初中数学人教版（2024）八年级上册12.2 三角形全等的判定精品当堂检测题

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.2 三角形全等的判定精品当堂检测题，共45页。试卷主要包含了如图，在和中，，，等内容，欢迎下载使用。

考点一：三角形全等的判定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①三边对应相等的两个三角形全等；（“边边边”或“SS”S）
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；（“边角边”或“SAS”）
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等；（“角边角”或“ASA”）
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；（“角角边”或“AAS”）
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等；（“斜边直角边”或“HL”）
技巧归纳：．证题的思路：
注意：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ②全等三角形面积相等．
题型一：SSS证明三角形全等问题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，已知AB＝AC，AE＝AD，要利用“SSS”推理得出△ABD≌△ACE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠B＝∠CB．BD＝CEC．∠BAD＝∠CAED．以上都不对
2．（2022·全国·八年级）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BF＝CE，求证：△ABC≌△DEF；
题型二：SAS证明三角形全等问题
3．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级）如图，点C、E、B、F在同一直线上，，AC＝DF，BF＝CE， 求证：
4．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，在和中，，，．
(1)试说明：；
(2)与相交于点，求的度数．
题型三：ASA”证明三角形全等问题
5．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）如图，已知E，F是线段AB上的点，AD⊥DE，BC⊥CF，垂足分别为D，C，DE＝CF，DECF．
(1)求证：△ADE≌△BCF；
(2)求证：ADBC；
(3)若AE＝8，EF＝6，求BE的长．
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知∠D＝∠B，DF⊥AC，BE⊥AC．
(1)求证：AD∥BC；
(2)若AE＝CF，求证：△AFD≌△CEB．
题型四：AAS”证明三角形全等问题
7．（2022·江苏·泰州市姜堰区南苑学校八年级） 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
(1)求证：AE＝CD；
(2)若AC＝12cm，求BD的长
8．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为线段CB一动点，连接AE，过点A作AF⊥AE且AF＝AE，过点F作FD⊥AC于点D，如图①所示．
(1)求证：FD＝AC．
(2)若点E为BC中点，连BF交AC于点G，如图②，已知CG＝1，求BC的长．
题型五：“HL”证明三角形全等问题
9．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且．
(1)若，求度数；
(2)求证：．
10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABE和△ACF中，∠E＝∠F＝90°，AB＝AC，BE＝CF．
(1)求证：∠1＝∠3；
(2)试判断线段BN与CM的数量关系，并加以证明．
题型六：添加一下条件使三角形全等
11．（2022·河北保定·八年级期末）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·辽宁大连·八年级期末）如图，已知，欲证，需要补充的条件是（ ）
A．B．C．D．
题型七：全等三角形判定综合
13．（2022·江西赣州·八年级期末）我们知道两个全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一个等腰三角形（如图1），那么对其中一个直角三角形作适当改变又能得到什么结论呢？现在我们一起来探究吧．
(1)如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC，求证：MB＝MC．
(2)将CE向上平移，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC．
①如图3，当∠CAE=∠BAD时，求证：MB＝MC；
②当∠CAE＞∠BAD时，在图4中补全相应的图形，并直接写出MB、MC的数量关系_______．
14．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，已知在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝20厘米，CD＝8厘米，点M以6厘米/秒的速度运动，点M从点C出发，同时点N从点B出发，设运动时间为t秒．
(1)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，点N的运动速度与点M的运动速度相等．
①当t＝2时，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由；
②当点M，N的运动时间t为______秒时，△BMN是一个直角三角形；
(2)若点M在线段CB上运动，点N在线段BA上运动，但点N的运动速度与点M的运动速度不相等，它们同时出发，是否存在t值，使得△BMN和△CDM全等？若存在，求出t的值及点N的运动速度；若不存在，请说明理由；
(3)已知点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M以原来的运动速度从点C同时出发，两点都按顺时针方向沿△ABC三边运动，经过50秒，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是______厘米/秒．
