初中数学人教版（2024）八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.2 分式的加减优秀综合训练题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.2 分式的加减优秀综合训练题，共26页。试卷主要包含了化简等内容，欢迎下载使用。

考点一：分式的加减法则：
同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为
异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为
整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。
考点二：分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序
先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。
注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。
加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。
题型一：同分母的分式加减
1．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）计算 （ ）
A．B．C．1D．
2．（2022·河南南阳·八年级期中）化简：
A．1B．0C．D．
3．（2022·贵州铜仁·八年级期末）化简的结果是（ ）
A．xB．C．D．
题型二：异分母的分式加减法
4．（2022·山东烟台·八年级期中）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山东菏泽·八年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）化简 的结果是（ ）
A．B．C．D．
题型三：由分式等式求值
7．（2022·河南南阳·八年级）已知，则分式的值为（ ）
A．1B．-1C．D．-
8．（2020·湖南·武冈市第二中学八年级）若的值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．．
9．（2020·重庆南开中学八年级）已知x+＝3，那么分式的值为（ ）
A．B．C．D．
题型四：分式加减的实际应用
10．（2021·重庆巫溪·八年级期末）从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（ ）
A．小时B．小时C．小时D．小时
11．（2021·全国·八年级课时练习）小强上山和下山的路程都是s千米，上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，则小强上山和下山的平均速度为（ ）．
A．千米/时B．千米/时C．千米/时D．千米/时
12．（2021·湖南岳阳·八年级期末）甲乙两人同时从地出发到地，如果甲的速度保持不变，而乙先用的速度到达中点，再以的速度到达地，则下列结论正确的是（ ）
A．甲乙同时到达地B．甲先到达地
C．乙先到达地D．谁先到达地与的距离有关
题型五：分式的加减乘除的混合计算
13．（2022·山东烟台·八年级期中）计算：
(1)(2)
14．（2022·山东烟台·八年级期中）化简：
(1)
(2)化简代数式：，再从，，2，3，中选取一个喜欢的数值代入，并求出代数式的值．
15．（2022·山东威海·八年级期中）计算：
(1)(2)(3)
题型六：分式的化简求值问题
16．（2022·山东聊城·八年级期中）化简求值：，其中．
17．（2022·河北邢台·八年级期中）已知．
(1)化简A；
(2)若，求A的值．
18．（2022·天津津南·八年级期中）先化简，再求值：
(1)，其中x＝﹣1．
(2)，其中a＝2．
一、单选题
19．（2022·山东菏泽·八年级期中）计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·北京房山·八年级期中）定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
21．（2022·湖南常德·八年级期中）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
22．（2022·山东山东·八年级期中）已知，则（ ）
A．B．C．1D．5
23．（2022·山东山东·八年级期中）如果，那么的值是（ ）
A．正数B．负数C．零D．不确定
24．（2022·新疆·吐鲁番市高昌区第一中学八年级期中）下列运算结果为 的是（ ）
A．B．C．D．
25．（2022·山东菏泽·八年级期中）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
26．（2022·湖南省隆回县第二中学八年级期中）先化简，再求值，其中．
一、单选题
27．（2022·山东·泰安市泰山区树人外国语学校）学完分式运算后，老师出了一道题：化简．
小明的做法是：原式；
小亮的做法是：原式；
小芳的做法是：原式．
对于这三名同学的做法，你的判断是（ ）
A．小明的做法正确B．小亮的做法正确
C．小芳的做法正确D．三名同学的做法都不正确
28．（2022·山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）关于式子，下列说法正确（ ）
A．当时，其值为B．当时，其值为
C．当时，其值为正数D．当时，其值为负数
29．（2022·广东茂名·八年级期末）已知，，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
30．（2022·河南·郑州经开区外国语女子中学八年级期末）小沈对下面式子进行化简整理：
对于小沈的化简过程，你认为( )
A．第一步错误B．第二步错误C．第三步错误D．没有错误
31．（2022·内蒙古通辽·八年级期末）已知：，则的值是（ ）
A．B．C．5D．
32．（2022·贵州·测试·编辑教研五八年级阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
33．（2022·河北石家庄·八年级期中）若，且，均为整数，则________，________．
34．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）已知，则的值为______．
35．（2022·山东烟台·八年级期中）若，且，则的值为___________．
36．（2022·湖南邵阳·八年级期中）已知，那么分式的值是______．
37．（2022·山东· 八年级期中）化简：_______________________________.
38．（2022·山东·峄城区荀子学校）一船在河流上游A港顺流而下直达B港，用一个小时将货物装船后返航，已知船在静水中的速度是50千米/时，水流速度是x千米/时，A、B两地距离为S千米，则该船从A港出发到返回A港共用多少时间？______．（只需列式表示，不必化简）
三、解答题
39．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）计算：
(1)
(2)
40．（2022·湖南邵阳·八年级期中）已知，求、的值．
41．（2022·天津·塘沽六中八年级期中）先化简，再求值：
(1)，其中，．
(2)，其中．
42．（2022·北京房山·八年级期中）已知：，求代数式的值．
43．（2022·湖南岳阳·八年级期中）先化简，再求值，已知，求的值．
44．（2022·广西桂林·八年级期中）若名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：
这样，分式就拆分成了一个分式与一个整式的和的形式．根据以上阅读材料，解答下列问题．
(1)将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式∶
①= ；②=
(2)利用分离常数法，求分式的最大值．
第一步
第二步
第三步
参考答案：
1．A
【分析】根据同分母分式的减法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：A
【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母分数加减法，分母不变，分子相加减．
2．C
【分析】根据同分母分式的加减运算可进行求解．
【详解】解：；
故选C．
【点睛】本题主要考查同分母分式的加减运算，熟练掌握同分母分式的加减运算是解题的关键．
3．A
【分析】按同分母分式减法法则计算即可．
【详解】解：
=
=
=x，
故选：A．
【点睛】本题考查同分母分式减法，熟练掌握同分母分式减法法则：分母不变，分子相减是解题的关键．
4．C
【分析】根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可．
【详解】解：
，
故选C．
【点睛】本题考查了分式相减和平方差公式的运算法则，准确的计算是解决本题的关键．
5．B
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是对分式进行通分，将异分母分式变为同分母分式．
7．B
【分析】根据，可得，再代入，然后化简，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴


故选：B
【点睛】本题主要考查了分式的加减，分式的化简，根据题意得到是解题的关键．
8．D
【分析】根据条件先求出的值，然后整体代入求解即可．
【详解】由题意可得，，则，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查分式求值问题，灵活根据条件变形，并熟练运用整体思想是解题关键．
9．C
【分析】由条件可知，则在分式的分子和分母同时除以，然后对分母运用完全平方公式变形，代入条件求解即可．
【详解】由条件可知，
则，
将代入上式得：
原式，
故选：C．
【点睛】本题考查分式求值问题，灵活结合分式的性质以及完全平方公式进行变形是解题关键．
10．C
【分析】根据时间=路程÷速度，计算出去的时间和返回的时间，再根据往返所需的时间=去的时间+返回的时间，列出式子计算即可．
【详解】解：由题意，得往返所需的时间为：小时，
故选：C．
【点睛】本题考查分式加法的应用，掌握往返所需的时间=去的时间+返回的时间是解题的关键．
11．D
【分析】根据平均速度等于总路程除以总时间求解即可．
【详解】解：∵上山的速度为千米/时，下山的速度为千米/时，
∴上山的时间为，下山的时间为，
∵小强上山和下山的路程都是s千米，
∴上山和下山的平均速度为：，
故选：D．
【点睛】总路程包括往返路程，总时间包括上山时间和下山时间，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
12．B
【分析】设从地到地的距离为，根据时间路程速度可以求出甲、乙两人同时从地到地所用时间，然后比较大小即可判定选择项．
【详解】解：设从地到地的距离为，
而甲的速度保持不变，
甲所用时间为，
又乙先用的速度到达中点，再用的速度到达地，
乙所用时间为，
甲先到达地．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了列代数式（分式），解题的关键是正确理解题意，根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题．
13．(1)1
(2)
【分析】（1）先把除法转化为乘法约分化简，再根据同分母分式的加减法法则计算即可；
（2）先把括号内通分化简，再把除法转化为乘法计算．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
14．(1)
(2)；当时，原式
【分析】（1）先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
（2）先根据分式的加减法则算括号里面的，再根据分式的除法法则进行计算，根据分式有意义的条件得出x不能为2，，3，取，最后代入求出答案即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
=
，
要使分式有意义，则且且，
不能为2，，3，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
15．(1)
(2)-1
(3)
【分析】（1）先通分，将异分母的分式化为同分母，再进行加减运算；
（2）先进行乘法运算，再进行减法运算；
（3）括号里面用整体通分法，进行计算，再算除法，最后算加法．
【详解】（1）原式


