初中数学人教版（2024）八年级上册第十五章 分式15.3 分式方程优秀练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册第十五章 分式15.3 分式方程优秀练习，共33页。
考点一：分式方程：
定义：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
考点二： 增根：
分式方程的增根必须满足两个条件：
增根是最简公分母为0；（2）增根是分式方程化成的整式方程的根。
考点三：分式方程的解法：
(1)能化简的先化简(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；
(3)解整式方程；(4)验根．
注：解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
考点四：分式方程解实际问题
（1）步骤：审题—设未知数—列方程—解方程—检验—写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行检验。
（2）应用题基本类型；
a.行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题．
b.数字问题 在数字问题中要掌握十进制数的表示法．
c.工程问题 基本公式：工作量=工时×工效．
d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水． v逆水=v静水-v水．
E．相遇问题 f追及问题
相遇路程＝速度和×相遇时间 追及距离＝速度差×追及时间
相遇时间＝相遇路程÷速度和 追及时间＝追及距离÷速度差
速度和＝相遇路程÷相遇时间 速度差＝追及距离÷追及时间
g流水问题 h浓度问题
顺流速度＝静水速度＋水流速度 溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量
逆流速度＝静水速度－水流速度 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度
静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 溶液的重量×浓度＝溶质的重量
水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2 溶质的重量÷浓度＝溶液的重量
m利润与折扣问题
利润＝售出价－成本
利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100%
涨跌金额＝本金×涨跌百分比
折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1)
利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)
题型一：分式方程的定义
1．（2022·河北·青龙满族自治县教师发展中心八年级期中）方程 、 、、中分式方程的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2022·山东省泰安第十五中学八年级）关于x的方程①；②；③；④．其中是分式方程是（ ）
A．①②③B．①②C．①③D．①②④
3．（2022·山东枣庄·八年级阶段练习）下列方程①，②，③，④中，是关于x的分式方程的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
题型二：分式方程的增根问题
4．（2022·湖南·明德湘南学校八年级阶段练习）若解分式方程产生增根，则k的值为（ ）
A．2B．1C．0D．任何数
5．（2022·河北·邯郸市永年区教育科学研究所八年级期中）若关于x的方程﹣2＝有增根，则m的值应为（ ）
A．2B．-2C．5D．-5
6．（2022·陕西省西安爱知中学八年级期末）若关于的分式方程有增根，则的值是（ ）
A．B．或C．D．
题型三：根据分式方程的解求参数问题
7．（2022·河北石家庄·八年级期中）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
8．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）已知关于x的分式方程的解是正数，则k的取值范围为（ ）
A．B．且C．D．且
9．（2022·湖南邵阳·八年级期中）已知关于的分式方程的解为正数，那么的取值范围是（ ）
A．B．且
C．D．且
题型四：分式方程无解问题
10．（2022·湖南·八年级单元测试）若关于x的分式方程无解，则m的值为( )
A．-6B．-10C．0或-6D．-6或-10
11．（2022·四川内江·八年级期末）已知关于x的分式方程无解，则所有符合条件的m值的和为（ ）
A．1B．2C．6D．7
12．（2022·四川雅安·八年级期末）若关于x的方程﹣1＝无解，则m的值为（ ）
A．B．或C．D．或
题型五：分式方程的解
13．（2022·山东烟台·八年级期中）解分式方程：
(1)(2)．
14．（2022·山东烟台·八年级期中）解关于x的分式方程：
(1)(2)
15．（2022·湖南·桂阳县第二中学八年级期中）解方程
(1)；(2)．
题型六：列分式方程
16．（2022·湖南邵阳·八年级期中）某校八年级学生乘车前往某研学基地开展社会实践活动，现有两条线路如右图可选择：线路1全程，线路2全程；若走线路1平均车速是走线路2的倍，所花时间比走线路2多用，求走线路1、线路2的平均车速分别是多少？设线路2的平均车速为，依题意列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·山东烟台·八年级期中）一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地．设汽车原计划的行驶速度为千米/小时，由题意可列出的方程是（ ）