一、单选题
15．（2022·江苏·八年级单元测试）两个直角三角形中：①一锐角和斜边对应相等；②斜边和一直角边对应相等；③有两条边相等；④两个锐角对应相等．能使这两个直角三角形全等的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①②③④
16．（2022·湖南·长沙麓山外国语实验中学八年级期末）下列条件中，不能保证两个直角三角形一定全等的是（ ）
A．一个锐角和这个锐角的对边对应相等B．有两条边分别相等
C．一条直角边和斜边对应相等D．一个锐角和斜边对应相等
17．（2022·江苏·八年级）如图，在的两边上截取，．连接，交于点，则下列结论正确的是
①；②；③；④．
A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④
18．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，D，F分别是BC，AC上的点，DE⊥AB，垂足为E，CF＝BE，DF＝DB，则∠ADE的度数为（ ）
A．40°B．50°C．70°D．71°
19．（2021·山东·梁山县第二中学八年级阶段练习）如图，在长方形ABCD中，．延长BC到E，使，连接动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P运动的时间为t秒，存在这样的t，使△DCP和△DCE全等，则t的值为（ ）
A．B．C．或D．或
20．（2022·安徽亳州·八年级期末）已知，△ABC，△DEF，△XYZ的相关数据如图所示，则（ ）
A．△ABC≌△XYZB．△DEF≌△XYZC．D．
21．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．BE⊥AC，垂足为G，AB＝CF，BE＝AC．
(1)求证：AE＝AF；
(2)求∠EAF的度数．
22．（2022·海南省直辖县级单位·八年级期末）如图所示，在△ABC中，交AB于E，，F在AC上，，，
(1)求证：；
(2)若，，求AB的长．
一：选择题
23．（2022·全国·八年级课时练习）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1B．1.8C．2D．2.5
24．（2021·江苏扬州·八年级阶段练习）如图，ABC的面积为18，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则ADC的面积是（ ）
A．8B．10C．9D．16
25．（2021·四川眉山·八年级期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③QF＝QB；④S四边形ECFG＝S△ABG．正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
26．（2021·云南昆明·八年级期中）已知，如图，ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法：①DE＝DF，②AE＝AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图中共有3对全等三角形．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
27．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC，BE⊥AC，AD与BE相交下点F，连接并延长CF交AB于点G，∠AEB的平分线交CG的延长线于点H，连接AH．则下列结论：
①∠EBD＝45°；②AH＝HF；③ABD≌CFD；④CH＝AB+AH；⑤BD＝CD﹣AF．其中正确的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题
28．（2022·全国·八年级课时练习）已知：如图，AC＝DC，∠1＝∠2，请添加一个已知条件：_____，使ABCDEC．
29．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，BD=8，，则线段的长度为______．
30．（2022·全国·八年级专题练习）如图．已知中，厘米，，厘米，D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动．若点Q的运动速度为a厘米/秒，则当与全等时，a的值为______．
31．（2022·全国·八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD，交BC延长线于F，交AC于H，则下列结论：①∠APB=135°；②BF=BA；③=HC；④PH=PD；其中正确的有____________________．
32．（2022·湖北襄阳·八年级期末）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，过点A作，垂足是A，过点C作，垂足是C，交于点F，连接，下列结论：①：②；③若，，则；④．其中正确的是_______．
三、解答题
33．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分，点为延长线上一点，过点作交于点，连接．
(1)若，求证：；
(2)若，求的度数．
34．（2022·山西运城·八年级期末）如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F．
(1)求证：．
(2)若，请直接写出的度数．
(3)过点A作于点H，求证：．
35．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．
问题：如图，在中，D是BC边上一点，DE，DF分别是和高，EF交AD于O，若______，
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
36．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，DC＝BC，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且DE＝BF．
(1)求证：CE＝CF；
(2)若G在AB上且∠ECG＝60°，试猜想DE，EG，BG之间的数量关系，并证明．
37．（2022·陕西延安·八年级期末）【问题提出】
（1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由.
