人教版（2024）13.1.1 轴对称精品课后测评

这是一份人教版（2024）13.1.1 轴对称精品课后测评，共41页。试卷主要包含了对称的两个图形是全等的；，垂直平分线性质，逆定理等内容，欢迎下载使用。

考点一：轴对称
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么就称这个图形是轴
对称图形；这条直线叫做它的对称轴；也称这个图形关于这条直线对称；
两个图形关于这条直线对称：一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点；
轴对称图形与两个图形成轴对称的区别：轴对称图形是指一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分
能完全重合；而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够
重合；
轴对称图形与两个图形成轴对称的联系：把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于
这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。
考点二：垂直平分线
1垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线；
2如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
3.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
4.对称的两个图形是全等的；
5.垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
6.逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；
题型一：轴对称图像
1．（2022·新疆·库车市第七中学八年级期末）以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·安徽蚌埠·八年级期末）下列微信表情是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·八年级期中）“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光，在下列标识或简图中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
题型二：轴对称图形的性质求解
4．（2022·山东·东埠初中八年级阶段练习）如图所示，点P为内一点，分别作出P点关于、的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，P 为∠AOB内一点，OP=2.6，若点 P 关于∠AOB两边的对称点分别是，则之间的距离可能是( )
A．5B．6C．7D．8
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，与关于直线对称，若，，则（ ）
A．B．C．D．
题型三：桌球或者光学中的轴对称问题
7．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
8．（2022·全国·八年级）一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（ ）
A．以的速度，做竖直向上运动B．以的速度，做竖直向下运动
C．以的速度运动，水平向左运动D．以的速度，水平向左运动
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（ ）
A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋
题型四：垂直平分线的性质
10．（2023·江苏·宝应县实验初级中学八年级阶段练习）如图，是中垂直平分边，若，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·福建师范大学附属中学初中部八年级阶段练习）如图，在中，，直线为的垂直平分线交于点，连接，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十七中学八年级阶段练习）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，，则的周长为（ ）
A．25B．22C．19D．18
题型五：垂直平分线的判定
13．（2022·广东·佛山市南海区狮山镇大圃初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，已知点D在BC上，且AD=DC，则点D在（ ）
A．的垂直平分线上B．的平分线上
C．的中点D．的垂直平分线上
14．（2022·广东·佛山市顺德区大墩初级中学八年级期中）如图，某市的三个城镇中心A、B、C构成△ABC，该市政府打算修建一个大型体育中心P，使得该体育中心到三个城镇中心A、B、C的距离相等，则P点应设计在（ ）
A．三个角的角平分线的交点B．三角形三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三角形三条中线的交点
15．（2022·全国·八年级专题练习）如图， 的内部作射线 ， 过点 分别作 于点 于点 ， 连接 ， 若 ， 则 的度数为（ ）
A．B．C．D．
题型六：垂直平分线的应用
16．（2022·甘肃·兰州树人中学八年级期末）《中共中央国务院关于促进农民增加收入若干政策的意见》中提出“治理农村人居环境，搞好村庄治理规划和试点，节约农村建设用地”政策出台后，湖南陆陆续续开展了村庄合并某地兴建的幸福小区的三个出口、、的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点处B．三个角的平分线的交点处
C．三角形三条高线的交点处D．三角形三条中线的交点处
17．（2022·江苏·八年级专题练习）三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（ ）