A．B．
C．D．
18．（2022·新疆·库车市第七中学八年级期末）甲、乙两班学生植树造林，已知甲班每天比乙班多植5棵树，甲班植80棵树所用的天数与乙班植70棵树所用的天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程是（ ）
A．B．C．D．
题型七：分式方程的实际问题
19．（2022·河北邢台·八年级期中）核酸检测时需要先采集样本，采集样本结束后，再统一把样本送检测中心检验，且采集的样本和送达的样本的时间必须在小时内完成，超过小时送达，样本就会失效．已知、两个采样点到检测中心的路程分别为、，经过了解获得、两个采样点的送检车有如下信息：
信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的平均速度倍；
信息二：、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时．
若采样点完成采集样本的时间小时，判断样本送达检测中心后会不会失效？
20．（2022·山东烟台·八年级期中）某商场用5000元购进一批服装，由于销路好，商场又用18600元购进了第二批这种服装，所购数量是第一批购进量的3倍，但单价贵了24元，商场在出售该服装时统一按每件200元的标价出售，卖了部分后，对剩余的40件按标价的6折进行清仓处理，并全部售完．求商场两次共购进多少件服装？两笔生意中商场共盈利多少元？
21．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）“疫情未结束，防疫不放松”．某工厂准备生产A和B两种防疫用品，已知A种防疫用品每箱成本比B种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，请解答下列问题：
(1)求A，B两种防疫用品每箱的成本；
(2)该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？
一、单选题
22．（2022·河北石家庄·八年级期中）当的值是时，则为（ ）
A．任意正数B．任意非负数
C．不等于2的正数D．不等于2的非负数
23．（2022·河北石家庄·八年级期中）学校需采购部分课桌，现有A，两个商家供货，A商家每张课桌的售价比商家的优惠元．若该校花费元采购款在A商家购买课桌的数量与花费元采购款在商家购买课桌的数量一样多，则A商家每张课桌的售价为（ ）
A．元B．元C．元D．元
24．（2022·江苏宿迁·八年级期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．比较两个队的施工速度是（ ）
A．甲比乙快B．乙比甲快C．甲乙一样快D．无法比较
25．（2022·天津津南·八年级期中）分式方程的解是（ ）
A．x＝3B．x＝﹣3C．x＝﹣1D．x＝1
26．（2022·广西桂林·八年级期中）若正整数a满足关于x的分式方程的解为非负数，则符合条件的所有正整数a的和为（ ）
A．6B．10C．15D．12
27．（2022·山东威海·八年级期中）若关于的方程有解，则应满足（ ）
A．B．C．且D．不存在
28．（2022·湖南·溆浦县圣达学校八年级期中）已知关于的方程的增根是，则字母a的值为（ ）
A．B．C．D．
29．（2022·北京·清华附中八年级阶段练习）解分式方程．
(1)；(2)．
30．（2022·湖南·明德湘南学校八年级）把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（ ）
A．B．
C．D．
31．（2022·河北石家庄·八年级期中）嘉嘉和淇淇两位同学进行米长跑比赛，嘉嘉同学在比赛时不小心摔了一跤，浪费了秒钟．事后，嘉嘉说：“我俩所用时间的和为秒．”淇淇同学说：“如果不算嘉嘉摔跤所浪费的时间．他跑完全程的平均速度是我跑完全程平均速度的倍．”据此信息，请你判断哪位同学获胜？两人跑完全程的时间相差多少秒？
一、单选题
32．（2022·湖南·岳阳市第十九中学八年级）现有一组数列：，，，，，，（为正整数），规定，，，…，，若，则的值为（ ）
A．97B．98C．99D．96
33．（2022·河北·邯郸市永年区教育科学研究所八年级期中）某工程队经过招标，中标2500米的人才公园跑道翻修任务，但在实际开工时．……，求实际每天修路多少米？在这个题目中，若设实际每天翻修跑道x米，可得方程．则题目中用“……”表示的条件应是（ ）
A．每天比原计划多修50米的跑道，结果延期10天完成
B．每天比原计划少修50米的跑道，结果提前10天完成
C．每天比原计划少修50米的跑道，结果延期10天完成
D．每天比原计划多修50米的跑道，结果提前10天完成
34．（2022·广东·佛山市南海区桂城街道桂江第二初级中学八年级阶段练习）下列说法中，正确的有（ ）个．
①若，则，
②若，则，
③对于分式，当时，分式的值为0，
④若关于的分式方程有增根，则．
A．B．C．D．
35．（2022·重庆实验外国语学校八年级）若整数a满足关于x的分式方程的解为非负整数，且使关于y的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
A．5B．8C．9D．12
二、填空题
36．（2022·山东烟台·八年级期中）若关于x的分式方程有增根，则___________．
37．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）“爱劳动，劳动美”，甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家和的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是，结果甲比乙提前到达基地．求甲、乙的速度．设甲的速度为每小时，依题意可列方程为_____________．