38．（2021·江苏·南通市八一中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，高线AD，BE，相交于点O，AE=BE，BD=2，DC=2BD．
(1)证明：△AEO≌△BEC；
(2)求OA的长；
(3)F是直线AC上的一点，且CF=BO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，动点Q从点B出发，沿射线BC以每秒4个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P到达A点时，P，Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，则是否存在t值，使得以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
1．B
【分析】根据BD＝CE，利用“SSS”定理解答即可．
【详解】解：当BD＝CE时，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SSS），
故选：B．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练运用“SSS”定理是解题的关键．
2．证明见解析
【分析】根据BF=CE得到BC=EF，然后利用SSS判定定理证明△ABC≌△DEF即可．
【详解】证明：∵BE＝CF，
∴BF+CF＝CE+CF，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
3．见解析
【分析】由题意易得，，然后可证，则有，进而问题可求证．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及平行线的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定及平行线的性质与判定是解题的关键．
4．(1)见解析
(2)50°
【分析】（1）根据SAS证△AOC≌△BOD，即可得证AC=BD；
（2）由全等三角形的性质得出∠OAC=∠OBD，设AC与BO交于点M，根据180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP即可得出∠APB=50°．
（1）
证明：∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
即∠AOC=∠BOD，
∵OA=OB，OC=OD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
（2）
解：如图，设AC与BO交于点M，则∠AMO=∠BMP，
∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∴180°-∠OAC-∠AMO=180°-∠OBD-∠BMP，
即∠MPB=∠AOM=50°，
∴∠APB=50°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
5．(1)证明过程见详解；
(2)证明过程见详解；
(3)BE＝2．
【分析】（1）利用ASA即可证明△ADE≌△BCF；
（2）根据△ADE≌△BCF，可得∠A＝∠B，根据内错角相等，两直线平行即可证明；
（3）根据△ADE≌△BCF，可得AE＝BF，进而可以解决问题．
（1）
证明：∵AD⊥DE，BC⊥CF，
∴∠D＝∠C＝90°，
∵DECF，
∴∠AED＝∠BFC，
在△ADE和△BCF中，
，
∴△ADE≌△BCF（ASA）；
（2）
证明：∵△ADE≌△BCF，
∴∠A＝∠B，
∴ADBC；
（3）
解：∵△ADE≌△BCF，
∴AE＝BF，
∴AE﹣EF＝BF﹣EF，
∴AF＝BE，
∵AE＝8，EF＝6，
∴BE＝8-6=2．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADE≌△BCF．
6．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明∠A＝∠C，根据内错角相等，两直线平行即可进行证明；
（2）根据AAS即可证明△AFD≌△CEB．
（1）
证明：∵DF⊥AC，BE⊥AC．
∴∠AFD＝90°，∠BEC＝90°，
∵∠D＝∠B，
∴∠A＝∠C，
∴；
（2）
∵AE＝CF，
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，
∴AF＝CE，
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（AAS）．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和三角形全等的判定，熟练掌握平行线的性质和三角形的判定定理是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)BD=6cm．
【分析】（1）利用角角边证明△DBC≌△ECA即可；
（2）由（1）得BD=EC=BC=AC，且AC=12，即可求出BD的长．
（1）
证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，
∴∠DCB+∠D=∠DCB+∠AEC=90°．
∴∠D=∠AEC．
又∵∠DBC=∠ECA=90°，
且BC=CA，
在△DBC和△ECA中，
∵，
∴△DBC≌△ECA（AAS）．
∴AE=CD；
（2）
