x=y+50 ①，x+y=90②
2. (教材P103练习T2变式)在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格填入了一些表示数的代数式.若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则y－x＝( )
A. 2 B. 4 C. －6 D. 6




第2题图 第3题图
3. 根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是______元和______元.
4. 如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，求每块小长方形的长和宽分别是多少.
5. 为完善某市城市路网结构，营造便捷通畅的城市道路系统，提升城市面貌惠及民生，5月起，该市各道路维修改造工程有序进行.已知甲工程队工作1天和乙工程队工作2天共修路400米，甲工程队工作2天和乙工程队工作3天共修路700米，求甲、乙两工程队每天分别修路多少米.
参考答案
[自主学习]
可以利用面积和产量两个数量关系建立二元一次方程组来解决实际问题
[合作探究]
探究点一、图表问题
问题 水平分割，竖直分割 等量关系 大长方形面积+小长方形面积 = 总面积
大长方形的产量：小长方形的产量=3:4
[典型例题]例1 解：设每个小长方形花圃的长为 x m，宽为 y m.
2x+y=20①x+2y=16② x=8①y=4② 4×8 = 32 (m2)
答：每个小长方形花圃的面积为 32 m2.
[练一练] 1.
解：设小长方形的长为 x，宽为 y，
由题意，得x＋y=60，x=3y
解此方程组得x=45，y=15
答：每块小长方形地砖的长和宽分别是 45 cm，15 cm.
探究点二、工程问题
问题1 工作效率×工作时间 = 工作总量
问题2 甲乙合做的工作效率之和是每天（x十y）个.
问题3 2x+(x+y)=420①2x+3(x+y)=420② x=90①y=30②
答：甲每天做 90 个零件，乙每天做 30 个零件.
【典型例题】例3 解：设甲工程队工作了x天，乙工程队工作了y天.
x20+y15=1① 2000x+3000y=42000② x=12 ①y=6 ②
答:甲工程队工作了 12 天,乙工程队工作了 6 天.
要点归纳 1. 单位1
2.工作总量 = 工作效率×工作时间 工作效率 = 工作总量÷工作时间
工作时间 = 工作总量÷工作效率
[练一练] 2.解：设挖掘机有 x 台，装卸机有 y 台，根据题意列出方程组得
x＋y=21，750x=300y 解得x=6，y=15
答：挖掘机有 6 台，装卸机有 15 台.
课堂检测
1.B 2. C 3. 20 2
4.解：设每块小长方形的长是x cm，宽是y cm，
x+y=50①x=4y ② x=40①y=10②
答：小长方形的长为40cm，宽为10cm.
5.解：设甲工程队每天修路x米，乙工程队每天修路y米，
x+2y=400 ①2x+3y=700② x=200 ①y=100 ②
答：甲工程队每天修路200米，乙工程队每天修路100米.