38．（2022·天津津南·八年级期中）方程的最简公分母是 _____．
39．（2022·江苏·扬州市江都区第三中学八年级阶段练习）关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是____________
40．（2022·四川·成都市西川汇锦都学校八年级阶段练习）关于的分式方程的解为正数，且使关于的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数的值之和是______．
41．（2022·重庆一中八年级阶段练习）国庆期间，某糕点坊制作了一批榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥．现将若干个榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥混合组成，，三种礼盒（每种礼盒中均有三种品种的糕点）．已知，，三种礼盒中每盒蛋黄酥的数量均是每盒榴莲酥和南瓜酥数量之和．在，，三种礼盒中各拿出一盒，发现一盒礼盒中有6个榴莲酥和3个南瓜酥，一盒礼盒中榴莲酥的数量是南瓜酥的数量的5倍，一盒礼盒中南瓜酥的数量是一盒礼盒中南瓜酥数量与一盒礼盒中南瓜酥数量之和，而，，各一盒中榴莲酥的总数量之和与南瓜酥的总数量之和的比为．经核算，一盒礼盒成本为129元，一盒礼盒成本为88元（每种礼盒成本为该盒中榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥的成本之和），则一盒礼盒的成本为______元．
三、解答题
42．（2022·山东·济宁学院附属中学八年级期中）解分式方程：
(1)；
(2)．
43．（2022·山东烟台·八年级期中）若关于x的分式方程的解大于1，求m的取值范围．
44．（2022·湖南邵阳·八年级期中）某市在新冠疫情出现社区传播后，市防疫指挥部决定临时扩建一所方舱医院用于收治新冠感染者．现有甲、乙两个工程队承揽该扩建任务，甲工程队单独施工，刚好在规定期限内完成；乙工程队单独施工则需超过3天．现在甲、乙两队合作2天，然后再由乙工程队单独施工，正好按期完成，那么规定的期限是多少天？
45．（2022·江苏宿迁·八年级期末）列方程解应用题：
某商店第一次用600元购进一款圆珠笔若干支，第二次又用750元购进同款圆珠笔，两次所购进的数量相同，但这次每支的进价比第一次多1元．
(1)第一次圆珠笔的进价是多少元？
(2)若这两次购进的圆珠笔按同一价格进行销售，全部销售完毕后获利不低于450元，求每支圆珠笔的售价至少是多少元？
46．（2022·天津·塘沽六中八年级期中）一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行所用时间相等，求江水的流速为多少？设江水的流速为．
(1)根据题意，用含有x的式子填写下表：
(2)列出方程，并求出问题的解．
47．（2022·上海市进才实验中学八年级期中）在中，，，射线上有一点分别为点P关于直线的对称点，连接
(1)如图1，当点P在线段 上时，则______，______．
(2)如图2，当点P在线段的延长线上时．根据题意补全图形，并探究是否存在点P，使得，若存在，直接写出满足条件时的长度；若不存在，说明理由．
速度（km/h）
时间（h）
距离（km）
顺流航行
90
逆流航行
60
1．C
【分析】根据分式方程的定义﹣﹣分母里含有字母的方程叫做分式方程判断．
【详解】解：中的分母中不含表示未知数的字母；故不是分式方程；
、 、的方程分母中含未知数x，所以是分式方程．
故选：C．
【点睛】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
2．B
【分析】根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可．
【详解】解：方程①是分式方程，符合题意；
方程②分母中含有未知数，符合题意；
方程③是整式方程，不符合题意；
方程④是整式方程，不符合题意；
故其中是分式方程的有：①②，
故选：B．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
3．A
【分析】根据分式方程的定义，即可判断．
【详解】解：①是关于y的分式方程；②是关于x的分式方程；③是关于x的整式方程；④是关于x的整式方程；
所以关于x的分式方程共有1个，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．
4．B
【分析】先将分式方程化为整式方程，再用k表示出方程的解，然后方程的解为2，再求出k的值即可．
【详解】解：

令，即，解得．
故选B．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
5．C
【分析】根据增根的意义及产生原因解答．
【详解】解：由题意可得：
x=5且x-2（x-5）=m，
∴m=5-0=5，
故选C．
【点睛】本题考查分式方程的应用，熟练掌握增根的意义及产生原因是解题关键．
6．D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
【详解】解：分式方程两边同乘以（x－4）得：，
分式方程有增根，
，即，
把代入整式方程得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的增根问题，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
7．C
【分析】先解分式方程，得出，根据关于的分式方程的解是正数，得出，再根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：关于的分式方程的解为：，
∵关于的分式方程的解是正数，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴的取值范围是且，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是解出关于x的方程，注意方程的解．