A．三条角平分线的交点B．三边中线的交点
C．三边上高所在直线的交点D．三边的垂直平分线的交点
18．（2022·江西上饶·八年级期末）如图，A，B，C均为新建居民小区，分别连接AB，AC，BC，形成一个三角形，若想建一个超市，使其到A，B，C这三个小区的距离相等（不考虑其它因素），则超市的位置应该选在（ ）
A．△ABC三条中线的交点处B．△ABC三边的垂直平分线的交点处
C．△ABC三条角平分线的交点处D．△ABC三条高所在直线的交点处
题型七：尺规作图
19．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，两条公路OA，OB相交于点O，在∠AOB内部有两个村庄C，D．为方便群众接种新冠疫苗，该地决定在∠AOB内部再启动一个方舱式接种点P，请你用直尺和圆规作出接种点P的位置（保留作图痕迹）．要求同时满足：
①到两条公路OA，OB的距离相等．
②到两村庄C，D的距离相等．
20．（2023·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC，点D在边AB上．
(1)求作点D，使点D到点B，C的距离相等；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接DC，已知∠B＝32°，求∠ADC的度数．
21．（2022·江苏·飞达路中学八年级阶段练习）如图，已知在中，．
(1)用尺规作BC边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若BC边的垂直平分线交AC于D、交BC于E，连接BD，求的周长；
题型八：垂直平分线的综合问题
22．（2022·江苏·安东学校八年级阶段练习）如图，AD是的角平分线，DE、DF分别是和的高．
(1)试说明AD垂直平分EF；
(2)若，，，求DE的长．
23．（2022·江苏·江阴市徐霞客中学八年级阶段练习）如图，点是中的平分线和边的垂直平分线的交点， 于点 ，交的延长线于点；
(1)求证：；
(2)若，求的长．
24．（2022·江苏·常州市新北区实验中学八年级阶段练习）如图，在中，垂直平分线段，平分，于点，交的延长线于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
一、单选题
25．（2023·江苏·苏州市相城区春申中学八年级阶段练习）下列四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A．B．
C．D．
26．（2023·江苏·南京市金陵汇文学校八年级阶段练习）如图，Rt中，，将其折叠，使点落在边上处，折痕为，则（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·江苏·苏州工业园区星汇学校八年级阶段练习）如图，点P在锐角的内部，连接，，点P关于、所在直线的对称点分别是、，则、两点之间的距离可能是（ ）
A．8B．7C．6D．5
28．（2022·江苏·江阴市长泾第二中学八年级阶段练习）下列语句中正确的个数是（ ）
①关于一条直线对称的两个图形一定能重合；②两个轴对称图形的对应线段所在直线一定相交；③两个轴对称图形的对应点一定在对称轴两侧；④两个轴对称图形的对应点连线的一定互相平行.
A．4B．3C．2D．1
29．（2022·江苏·八年级课时练习）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，B=D，画出四边形ABCD的对称轴m；
（2）如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，A=D，画出边BC的垂直平分线n．
30．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；
（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．
一：选择题
31．（2022·山东·东埠初中八年级阶段练习）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心．大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若BC比AC长，的周长是，则AC的长为（ ）．
A．5B．6C．7D．8
32．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线交AC于点D，连接．若，，则的长为（ ）
A．2B．3C．4D．6
33．（2022·广东·珠海市凤凰中学八年级期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ）．
A．6B．9C．11D．19
34．（2022·辽宁·大连市第八十中学八年级阶段练习）如图，和关于直线l对称，下列结论：（1）；（2）；（3）直线l垂直平分；（4）直线l平分．正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
35．（2022·江苏·南京秦淮外国语学校八年级阶段练习）如图，和分别为的内角平分线和外角平分线，于点H，平分交于点F，连接．则下列结论正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤．
A．2个B．3个C．4个D．5个
36．（2022·北京·人大附中八年级期中）如图，在中，根据规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题
37．（2021·四川·兴文县香山民族初级中学校八年级期中）如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为_______．
38．（2022·全国·八年级课时练习）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，点E，F分别在边AB，AC上，将△AEF沿直线EF翻折，点A落在点P处，且点P在直线BC上．则线段CP长的取值范围是____.