解：∵△CDB≌△AEC，
∴BD=CE，
∵AE是BC边上的中线，
∴BD=EC=BC=AC，且AC=12cm．
∴BD=6cm．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
8．(1)证明见解析，
(2)BC=4．
【分析】（1）证明△ADF≌△ACE即可；
（2）易证△FDG≌△BCG，则可得出CD的长度，由（1）可得△ADF≌△ACE，点E为BC中点则点D为AC中点，求出AC即可得到BC的长度．
（1）
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，即∠FAD+∠CAE=90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEC+∠CAE=90°，
∴∠AEC=∠FAD，
∵FD⊥AC，
∴∠FAD=90°，
在△ADF和△ACE中，
∠AEC=∠FAD，∠FAD=∠ACB，AF＝AE，
∴△ADF≌△ACE，
∴FD＝AC．
（2）
由（1）可知，FD=AC，
∵AC=BC，
∴FD=BC，
在△FDG和△BCG中，
∠FGD=∠BGC，∠FDG=∠GCB，FD=BC，
∴△FDG≌△BCG，
∴CG=DG，则CD=2CG=2，
∵△ADF≌△ACE，
∴AD=CE，
∵AC=BC，点E为BC中点，
∴点D为AC中点，则AC=2CD=4，
∴BC=AC=4．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，熟练掌握全等三角形对应边和对应角相等以及用AAS和ASA判定三角形全等是解题的关键．
9．(1)
(2)见解析
【分析】（1）先根据“HL”证明，得出，根据，得出，最后根据，即可得出答案；
（2）根据得出，，根据，即可证明结论．
（1）
解：∵，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）
解：由（1）得，，
∴，，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和应用，熟练掌握一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等，是解题的关键．
10．(1)答案见解析
(2)CM＝BN；证明见解析
【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABE和Rt△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后证明即可；
（2）利用“角边角”证明△AEM和△AFN全等，根据全等三角形对应边相等可得AM＝AN，然后列式整理即可得到CM＝BN．
（1）
证明：在Rt△ABE和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ACF（HL），
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠1＝∠BAE﹣∠2，∠3＝∠CAF﹣∠2，
∴∠1＝∠3；
（2）
CM＝BN，
证明：∵Rt△ABE≌Rt△ACF，
∴AE＝AF，
在△AEM和△AFN中，
，
∴△AEM≌△AFN（ASA），
∴AM＝AN，
∵CM＝AC﹣AM，BN＝AB﹣AN，
∴BN＝CM．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判断方法并准确识图确定出全等的三角形是解题的关键．
11．B
【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
A、添加，可以利用ASA判定，故本选项不符合题意；
B、添加，无法判定，故本选项符合题意；
C、添加，可以利用SAS判定，故本选项不符合题意；
D、添加，可以利用AAS判定，故本选项不符合题意；
故选：B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．C
【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
A、补充，不能证明，故本选项不符合题意；
B、补充，不能证明，故本选项不符合题意；
C、补充，则，可利用边角边证得，故本选项符合题意；
D、补充，不能证明，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
13．(1)见解析
(2)①见解析；②补全图形见解析，MB＝MC
【分析】（1）根据三角形SAS判定定理证明三角形△BDM≌△CEM，证得MB＝MC．
（2）先根据三角形ASA判定定理证明△ECM≌△DFM，再证明△BFM是等边三角形，证得MB＝MF＝MC；根据图4直接写出MB＝MC．
（1）如图2，依题意可知：∠ADB＝∠AEC，BD=CE，AD=AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB﹣∠ADE＝∠AEC﹣∠AED，即：∠MDB＝∠MEC， ∵M是DE的中点，∴MD＝ME，在△BDM和△CEM中，∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MB＝MC；
（2）①如图3，延长CM交BD于点F．∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴EC∥DF，∴∠CEM＝∠FDM， 在△ECM和△DFM中，，∴△ECM≌△DFM（ASA），∴CM＝FM， ∵∠BCM＝30°，∴∠BFM＝60°，BF＝CF＝FM，∴△BFM是等边三角形，∴MB＝MF＝MC． ②补全图形如图4，MB＝MC．