8．D
【分析】先求出分式方程的解，再根据解是整数，得到，最后根据分母不为0，得到，即可得到k的取值范围．
【详解】解：方程两边同时乘以，得：，
，
分式方程的解是正数，
，
，
，，
且，
，
且，
故选：D．
【点睛】本题考查分式方程的解，正确表示分式方程的解是求解本题的关键．
9．B
【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是正数得，由，计算可得答案．
【详解】解：，
去分母得：，
解得，
∵分式方程的解是正数，
∴即，
得，
∵，
∴，得，
∴且，
故选：B．
【点睛】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．
10．D
【分析】先把方程化成整式方程，再确定分式无解的x的值，把值代入整式方程确定待求字母的值即可．
【详解】∵ ，
∴
方程两边同时乘以（x-2）（x+2），得
x+2+x+m=3(x-2)，
整理，得x=m+8，
∵ 当x+2=0或x-2=0时，分式是无意义的，
故当x=-2时，-2= m+8，解得m=-10；
当x=2时，2= m+8，解得m=-6；
故m=-6或-10，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的无解问题，灵活计算求解是解题的关键．
11．D
【分析】根据分式方程无解，可得关于m的方程，根据解方程，求出m的值即可得答案．
【详解】解：
方程两边都乘以（x-2）（x-6），得，mx+2（x-6）=3（x-2），
解得x=．
因为方程无解，
所以m-1=0或，
解得m=1或4或2
所以，所有符合条件的m值的和为1+4+2=7
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，把分式方程的解代入整式方程是解题关键．
12．D
【分析】根据分式方程无解来进行求解．
【详解】解：将原分式方程去分母得
，
∴，
当时，
∴．
∵该分式方程无解，
∴将−6代入中得
，
解得，
当时，
∴，此时分式方程无解，符合题意，
综上所述，或时，关于x的方程﹣1＝无解．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解法和无解的条件，理解分式方程无解的条件是解答关键．
13．(1)
(2)无解
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘，
得，
解方程，得，
经检验，是原方程的根；
（2）方程两边同乘以，
得，
解方程，得，
经检验，是原方程的增根，原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
14．(1)
(2)无解
【分析】（1）方程两边都乘得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）解：方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．一定要注意解分式方程必须检验．
15．(1)；
(2)方程无解；
【分析】（1）先移项，再将分母变相同，再将同分母分式相加，再给等号两边同时乘以1－x，再移项，最后系数化1，最后将结果代入原方程中进行检验即可；
（2）先逆用平方差公式，将变形为，再给等式两边同时乘以，再去括号，移项合，并同类项，系数化1，再将结果代入原方程中，如果使得原分式方程的分母为零，则方程无解．
【详解】（1）解：
两边同时乘以1－x：
，
经检验，是原方程的解；
（2）解：
两边同时乘以得：
，
∵分母不能为0，则，，
∴，
∴方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，平方差公式的逆用，能够熟练掌握解分式方程的方法是解决本题的关键．
16．D
【分析】根据题意可得线路1平均车速为，进而列出方程即可．
【详解】解：由题意得，线路2的平均车速为，则线路1平均车速为，
∴根据题意可列，
故选D．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
17．C
【分析】设原计划速度为x千米/小时，根据“一运送物资车开往距离出发地180千米的目的地”，则原计划的时间为：，根据“出发第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶”，则实际的时间为：，根据“实际比原计划提前40分钟到达目的地”，列出关于x的分式方程，即可得到答案．
【详解】解：设原计划速度为x千米/小时，
根据题意得：
原计划的时间为：，
实际的时间为：，
∵实际比原计划提前40分钟到达目的地，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系，列出分式方程是解题的关键．
18．D
【分析】设甲班每天植树x棵，则乙班每天植树（x-5）棵，根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲班植80棵树所用时间与乙班植70棵树所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：设甲班每天植x棵，
则乙班每天植树（x-5）棵，
那么甲班植80棵树所用的天数应该表示为：，
乙班植70棵树所用的天数应该表示为：，
所列方程为：．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
19．采样点采集的样本不会失效
【分析】根据采样点送检车的平均速度是采样点送检车的平均速度倍，设采样点送检车的平均速度是，则采样点送检车的平均速度为，根据、两个采样点送检车行驶的时间之和为小时，由此可算出采样点送检车的平均速度，采样点送检车的平均速度，最后根据路程与速度关系算出时间，由此即可求解．