；
（2）原式


；
（3）原式



【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则，是解题的关键．在解题过程中，能进行因式分解的要先进行因式分解，最终结果要化为最简分式或者整式．
16．，
【分析】把除法转化成乘法，再进行乘法运算求得结果，最后把x的值代入化简结果求值即可．
【详解】解：原式
；
当时，．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．(1)；
(2)
【分析】（1）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算；
（2）把变形为，代入A，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：由可得，，
所以．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．
18．(1)， 21
(2)，
【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将x的值代入计算可得；
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【详解】（1）解：
=
=
=，
当 时，
原式；
（2）解：
＝
＝
＝
＝
＝，
当时，原式＝＝．
【点睛】本题主要考查了分式和整式的化简求值，掌握相关的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．
19．C
【分析】根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则是解答本题的关键．
20．C
【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论．
【详解】解：A.∵，
，
∴与不是和谐分式，故A不符合题意；
B.∵，
，
∴与不是和谐分式，故B不符合题意；
C.∵，
，
∴，故C符合题意；
D.，
，
∴与不是和谐分式，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则和乘法运算法则．
21．A
【分析】分别算出得到相应的规律，根据规律再进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
∴每3个数一循环，
∵，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，属于规律探究型题．根据题意得出规律为三个值一循环是解题的关键．
22．A
【分析】根据得出，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减以及分式性质，读懂题意，根据通分得出是解本题的关键．
23．B
【分析】先通分，再计算比较即可得出答案．
【详解】原式
∵，
∴，，
∴
则原式的值是负数．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减计算，掌握异分母分式的计算法则是解题的关键．
24．B
【分析】根据分式的相关计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、与不一定相等，不符合题意；
B、，符合题意；
C、与不一定相等，不符合题意；
D、与不一定相等，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式的化简，分式的乘除计算，分式的减法，熟知相关计算法则是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再把分子、分母约分化简；
（2）先通分，再根据同分母分式的加减法法则计算；
（3）先把括号内通分化简，再约分化简．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
26．，
【分析】根据分式的化简求值即可求解．
【详解】解：原式
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是分式分子和分母的分解因式．
27．C
【分析】小明的做法错误，原因是在把分子相减时，去括号没有改变符号，而且选择的方法也不是很合适，小亮的做法错误，分式的加减运算不能去分母，应该先通分，小芳的做法是正确的，选择的方法是合适的，从而可得答案．
【详解】解：∵