39．（2022·山西·右玉县第三中学校八年级期末）如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
40．（2021·江苏徐州·八年级期中）如图，在正方形方格中，阴影部分是涂黑7个小正方形所形成的图案，再将方格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂法有______种．
41．（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中成立的有____________(填写正确的序号)．
①PA=PB；②AB垂直平分OP；③OA=OB；④PO平分∠APB．
42．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
43．（2022·湖北孝感·八年级期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=_____．
三、解答题
44．（2020·新疆·乌鲁木齐市第70中八年级期中）如图，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC+AD．
45．（2021·广东·广州市第九十七中学八年级期中）已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．
（1）证明：BM=CN；
（2）当∠BAC=70°时，求∠DCB的度数．
46．（2020·甘肃武威·八年级期中）如图，一个四边形纸片ABCD，，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的点，AE是折痕．
（1）判断与DC的位置关系，并说明理由；
（2）如果，求的度数．
47．（2022·全国·八年级）已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．
（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：
①EB＝EP；
②∠EFP＝30°；
（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP＝30°．
48．（2020·全国·八年级单元测试）已知长方形纸片，点在边上，点，在边上，连接，．将对折，点落在直线上的点处，得折痕；将对折，点落在直线上的点处，得折痕．

（1）如图（1），若点与点重合，求的度数；
（2）如图（2），若点在点的右侧，且，求的度数；
（3）若，请直接用含的式子表示的大小．
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析即可，一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】解：A.找不到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
B. 找不到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
C. 找不到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以不是轴对称图形，故不符合题意；
D.能 找到一条直线，沿该直线折叠后使两边重合，所以是轴对称图形，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．
2．B
【分析】根据轴对称图形的概念——在平面内一个图形沿一条直线折叠直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形——进行判断即可．
【详解】解：A、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；
B、能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选项正确，符合题意；
C、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；
D、不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】此题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是知道轴对称图形的概念的含义．
3．A
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形说法正确，符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．C
【分析】根据题意得，，则的周长为：，即可得．
【详解】解：∵P点关于、的对称点，，
∴，，
则的周长为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质．
5．A
【分析】根据轴对称的性质可得，根据三角形三边关系可得，即可求解．
【详解】如图，连接，
∵点 P 关于∠AOB两边的对称点分别是 ，OP=2.6
∴
∵，
∴之间的距离可能是5．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键．
6．C
【分析】根据轴对称的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．
【详解】解：与关于直线对称，
≌，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．A
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可．
【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，
∵2022÷6=337，
∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的最后一次反弹，
∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了点的坐标的规律，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．B
【分析】利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物关于镜面OC对称，形状大小，平移的速度相同，方向直线O点．
【详解】根据镜面对称的性质，在平面镜中的小球与现实中的小球关于镜面对称，
∵∠AOC=45，
∴∠BOC=45°，
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=90°，
则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动，故B正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考察镜面对称，解题关键是熟练掌握镜面对称的性质．
9．B
【分析】根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．
【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：
该球最后将落入的球袋是2号．
故选：B．
【点睛】主要考查了轴对称的性质，按轴对称画图是正确解答本题的关键．
10．B
【分析】运用垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：由垂直平分线的性质可知：，
∴的周长，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，理解基本性质灵活对边长进行转化是解题关键．
11．C
【分析】根据中垂线的性质，可得，继而可确定的周长．
【详解】解：垂直平分，
，
的周长．
故选C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
12．C
【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB=DC，然后即可得到AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．
【详解】解：由题意可得，
MN垂直平分BC，
∴DB=DC，
∵△ABD的周长是AB+BD+AD，
∴AB+BD+AD=AB+DC+AD=AB+AC，
∵AB=7，AC=12，
∴AB+AC=19，
∴△ABD的周长是19，
故选：C．
【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
13．A
【分析】根据线段垂直平分线的判定即可判断．
【详解】解：∵AD=DC，
∴点D在AC的垂直平分线上，故选项A正确，符合题意；
没有理由能证明∠BAD=∠CAD和BD=CD和BD=AD，故选项B、C、D都不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定，熟练掌握“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键．