【详解】解：设采样点送检车的平均速度是，则采样点送检车的平均速度为，
依题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，即采样点送检车的平均速度是，采样点送检车的平均速度为，
∴采样点送检车的行驶时间为．
∵，
∴采样点采集的样本不会失效．
【点睛】本题主要考查路程问题，理解采样点送检车的平均速度与采样点送检车的平均速度，、两个采样点送检车行驶的时间关系，求出各自的速度和时间是解题的关键．
20．商场两次共购进200件服装，两笔生意中商场共盈利13200元
【分析】设商场第一次购进x件服装，则第二次购进件服装，根据第二次购进的单价第一次购进的单价列方程求解即可，根据销售这两批服装的总收入总成本所获利润，即可得到答案．
【详解】解：设商场第一次购进x件服装，则第二次购进件服装，
根据题意得，，
解得，，
经检验是原分式方程的解，
∴第一次购进50件服装，第二次购进150件服装，
∴总共购进200件服装，
根据题意得，商场得盈利为：（元），
答：商场两次共购进200件服装，两笔生意中商场共盈利13200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．
21．(1)A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱
(2)该工厂共有6种生产方案
【分析】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为元/箱，利用数量＝总价÷单价，结合用6000元生产A种防疫用品的箱数与用4500元生产B种防疫用品的箱数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出B种防疫用品的成本，再将其代入中即可求出A种防疫用品的成本；
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产箱A种防疫用品，根据“该工厂计划用不超过90000元同时生产A和B两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出该工厂共有6种生产方案；
【详解】（1）设B种防疫用品的成本为x元/箱，则A种防疫用品的成本为元/箱，
依题意得：，
解得：，
经检验，x＝1500是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：A种防疫用品的成本为2000元/箱，B种防疫用品的成本为1500元/箱．
（2）设生产m箱B种防疫用品，则生产箱A种防疫用品，
依题意得：，
解得：．
又∵m为整数，
∴m可以为20，21，22，23，24，25，
∴该工厂共有6种生产方案．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系．
22．D
【分析】根据题意列出关于x的方程，结合绝对值的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，且，
∴，且，
∴且，
故选D
【点睛】本题考查的是解分式方程，在解答时要从已知条件和所求问题的特点出发，通过适当的变形、转化，才能解决问题
23．B
【分析】设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为元，根据“花费元采购款在A商家购买课桌的数量与花费元采购款在商家购买课桌的数量一样多，”列方程即可．
【详解】解：设A商家每张餐桌的售价为x元，则B商家每张餐桌的售价为元，
根据题意列方程得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
故选B．
【点睛】本题考查分式方程的应用，找准题干中的数量关系并准确建立方程是解题关键．
24．B
【分析】由“甲队单独施工1个月完成了总工程的三分之一”知甲的工作效率为，设乙的工作效率为，根据甲的工作效率+乙的工作效率，由此可列方程．
【详解】解：设乙队如果单独施工x个月能完成总工程．
依题意列方程：．
解方程得：．
经检验：是原分式方程的解．
答：乙队单独施工1个月可以完成总工程，所以乙队的施工进度快．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25．B
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：两边同乘，
得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故选：B．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根．
26．D
【分析】根据解分式方程的一般步骤得出，再由解为非负数，得出，然后确定a的取值，求和即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
∴a的值为，
∵分式方程中，即，
∴，
∴a的值为
其和为：，
故选：D．
【点睛】题目主要考查解分式方程的一般步骤及不等式的应用，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题关键．
27．C
【分析】通过取分母把分式方程化为整式方程，用含m的式子表示x，进而即可求解．
【详解】解：，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
的系数化为，得．
关于的方程有解，
．
且．
故选：C．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握去分母，把分式方程化为整式方程是关键．
28．C
【分析】把分式方程化为整式方程后，把代入，即可求得结果．