【点睛】此题考查了三角形判定定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出所需要的条件证明三角形全等得出相应的结论．
14．(1)① 全等，理由见解析；② 或
(2)存在，，厘米|秒
(3)5.6或6.8
【分析】（1）①当t=2时，，即可证明
②当或时，分别利用含 角的直角三角形的性质即可求解
（2）根据点N的运动速度与点M的运动速度不相等，则只能是，从而得出答案
（3）分两种情况：若点M速度快则，若点N速度快，则，从而得出答案
（1）
①△BMN≌△CDM；理由：
∵点M，N的运动速度为6厘米/秒
∴ t＝2时，CM＝BN＝6×2＝12厘米，
∴ BM＝BC－CM＝20－12＝8（厘米）
∵CD＝8厘米
∴ BM＝CD．
∵△ABC是等边三角形
∴ ∠ B＝∠C＝60°．
在△BMN和△CDM中，BN＝CM，∠B＝∠C，BM＝CD
∴ △BMN ≌ △CDM（SAS）；
②∵∠B＝60°，△BMN是直角三角形，∴∠BMN＝90°或∠BNM＝90°．
∵BN＝CM＝6t
∴ BM＝BC－CM＝20－6t．
（Ⅰ）当∠BMN＝90°时，∠BNM＝30°
∴ BN＝2BM
∴
∴；
（Ⅱ）当∠BNM＝90°时，∠BMN＝30°
∴ BM＝2BN
∴ 20－6t＝2×6t
∴．
综上，t的值为或
故答案为或
（2）
点N的运动速度与点M不相等，∴ CM ≠ BN，若要△BMN和△CDM全等，
则BN＝CD＝8厘米，BM＝CM＝10厘米
∴ 此时6t＝10
∴；
设点N的运动速度为v厘米/秒
∴
∴厘米 /秒；
（3）
①若点M速度快则
/s
若点N速度快，则

故答案为5.6或6.8
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含 角的直角三角形的性质等，将动点问题转化为线段长问题是解题关键．
15．A
【分析】根据全等三角形的判定方法及“HL”定理，判断即可．
【详解】解：①有斜边和一个锐角对应相等，可以利用AAS证明全等，故①正确；
②有斜边和一条直角边对应相等，可以利用HL证明全等，故②正确；
③有两条边相等，没有表明是对应边相等，不一定可以利用HL或SAS证明全等，故③错误；
④有两个锐角对应相等，不能利用AAA证明全等，故④错误；
综上分析可知①②正确，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形有它的特殊性，作为“HL”定理就是直角三角形独有的判定方法，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
16．B
【分析】根据三角形全等的判定方法，利用直角三角形隐含的直角相等的条件，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、一个锐角和这个锐角的对边对应相等，再加上相等的直角，可以利用“角角边”证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
B、有两条边分别相等，如果是一个直角三角形的两直角边，另一个直角三角形的一直角边与斜边，则不是对应边，两三角形不能全等，故本选项符合题意．
C、一条直角边和斜边对应相等，利用“HL”判定两三角形全等，故本选项不符合题意；
D、一个锐角和斜边对应相等，再加上相等的直角，可以利用“角角边”证明两三角形全等，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查直角三角形的判定方法，解题的关键是熟知全等三角形的判定及直角三角形的全等判定．
17．A
【分析】根据题目中的条件，结合全等三角形的判定方法逐项判断即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，故②正确；
∴，
在和中，
，
∴，故③正确；
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故④正确；
故选：．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定方法．
18．C
【分析】先利用三角形内角和算出，再证明得到；再证明，得到，即可算出
【详解】
根据题意：
在中
在和中
∴
∴
在和中
∴
∴
在中
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，注意HL这个判定方法的使用．
19．D
【分析】分两种情况进行讨论，根据题意列方程即可求得．
【详解】解：①当在上时，
由题意得，
要使，则需
，
即当时，；
②当在上时，不存在使和全等；
③当在上时，由题意得，
，，
要使，则需，
即，
，
即当时，；
综上所述，当或时，和全等．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．
20．C
【分析】根据全等三角形的判定定理及三角形的内角和计算并依次判断．
【详解】A．∵，，
∴不能判定△ABC≌△XYZ，故本选项不符合题意；
B．，
∴不能判定△DEF≌△XYZ，故本选项不符合题意；
C．∵，，
∴，此本选项符合题意；
D．在△DEF中，，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，三角和内角和定理，熟记各定理是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)90°