14．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：∵体育中心到城镇中心A、B的距离相等，
∴PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
同理，点P在线段AC，BC的垂直平分线上，
∴P点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
15．B
【分析】根据题意证明，可得，即可得垂直平分，根据等角的余角相等即可求解．
【详解】解：∵ 于点 于点 ，
在与中，
，
，
，
垂直平分，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了HL证明三角形求得，垂直平分线的性质，等角的余角相等，证明是解题的关键．
16．A
【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
充电桩应该在三条边的垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．D
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．
【详解】解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．
故选：D．
【点睛】此题考查了游戏的公平性与线段垂直平分线的性质的应用；解题的关键是知道三角形的三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等．
18．B
【分析】根据线段的垂直平分线的性质即可判断并得出结论．
【详解】解：∵超市到A，B，C这三个小区的距离相等，
∴超市的位置应选在△ABC三边的垂直平分线的交点处，
故选：B．
【点睛】本题考查线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．见详解
【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠AOB的角平分线OF，OF交MN于点P，点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，属于中考常考题型．
20．(1)见解析
(2)64°
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线交AB于点D．
（2）利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质求解即可．
（1）
如图，点D即为所求；
（2）
∵DB＝DC，
∴∠B＝∠DCB＝32°，
∴∠ADC＝∠DBC＋∠DCB＝32°＋32°＝64°．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
21．(1)见解析
(2)的周长为11
【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长．
【详解】（1）如图，DE即为所求：
（2）∵DE是BC边的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长
．
【点睛】本题考查了作图—基本作图和线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答；
（2）根据，可以求得的长度．
【详解】（1）∵平分，
，
，
，
在和中，
，
∴≌，
，
又，
∴，
，
垂直平分；
（2）∵，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题．
23．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，由中垂线的性质可得，然后根据角平分线的性质得，然后证明即可；
（2）先证，得到，然后列方程求解；
【详解】（1）证明：如图，连接
垂直平分
平分 ，
在 和中


（2）解：在 和中


设 ，
由得：
即：
解得：
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理、线段中垂线的性质定理；熟练运用这两个定理进行线段的转化是解题的关键．
24．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据垂直平分线的性质，得出，再根据角平分线的性质，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论；
（2）根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出，再根据，，计算即可得出的长．
【详解】（1）证明：∵垂直平分线段，
∴，
∵，，且平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
（2）解：在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的证明，全等三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键．
25．C
【分析】根据轴对称图形的定义即可进行解答．
【详解】解：由图形可知A、B、D为轴对称图形，C不是轴对称图形．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形．
26．C
【分析】先根据直角三角形的性质求出∠B的度数，然后由折叠的性质求出，最后由外角的性质可求出答案．
【详解】∵，
∴∠B=90°55°=35°，
由折叠可知：=∠A=55°，
∴=55°35°=20°，
故选：C．
【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理和外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
27．D
【分析】连接，，根据对称性质，得到===3，根据三角形三边关系定理，判定，选择即可．
【详解】如图，连接，，
根据对称性质，得到===3，
根据三角形三边关系定理，
所以，
故选D．
【点睛】本题考查了对称的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握对称性质，三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
28．D
【分析】根据轴对称的性质，对题中条件进行一一分析，得到正确选项即可．
【详解】解：①关于一条直线对称的两个图形一定能重合，正确；
②这两个图形的对应线段一定互相平行或在一条直线上，故原说法错误；
③两个轴对称图形的对应点不一定在对称轴的两侧，还可以在对称轴上，故原说法错误；
④这两个图形的对应线段一定互相平行或在一条直线上，故原说法错误．
正确的有1个．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，熟练掌握定义与性质是解题关键．
29．（1）见解析；（2）见解析；
【分析】（1）连接AC，AC所在直线即为对称轴m．
（2）延长BA，CD交于一点，连接AC，BC交于一点，连接两点获得垂直平分线n．
【详解】解：（1）如图①，直线即为所求
（2）如图②，直线即为所求
【点睛】本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出直线.
30．（1）65°（2）证明见解析
【分析】（1）由题意可得∠EAD=∠BAC=25°，再根据∠AED=90°，利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；
（2）由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，DE=DC，根据线段垂直平分线的判定定理即可得证.
【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，
∴∠EAD=∠BAC=25°，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；
（2）∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°=∠ACB，
又AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴AE=AC，DE=DC
∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，
∴直线AD是线段CE的垂直平分线.
【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余、三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定等，熟练掌握相关的性质定理与判定定理是解题的关键.