【详解】方程两边同时乘以得：，
把代入得：，
解得：
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，理解分式方程增根的定义是解决问题的关键．
29．(1)无解
(2)3
【分析】（1）解分式方程的方法：去分母化为一元一次方程，解一元一次方程求解，最后检验是否使分式方程的最简公分母为0；
（2）解分式方程的方法：去分母化为一元一次方程，解一元一次方程求解，最后检验是否使分式方程的最简公分母为0；
【详解】（1）解：，
，
，
，
经检验不是原方程的解，
所以原方程的解无解；
（2），
，
，
，
经检验是原方程的解，
所以原方程的解为：．
【点睛】本题考察分式方程的解法，解题时注意要检验．
30．D
【分析】方程两边同时乘以进行化简即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得：；
故选D．
【点睛】本题考查分式方程去分母．在去分母的时候，注意常数项不要漏乘．
31．嘉嘉同学获胜，嘉嘉比淇淇少秒
【分析】设淇淇的平均速度为米/秒，根据题意列出分式方程，解方程即可求解．
【详解】解：设淇淇的平均速度为米/秒．根据题意，可得
解之，得．
经检验，是方程的根，且符合题意．
则淇淇跑完全程用时秒，嘉嘉跑完全程用时秒．
因为，所以嘉嘉同学获胜；
两人跑完全程的时间，嘉嘉比淇淇少秒．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解题的关键．
32．A
【分析】根据条件，，，…，，求出，，，由此得出．根据=，化简++++…+=+，再解方程=即可求出n的值．
【详解】解：∵，，，…，，
∴，，，…
∴．
∴=＝，
∵++++…+=++…，
∵ ，
∴=，
解得：n=97．
经检验，n＝97是分式方程的解，
即n的值为97．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出．
33．D
【分析】根据分式方程以及题意，求解即可．
【详解】解：由题意可得，实际每天修路x米，x−50表示计划每天修路的长，则实际每天比原计划多修50米的路，
表示计划工期，表示实际工期
则表示实际工期比计划工期少10天，即结果提前10天完成，
故选：D
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解分式方程中每个式子的含义是解题的关键．
34．A
【分析】当时，，即可得①不正确；根据不等式的性质，即可得②正确；根据分式的值为零的条件即可判断③；根据分式方程的增根即可得m的值，即可判断④；综上，即可得．
【详解】解：∵当时，，故①不正确；
∵，
∴，
∴，故②正确；
由题意得，
解得，
∴当时，分式的值为，故③不正确；
∵方程有增根，
∴，
解得，故④正确．
综上，正确的结论有个：②④．
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的性质，分式值为0的条件，分式方程的增根，解题的关键是掌握这些知识点并认真计算，属于中档题．
35．C
【分析】先解分式方程，用含有a的代数式表示方程的解，再根据解为非负数求出a的范围，然后根据不等式组的解集求出a的范围，进而得出答案．
【详解】解:，
解得，且，
∵原方程得解为非负数，
∴，且，
解得，且．
解不等式组，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴，
∵使关于y的不等式组的解集为，
∴
解得，
所以，且．
可知
则．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，不等式组的解集，及如何解分式方程，解不等式组，注意：解分式方程时分式的分母不等于0．
36．
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，最后再代入整式方程求出k的值即可．
【详解】解：
去分母，得：．
由分式方程有增根，得到，
解得：．
把代入整式方程，得：
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式方程的增根．解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
37．
【分析】由甲、乙两人速度之间的关系可得出已的速度为每小时，利用时间＝路程÷速度，结合甲比乙提前到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵甲的速度是乙的速度的倍，且甲的速度为每小时，
∴乙的速度为每小时．
依题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
38．
【分析】把方程，化为，即可得出最简公分母．
【详解】解：∵，
∴
∴最简公分母是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解分式方程，最简公分母，通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，这是解题的关键．
39．且
【分析】先解分式方程可得，再根据分式方程的解为正数建立不等式组即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
整理得：，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴，
解得：且．
故答案为：且．
【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．
40．
【分析】先将分式方程化为整式方程，得到，根据x为正数，分式方程有解，得到且；解两个不等式分别得到，，根据一元一次不等式组有解，推出；综合推出a的取值范围，且，即可得到a的整数解，求和即得．
【详解】解：，
两边同时乘以（)，
，
，