【分析】（1）利用SAS证明△AEB≌△FAC可证明结论；
（2）由全等三角形的性质可得∠E=∠CAF，由余角的定义可求得∠EAF的度数．
（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠EBA=90°，∴∠ACD=∠EBA，在△AEB和△FAC中，，∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE=FA；
（2）∵△AEB≌△FAC，∴∠E=∠CAF，∵∠E+∠EAG=90°，∴∠CAF+∠EAG=90°，即∠EAF=90°．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明△AEB≌△FAC是解题的关键．
22．(1)证明见解析
(2)AB＝7
【分析】（1）证明△FCD≌△BED，即可证明出结论；
（2）证明Rt△ACD≌Rt△AED，即可得出AE=AC=5，即可算出结果．
（1）在△FCD和△BED中，，∴△FCD≌△BED（SSS），∴∠C＝∠DEB，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠C＝90°；
（2）∵DE⊥AB，∠C＝90°，∴∠C＝∠AED＝90°，在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，∵AF＝3，FC＝2，∴AE＝AC＝AF+FC＝3+2=5，∵CF＝BE，∴BE=2，∴AB＝AE+BE＝5+2＝7．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是本题的关键．
23．C
【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出．
【详解】解：过作的平行线交于，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
∵CQ＝PA，
∴
在中和中，
，
≌，
，
于，是等边三角形，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．C
【分析】延长BD交AC于点E，根据角平分线及垂直的性质可得：，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：，，再根据三角形的面积公式可得：，，得出，求解即可．
【详解】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，熟练掌握基础知识，进行逻辑推理是解题关键．
25．D
【分析】首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠BGE＝90°，即可得到①AE＝BF；②AE⊥BF；△BCF沿BF对折，得到△BPF，利用角的关系求出QF＝QB；由Rt△ABE≌Rt△BCF得S△ABE＝S△BCF即可判定④正确．
【详解】解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，
∴CF＝BE，
在△ABE和△BCF中，，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠CBF，AE＝BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠CBF+∠BEA＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠PFB，
∴QF＝QB，故③正确；
∵Rt△ABE≌Rt△BCF，
∴S△ABE＝S△BCF，
∴S△ABE﹣S△BEG＝S△BCF﹣S△BEG，
即S四边形ECFG＝S△ABG，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题主要是考查了三角形全等、正方形的性质，熟练地综合应用全等三角形以及正方形的性质，证明边相等和角相等，是解决本题的关键．
26．B
【分析】根据题意可以推出DE＝DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．
【详解】解：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠EAD＝∠FAD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE＝AF，AD平分∠EDF．
故选：B．
【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理．
27．A
【分析】①利用三角形内角和定理即可说明其正确；②利用垂直平分线的性质即可说明其正确；③利用SAS判定全等即可；④利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论；⑤利用③中的结论结合等量代换和等式的性质即可得出结论．
【详解】
如图所示，设EH与AD交于点M，
∵∠ACB＝45°，BE⊥AC，
∴∠EBD＝90°﹣∠ACD＝45°，
故①正确；
∵AD⊥BC，∠EBD＝45°，
∴∠BFD＝45°，
∴∠AFE＝∠BFD＝45°，
∵BE⊥AC，
∴∠FAE＝∠AFE＝45°，
∴△AEF为等腰直角三角形，
∵EM是∠AEF的平分线，
∴EM⊥AF，AM＝MF，即EH为AF的垂直平分线，
∴AH＝HF，
∴②正确；
∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝CD，
同理，BD＝DF，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（SAS）,
∴③正确；
∵△ABD≌△CFD，
∴CF＝AB，
∵CH＝CF+HF，
由②知：HF＝AH，
∴CH＝AB+AH，
∴④正确；
∵BD＝DF，CD＝AD，
又∵DF＝AD﹣AF，
∴BD＝CD﹣AF，
∴⑤正确，
综上，正确结论的个数为5个．
故选：A．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质等相关知识，综合性较强，难度较大，做题时要分清角的关系与边的关系．
28．
【分析】已知给出了∠1＝∠2，可得三角形中一对应角相等，又有一边对应相等，根据边角边判定定理，补充BC＝AC可得ABCDEC答案可得．
【详解】解：∵∠1＝∠2，
∴∠BCA＝∠ECD，
又AC＝DC，添加BC＝CE，
∴ABCDEC（SAS）．
故答案为：BC＝EC．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．解题的关键是添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件．
29．5
【分析】首先证明△BDF≌△ADC，再根据全等三角形的性质可得FD=CD，AD=BD，根据AD=8，DF=3，即可算出AF的长．
【详解】解：∵AD是BC边上的高，BE是AC边上的高，
∴∠ADC=∠FDB=90°，∠AEB=90°，
∴∠1+∠C=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠C，
∵∠2=∠3，
∴∠3=∠C，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴FD=CD，AD=BD，
∵CD=3，BD=8，
∴AD=8，DF=3，
∴AF=8-3=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
30．2或3##3或2
【分析】此题要分两种情况：①当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a；②当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求a．
【详解】解：当BD=PC时，△BPD与△CQP全等，
∵点D为AB的中点，
∴BD=AB=6cm，
∵BD=PC，
∴BP=8-6=2（cm），
∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，
∴运动时间时1s，
∵△DBP≌△PCQ，
∴BP=CQ=2cm，
∴a=2÷1=2；
当BD=CQ时，△BDP≌△CQP，
∵BD=6cm，PB=PC，
∴QC=6cm，
∵BC=8cm，
∴BP=4cm，
∴运动时间为4÷2=2（s），
∴a=6÷2=3（m/s），
故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是要分情况讨论，不要漏解，掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
31．①②④
【分析】由角平分线的定义，可得∠PAB+∠PBA=45°，由三角形内角和定理可得结论①；由△BPA≌△BPF可得结论②；由△APH≌△FPD可得结论④；若PH=HC，则PD=HC，由AD＞AC可得AP＞AH不成立，故③错误；
【详解】解：∵∠CAB+∠CBA=90°，AD、BE平分∠CAB、∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠CAB+∠CBA）=45°，
△PAB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=135°，
故①正确；
∵∠ADF+∠F=90°，∠ADF+∠DAC=90°，
∴∠F=∠DAC=∠DAB，
△BPA和△BPF中：∠PBA=∠PBF，∠PAB=∠PFB，BP=BP，
∴△BPA≌△BPF（AAS），
∴BA=BF，PA=PF，
故②正确；
△APH和△FPD中：∠PAH=∠PFD，PA=PF，∠APH=∠FPD=90°，
∴△APH≌△FPD（ASA），
∴PH=PD，故④正确；
若PH=HC，则PD=HC，
AD＞AC，则AD-PD＞AC-HC，即AP＞AH，不成立，
故③错误；
综上所述①②④正确，
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
32．①②③
【分析】先根据，，证明，再根据全等三角形求证后续结论．
【详解】
又
又
故①正确．
故②正确．
故③正确．
故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是找准证明三角形全等的条件．
33．(1)证明见解析
(2)117°
【分析】（1）由“AAS”可证△ADC≌△FDE，可得CD＝DF；
（2）由三角形内角和定理可得∠A＝∠ACB＝78°，由角平分线定义和平行线的性质求得∠EFD＝78°，∠E＝39°，根据三角形内角和定理可求∠AFE的度数．
(1)
证明：∵EF∥AC，
∴∠A＝∠EFD，∠ACD＝∠E，
在△ADC和△FDE中，
，
∴△ADC≌△FDE（AAS），
∴AD＝DF；
(2)
解：∵∠A＝∠ACB，∠ABC＝∠ECF＝24°，
