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人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称优秀复习练习题
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这是一份人教版（2024）八年级上册13.1.1 轴对称优秀复习练习题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2024·广东珠海·三模）下列安全指示牌分别代表“禁止攀爬”“禁止高空抛物”“注意安全”“注意摔滑”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
4．（22-23七年级下·江苏·周测）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 ( )
A．B．C．D．
5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
7．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：
①是等边三角形； ②；
③的周长等于线段的长； ④；
正确的个数为：
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2024·安徽合肥·二模）已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（ ）
A．B．C．D．4
9．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是 ．
12．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图将一张长方形纸条沿翻折，点C、D分别折叠至点、，交于点G，若，则的度数为 ．
13．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．
14．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ．
15．（2021·广东清远·一模）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是 ．
16．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，D在下方且，平分交的延长线于E，连接 ，则与的数量关系式为 ．
17．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，且它们关于直线l对称，交直线l于点P，连接，以下结论：
①连接，则；
②是等腰三角形；
③；
④C，P，D三点共线．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
18．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角中，点O为和的角平分线交点，过点O作一条直线l，交线段，分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为，连接，，分别交线段于点E，点F．连接，．若，那么的度数为 （用含有m的代数式表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．（8分）（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
21．（10分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
(1)连接，若求的周长；
(2)若，求的度数．
22．（10分）（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数．
（2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数．
23．（10分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，平分．
(1)①若，，则________度；
②判断，，三者之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，若M是边上的一点，将，折叠，使点B，C的对应点，落在线段的延长线上，折痕分别为，．当M与D重合时，则；当M与E重合时，则．求的度数．
24．（12分）（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；
(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．
求证：；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴符合题意；
∵不是轴对称图形，，
∴不符合题意；
故选C．
2．C
【分析】作点A关于的对称点，过点作，交于点D，则是线段的垂直平分线，根据角平分线的性质得，，从而可得的最小值是的值，证明，可得，利用面积公式求解即可．
【详解】解：作点A关于的对称点，过点作，交于点D，
则是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即的最小值是的值，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：和关于直线对称，
∴，故①正确，
和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，
∴，故②正确；
和关于直线对称，
线段、、被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
4．B
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解．
【详解】解：如图：
由反射规律可知：，，，
又∵
∴，
即
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用．
5．B
【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，平行线的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，邻补角，平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，即，由折叠的性质可知，，可求，，由折叠的性质可知，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
由折叠的性质可知，，
解得，，，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，即，
解得，，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案．
【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧，
，
分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，
，且，，
，
，
，
，
，
，
．
故选D．
7．C
【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出所以，再求解即可判断④．
【详解】解：关于，的对称点分别是点，点，
故②正确，
，的大小没有确定，
的大小没有确定，
不一定是等边三角形，
故①错误，
关于，的对称点分别是点，点，
为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，
的周长，
故③正确，
如图，设与交于点E，与交于点F，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是运用排除法进行解题．连接，由轴对称的性质可得，，在中，可有，即，结合均为定值，可知当与重合时，取最小值，此时，结合题意可得，然后根据三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：如下图，连接，
∵，点是关于直线的对称点，
∴，，
在中，可有，即，
∵均为定值，
∴当与重合时，取最小值，此时，
∵的最小值是2，即有，
∴，
如下图，
∵为锐角，
∴为钝角，
∴，即，
∵，
∴选项A错误，不符合题意；
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴选项C、D错误，不符合题意．
综上所述，选项B符合题意．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长的周长，即可得结论．
【详解】解： 以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D，
是的中垂线，
，
，
的周长，
故选：A．
10．D
【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，先求出，再证明得到，利用三角形三边的关系得到，再证明，得到垂直平分，则，即可得到．
【详解】解；如图所示，延长到H，使得，连接，
∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵、分别是、的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．/54度
【分析】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质可得，，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由轴对称的性质得，，，
∴，
故答案为：．
12．/55度