31．B
【分析】根据作图可知，是的垂直平分线，进而可得，继而可得，根据BC比AC长，得出，即可求得的长．
【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
∵BC比AC长，
∴，
∴，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
32．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】由作图知，是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线；并掌握线段垂直平分线的性质是关键．
33．B
【分析】由折叠的性质可得，cm，可求的长，即可求的周长．
【详解】解：∵沿过点A的直线折叠这个三角形，
∴，cm，
∵cm，
∴cm，
∴的周长为：cm，
故选：B．
【点睛】本题考查翻折中的全等，解题的关键在于掌握翻折过后的线段与翻折前一样．
34．D
【分析】根据成轴对称的两个图形能够完全重合可得和全等，然后对各小题分析判断后解可得到答案．
【详解】解：∵和关于直线对称，
（1）；
（2）；
（3）直线垂直平分；
（4）直线平分．
综上所述，正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】本题主要考查轴对称的性质，根据成轴对称的两个图形能够完全重合判断出两个三角形全等是解题的关键．
35．D
【分析】根据角平分线的定义以及平角的性质即可判断①正确；证明垂直平分线段即可判断②正确；利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可判断③正确；利用参数构建方程组解决问题即可判断④正确；利用等角的余角相等证明即可判断⑤正确．
【详解】解：∵平分平分，
∴，
∴，故①正确，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确，
∵
，故③正确，
设，
则有，可得，故④正确，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义以及垂直平分线的性质，熟知角平分线是将角分为两个相等部分以及垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解本题的关键．
36．D
【分析】由图中尺规作图痕迹可知，为的平分线，为线段的垂直平分线，结合角平分线的定义和垂直平分线的性质逐项分析即可．
【详解】解：由图中尺规作图痕迹可知， 为的平分线，为线段的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得，
故A选项说法正确，不符合题意；
∵为线段的垂直平分线，
∴，，
∴，，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴
故B选项说法正确，不符合题意；
由图中尺规作图痕迹可知， 为线段的垂直平分线，
∴
故C选项说法正确，不符合题意；
∵F是的垂直平分线与的平分线的交点，
∴根据已知条件不能得出平分，
∴与不一定相等，
故D选项说法不一定正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质和尺规作图，角平分线的尺规作图是解答本题的关键．
37．13
【详解】解：DE是AB的垂直平分线，
所以EA=EB，
所以△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
38．
【分析】根据点E、F在边AB、AC上，可知当点E与点B重合时，CP有最小值，当点F与点C重合时CP有最大值，根据分析画出符合条件的图形即可得.
【详解】如图，当点E与点B重合时，CP的值最小，
此时BP=AB=3，所以PC=BC-BP=4-3=1，
如图，当点F与点C重合时，CP的值最大，
此时CP=AC，
Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，根据勾股定理可得AC=5，所以CP的最大值为5，
所以线段CP长的取值范围是1≤CP≤5，
故答案为1≤CP≤5.
【点睛】本题考查了折叠问题，能根据点E、F分别在线段AB、AC上，点P在直线BC上确定出点E、F位于什么位置时PC有最大（小）值是解题的关键.
39．24
【分析】根据角平分线和垂直平分线的性质得到角之间的关系，再利用三角形内角和180度求角.
【详解】∵DE是AC的垂直平分线,
∴EA=EC，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC，
∵AF平分∠BAC，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【点睛】本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算.
40．3
【详解】在1，2，3处分别涂黑都可得一个轴对称图形，
故涂法有3种，
故答案为3．
41．①③④
【分析】根据角平分线的意义及其性质可以对各项的正确性质作出判断．
【详解】解：由角平分线的定义可知PA=PB，∴OP垂直平分AB，①正确，②错误；
又在△OPA和△OPB中，∠AOP=∠BOP，∠OAP=∠OBP，OP=OP，
∴△AOP≌△BOP，∴OA=OB，PO平分∠APB，③、④正确；
故答案为①、③、④．
【点睛】本题考查三角形的应用，熟练掌握角平分线、中垂线的意义和性质以及全等三角形的判定和性质是解题关键．
42． ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
【详解】解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点睛】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
43．96°