∴∠A＝∠ACB＝＝78°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝39°，
∵EF∥AC，
∴∠A＝∠EFD＝78°，∠ACD＝∠E＝39°，
∵∠ECF＝24°，
∴∠CFE＝180°−∠ECF−∠E＝180°−24°−39°＝117°．
【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
34．(1)见解析
(2)50°
(3)见解析
【分析】(1)根据SAS可证得；
（2）由，可得，故，即可得出的度数；
（3）连接AF，过点A作于点J．由可得：，，即可得出．可证得，得：，由，可得出，即可证得结论．
(1)
证明：∵．
∴．
在和中，
，
∴．
(2)
∵，
∴，
∴．
∴，
∵，
∴．
故答案为：50°．
(3)
证明：如图，连接AF，过点A作于点J．
∵，
∴，，
∵，．
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等的证明和性质，掌握全等的证明和性质是解题的关键．
35．(1)证明过程见解析
(2)16
【分析】（1）若①，利用证明；若②，利用证明；若③，利用证明；
（2）根据，可得，根据即可求解．
（1）
证明：若①
∵DE，DF分别是 ​和 ​高
∴
在和中
∵
∴
若②
∵DE，DF分别是 ​和 ​高
∴
在和中
∵
∴
若③
∵DE，DF分别是 ​和 ​高
∴
在和中
∵
∴
（2）
解：∵
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积等知识点，掌握全等三角形的判定方法和性质是解答本题的关键．
36．(1)见解析
(2)DE+BG＝EG，理由见解析
【分析】（1）通过角的计算得出∠D＝∠CBF，证出△CDE≌△CBF（SAS），由此即可得出CE＝CF；
（2）连接AC，结合AC＝AB、DC＝BC即可证出△ABC≌△ADC，由此即可得出∠BCA＝∠DCA＝60°，再根据∠ECG＝60°即可得出∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG，由（1）可知△CDE≌△CBF，进而得知∠DCE＝∠BCF，根据角的计算即可得出∠ECG＝∠FCG，结合DE＝DF即可证出△CEG≌△CFG，即得出EG＝FG，由相等的边与边之间的关系即可证出DE+BG＝EG．
(1)
证明：∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB＝360°，∠DAB＝60°，∠DCB＝120°，
∴∠D+∠ABC＝360°﹣60°﹣120°＝180°．
又∵∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠D＝∠CBF．
在△CDE和△CBF中， ，
∴△CDE≌△CBF（SAS）．
∴CE＝CF．
(2)
解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG＝EG．理由如下：
连接AC，如图所示．
在△ABC和△ADC中， ，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA＝∠DCA＝∠DCB＝×120°＝60°．
又∵∠ECG＝60°，
∴∠DCE＝∠ACG，∠ACE＝∠BCG．
由（1）可得：△CDE≌△BDF，
∴∠DCE＝∠BCF．
∴∠BCG+∠BCF＝60°，即∠FCG＝60°．
∴∠ECG＝∠FCG．
在△CEG和△CFG中， ，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG＝FG．
又∵DE＝BF，FG＝BF+BG，
∴DE+BG＝EG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．
37．（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明；
（2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接.
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：结论不成立，应当是，
理由：如图②，在上截取，使，连接，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
38．(1)见解析
(2)OA的长为6
(3)存在，当s或s时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等
【分析】（1）根据三角形的高得，根据角之间的关系得，用ASA即可证明；
（2）根据边之间的关系得，即可得求出BC的长度，根据全等三角形的性质得，即可得；
（3）由题意得，，，根据等边对等叫得，分情况讨论：时，OP=CQ，得，进行计算即可得，时，OP=CQ，得，进行计算即可得．
（1）
证明：∵AD，BE是的高，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴ (ASA)；
（2）
解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：6．
（3）
存在，理由如下：
解：由题意得，，，
∵，
∴，
如图所示，
当时，OP=CQ，
∴，
解得：；
如图所示，
当时，OP=CQ，
∴，
解得：，
综上所述，存在，当秒或2秒时，以点B，O，P为顶点的三角形与以点F，C，Q为顶点的三角形全等．