∴小明与小亮的做法错误，小芳的做法正确，
故选C．
【点睛】本题考查的是分式的加减运算，掌握“异分母分式的加减运算的运算法则”是解本题的关键．
28．A
【分析】根据分式的乘除法法则.平方差公式.完全平方公式对分式进行化简，再根据化简后的分式对选项一一进行分析，即可得出答案．
【详解】解：
，
A.当时，原式，故该说法正确，符合题意；
B.当时，分母，原式没有意义，不能计算求值，故该说法不正确，不符合题意；
C.当时，则，
∴，故该说法不正确，不符合题意；
D.当时，则，
∴，故该说法不正确，不符合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了分式有意义的条件.分式的乘除法.平方差公式.完全平方公式，解本题的关键在正确对分式进行化简．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子.分母颠倒位置后，与被除式相乘．
29．A
【分析】把所求式子的分子配方变为与的关系式，分母提取也变为与的形式，然后把已知的与的值代入即可求出值．
【详解】解：，，




．
故选：A．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，利用了整体代入的思想，其中灵活运用完全平方公式及提取公因式的方法把所求式子化为关于与的式子是解本题的关键．
30．D
【分析】按照分式的加减法运算法则验算即可．
【详解】解：


．
因此运算过程没有错误．
故选：D．
【点睛】本题考查分式的加减法，掌握分式加减法运算法则和因式分解是解题的关键．
31．D
【分析】先根据得出ab与a-b的关系，再代入所求代数式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴原式==-5，
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
32．C
【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】解：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
33． 2 3
【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求．
【详解】
，
，
解得
故答案是2，3
【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分．
34．3
【分析】先把分式化为整式，然后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，代数式求值，分式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
35．15
【分析】根据已知条件，可以求得的值，然后将其代入即可．
【详解】解：∵，，
∴，
则，
∴．
故答案是：15．
【点睛】此题考查了分式的加法，完全平方公式，解题关键在于求出的代数式的值．
36．
【分析】先将已知条件化简为，然后将分式化简，整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值及求代数式的值，熟练掌握分式的化简方法是解题关键．
37．
【分析】根据分式的加减法可进行求解．
【详解】解：原式=
=
=
=；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解及分式的加减运算，熟练掌握各个运算是解题的关键．
38．时
【分析】根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，可得到顺流航行和逆流航行的时间，即可求解．
【详解】解：根据题意得：船顺流航行的速度为千米/时，逆流航行的速度为千米/时，
所以该船从A港出发到返回A港共用的时间为时．
故答案为： 时
【点睛】本题考查列分式表示实际问题，理解题意，掌握列分式的基本规则是解题关键．
39．(1)
(2)
【分析】（1）根据分式的加减法则进行计算即可；
（2）先算括号里的，根据除法法则把除法变乘法，利用完全平方公式将分母因式分解，最后约分化简即可．
【详解】（1）解：原式

．
（2）解：原式
．
【点睛】本题考查了解分式方程，分式的加减法则的应用，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
40．，
【分析】首先化简方程，然后根据等式关系，列出二元一次方程组，解得即可.
【详解】解：原方程可化为，
，
可得，
解得，．
【点睛】此题主要考查分式加减运算的恒等式，关键是列出关于、的二元一次方程组．
41．(1)
(2)
【分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，然后再合并同类项化简，最后代入求值即可；
（2）先根据分式的减法和除法运算法则化简，再将代入求值即可．
【详解】（1）原式
，
当，时，
原式；
（2）原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算及求值，分式的化简求值，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键．
42．
【分析】先将除法转化为乘法，然后根据分式的加减进行计算，最后将代入计算即可求解．
【详解】解：
∵，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确的计算是解题的关键．
43．，．
【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【详解】解：



，
，
，
原式
．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
44．(1)①，②
(2)最大值为
【分析】（1）根据题意，，，由此即可求解；
（2）用分离常数法，分式得，由此即可求解．
【详解】（1）解：将下列分式化为一个整式和一个分式（此分式的分子为整数）的形式：
①；
②．
（2）解：，
∵，当时，分式中分母不为零，有意义，且分式值最大，
当时，分母的值越大，分式的值越小，
∴当时，，
即当时，分式有最大值，最大值为．