【详解】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在和中，，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：96°．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质定理及全等三角形的判定及性质，正确作出辅助线证明 是解题的关键．
44．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；
（2）先根据三角形全等的性质可得，再根据线段垂直平分线的判定与性质可得，然后根据线段的和差、等量代换即可得证．
【详解】（1），
，
点E是CD的中点，
，
在和中，，
，
；
（2）由（1）已证：，
，
又，
是线段AF的垂直平分线，
，
由（1）可知，，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质、线段垂直平分线的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
45．（1）见解析；（2）∠DCB=35°
【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到DM=DN，DB=DC，根据HL证明Rt△DMB≌Rt△DNC，即可得出BM=CN；
（2）由HL证明Rt△DMA≌Rt△DNA，得出∠ADM=∠ADN=55°，由于∠BDM=∠CDN，因此∠BDC=110°，因此∠EDC=55°，根据两角互余的关系即可求得∠DCB的度数．
【详解】（1）证明：连接BD、CD，如图所示：
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分线BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC(HL)，
∴BM=CN；
（2）由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA(HL)，
∴∠ADM=∠ADN
∵∠BAC=70°
∴∠MDN=110°，∠ADM=∠ADN=55°，
∵∠BDM=∠CDN
∴∠BDC=∠MDN=110°
∵AD是BC的垂直平分线
∴∠EDC=55°
∴∠DCB=90°-∠EDC=35°
∴∠DCB=35°
故答案为∠DCB=35°．
【点睛】考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
46．（1）B′E∥DC，理由见解析；（2）65°
【分析】（1）由于是的折叠后形成的，可得，可得B′E∥DC；
（2）利用平行线的性质和全等三角形求解．
【详解】解：（1）由于是的折叠后形成的，
，
；
（2）折叠，
△，
，即，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，平行线的判定及性质，熟记全等三角形的性质和平行线的性质及判定是解题的关键．
47．（1）①见解析 ②30°（2）见解析
【分析】（1）①本题主要考查通过角度计算求证平行，继而证明△CBP是直角三角形，根据直角三角形斜边中线可得结论．
②本题以上一问结论为解题依据，考查平行线以及垂直平分线的应用，根据同位角相等可得BC∥EF，由平行线的性质得BP⊥EF，可得EF是线段BP的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠PFE＝∠BFE＝30°．
（2）本题主要考查辅助线的做法以及垂直平分线性质的应用，需要延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ，证明△QEP≌△DEC（SAS），则PQ＝DC＝DB，由QE＝DE，∠DEF＝90°，知EF是DQ的垂直平分线，证明△FQP≌△FDB（SAS），再由EF是DQ的垂直平分线，可得结论．
【详解】证明（1）①∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°
∴∠A＝90°﹣30°＝60°
同理∠EDF＝60°
∴∠A＝∠EDF＝60°
∴AC∥DE
∴∠DMB＝∠ACB＝90°
∵D是Rt△ABC斜边AB的中点，AC∥DM
∴
即M是BC的中点
∵EP＝CE，即E是PC的中点
∴ED∥BP
∴∠CBP＝∠DMB＝90°
∴△CBP是直角三角形
∴BE＝PC＝EP
②∵∠ABC＝∠DFE＝30°
∴BC∥EF
由①知：∠CBP＝90°
∴BP⊥EF
∵EB＝EP
∴EF是线段BP的垂直平分线
∴PF＝BF
∴∠PFE＝∠BFE＝30°
（2）如图2，延长DE到Q，使EQ＝DE，连接CD，PQ，FQ
∵EC＝EP，∠DEC＝∠QEP
∴△QEP≌△DEC（SAS）
则PQ＝DC＝DB
∵QE＝DE，∠DEF＝90°
∴EF是DQ的垂直平分线
∴QF＝DF
∵CD＝AD
∴∠CDA＝∠A＝60°
∴∠CDB＝120°
∴∠FDB＝120°﹣∠FDC＝120°﹣（60°+∠EDC）＝60°﹣∠EDC＝60°﹣∠EQP＝∠FQP
∴△FQP≌△FDB（SAS）
∴∠QFP＝∠BFD
∵EF是DQ的垂直平分线
∴∠QFE＝∠EFD＝30°
∴∠QFP+∠EFP＝30°
∴∠BFD+∠EFP＝30°
【点睛】本题考点较多，涉及平行与角等的互推，垂直平分线的应用，全等的证明，特殊角度的利用，难度主要在于辅助线的构造，该类型题目必须多做专题训练以培养题感．
48．（1）；（2）；（3）若点在点的右侧，；若点在点的左侧，
【分析】（1）由题意根据角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．
（2）由题意根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．
（3）根据题意分点在点的右侧以及点在点的左侧两种情形分别求解即可．
【详解】解：（1）因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，
所以．
（2）因为平分，平分，
所以，，
所以．
因为，，
所以，
所以．
（3）因为平分，平分，
所以，，
若点在点的右侧，，
；
若点在点的左侧，
．