由于该分式方程的解为正数，
∴，其中，，
∴，且；
∵关于y的元一次不等式组有解，
由①得：，
由②得：，
∴，
∴，
综上可得：，且，
∴满足条件的所有整数a为：，，0，1，
∴它们的和为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了含字母系数的分式方程和含字母系数的一元一次不等式组等，解决问题的关键是熟练掌握分式方程的解的概念，解分式方程，一元一次不等式组有解的情形，解一元一次不等式组， 确定分式方程的解时，注意分式方程不产生增根的情形．
41．
【分析】设一盒礼盒中南瓜酥的数量为盒，礼盒中榴莲酥为盒，分析列表如下：
再利用，，各一盒中榴莲酥的总数量之和与南瓜酥的总数量之和的比为建立方程可得，结合为正整数，可得，设榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥的单价分别为每盒：元，元，元，可得，再求解，从而可得答案．
【详解】解：设一盒礼盒中南瓜酥的数量为盒，礼盒中榴莲酥为盒，则
，
解得：，即，
∵为正整数，
∴，经检验符合题意；
设榴莲酥，蛋黄酥和南瓜酥的单价分别为每盒：元，元，元，
∴，即，
由②得：
②①得：，即，
∴一盒礼盒的成本为



（元）．
故答案为：
【点睛】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，三元一次方程组，分式方程的应用，熟练的设出需要的未知数，确定相等关系建立方程组是解本题的关键．
42．(1)
(2)原方程无解
【分析】（1）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案；
（2）首先找出分式方程的最简公分母，进而去分母求出即可，再检验得出答案．
【详解】（1）去分母：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为；
（2）去分母：，
解得：，
经检验：是增根，舍去，
∴原方程无解．
【点睛】此题主要考查了解分式方程，正确找出最简公分母是解题关键，注意分式方程最后要检验，避免出现增根．
43．且
【分析】先解分式方程得到解为，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，
∴，解得：，
又分式方程的分母不为0，
∴且，解得：且，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【点睛】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
44．6天
【分析】设规定的期限是天，根据题意，列方程求解即可．
【详解】解：设规定的期限是天，甲工程队每天施工，乙工程队每天施工，
由题意可得：
化简可得：
解得
经检验，是原分式方程的根，
答：规定的期限是天．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出分式方程．
45．(1)第一次每支圆珠笔的进价是4元；
(2)每支圆珠笔售价至少是6元．
【分析】（1）设第一次每支圆珠笔的进价是x元，则第二次每支圆珠笔的进价是元，根据两次购进圆珠笔的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量总价单价可求出第一次购进圆珠笔的数量，进而可得出第二次购进圆珠笔的数量，设每支圆珠笔售价为y元，根据两次购进的圆珠笔全部销售完毕后获利不低于450元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设第一次每支圆珠笔的进价是x元，则第二次每支圆珠笔的进价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：第一次每支圆珠笔的进价是4元；
（2）解：第一次购进圆珠笔的数量为（支），
∴第二次购进圆珠笔150支．
设每支圆珠笔售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每支圆珠笔售价至少是6元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
46．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可得顺流航行速度为，逆流航行速度为，进而得出答案；
（2）根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行所用时间 = 以最大航速逆流航行所用时间，根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得顺流航行的速度为，逆流航行的速度为，所用时间（h）分别为：，；
（2）解：根据题意，得．
解得．
经检验，是原分式方程的解．
答：江水的流速为．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确理解题意，表示出顺流航行速度和逆流航行速度，找出题目中等量关系，然后列出分式方程．
47．(1)，
(2)补全图形见解析，5
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，根据轴对称的性质可得∠NAC=∠CAP，∠PAB=∠MAB，∠ABP=∠ABM，然后结合图形即可即可；
（2）先根据轴对称图形的特点补全图形；再根据轴对称的性质可得PB=BM，PC=CN，设，则或，，利用和线段的和差列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，分别为点关于直线，的对称点，
，，，
，
．
故答案为，．
（2）解：补全图形如图所示．
存在点P，使得．
设，则或，
，
或，
或5．
经检验或5为方程的解，
∵线段不可能为负
．
榴莲酥
南瓜酥
蛋黄酥
A
6
3
9
B



C