【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据折叠可知：，，求出，根据平行线的性质求出，再根据折叠的性质得出，即可得结论．
【详解】解：根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．/厘米
【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：由画图可知：
是的垂直平分线，
，，
的周长为，即，
，
的周长为，即，
，
故答案为：．
14．/46度
【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案．
【详解】解：连接，过E作于R，交于Q，
∵是线段的中垂线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
15．
【分析】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．
【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，
∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，
∴2∠AOB+∠GDF=180°，
故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．
【分析】先设与交于点，连接，与交于点，连接，接着求出垂直平分，然后证明，最后根据四边形内角和等于，即求出与的数量关系．
【详解】如图，
设与交于点，连接，与交于点，连接，
平分，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，
在四边形中，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】主要考查了对垂直平分线的应用，四边形内角和以及三角形全等证明，解决这类题目的方法是要多做，特别是要学会添加辅助线．
17．①③④
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，中垂线的性质，三点共线的证明，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，分别交直线于，利用轴对称性，可得，即可证，故①正确；根据已知条件无法判定是等腰三角形，故结论②不正确；利用轴对称性和中垂线性质，可证明，故，结论③正确；通过证明为平角，即可证明C，P，D三点共线，结论④正确．
【详解】解：① 连接，分别交直线于如图，
，关于直线l对称，
，，
，，
，
，故①正确；
② 根据已知条件，无法判定是等腰三角形，故②不正确；
③ 点关于直线l对称，点关于直线l对称，
直线l是线段垂直平分线，
，，
又，
，
，
，故③正确；
④ ，
，
又 ，
，
C，P，D三点共线，故结论④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
18．
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，
过点O作，，，，，根据角平分线的性质定理得到，然后证明出，得到，，然后求出，然后根据对称的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点O作，，，，
∵点O为和的角平分线交点，
∴
∵点B关于直线l的对称点为，
∴平分，平分
∴，
∴
∵，
∴
∴
同理可得，
∴
∵点B关于直线l的对称点为，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，由平行线的性质可得，最后利用“”即可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，推出，再由线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
21．(1)12cm
(2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式．
（1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为．
（2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到．
【详解】（1）如图，∵点P与点M关于对称，
∴，
∵点P与点N关于对称，
∴，
∵，
∴的周长为．
（2）解：∵点P与点M 关于对称，
∴，
即，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴．
22．（1）（2）
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题：
（1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果；
（2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果；
准确找到角度之间的关系是解题的关键．
【详解】解：（1）设，则，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
则；
（2）设，
在中，，
在中，，
①+②得：，
∴．
23．(1)①35；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先求解，再利用三角形的内角和定理可得答案；②分别求解，，再利用角的和差关系可得答案；
（2）由题意得，，，如图，当M与D重合时，，证明；如图，当M与E重合时，平分，证明．再建立方程组解题即可；
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵平分，
，
∵，
∵，
，
，
（2）解：由题意得，，，
如图，当M与D重合时，，
∴，，
又∵，，
∴
，
∴；
如图，当M与E重合时，平分，
∴，
又∵，，
∴
，
∴．
联立,
解得：．
【点拨】本题考查的是与三角形的角平分线相关的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的高的含义，二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解题意是解本题的关键.
24．(1)
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3，
同（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
，
即，．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键．
1．（2024·广东珠海·三模）下列安全指示牌分别代表“禁止攀爬”“禁止高空抛物”“注意安全”“注意摔滑”，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，的面积是6，，，D，E分别是，上的动点，连接，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
4．（22-23七年级下·江苏·周测）光线以如图所示的角度照射到平面镜工上，然后在平面镜，之间来回反射．若，，则等于 ( )
A．B．C．D．
5．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠（如图）．折痕分别为，，若，且，则为（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧，与交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D．若，，则的度数为( )
A．B．C．D．
7．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：
①是等边三角形； ②；
③的周长等于线段的长； ④；
正确的个数为：
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（2024·安徽合肥·二模）已知，如图中，，点在上，点是关于直线的对称点，连接，当的最小值是2时，的长是（ ）
A．B．C．D．4
9．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，，，，分别以A、B为圆心，两弧分别交于E、F，直线交于点D，则的周长等于（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．（23-24八年级上·广东广州·期末）如图，在中，点为的中点，、分别是、的角平分线，分别交、于点、，且，，，连接，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是 ．
12．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图将一张长方形纸条沿翻折，点C、D分别折叠至点、，交于点G，若，则的度数为 ．
13．（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）如图，的周长为，分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线与边交于点F，与边交于点G，连接，的周长为，则的长为 ．
14．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ．
15．（2021·广东清远·一模）如图，点D是锐角内一点，于点E，点F是线段的一个动点，点G是射线的一个动点，连接、、，当的周长最小时，与的数量关系式是 ．
16．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）如图，中，D在下方且，平分交的延长线于E，连接 ，则与的数量关系式为 ．
17．（23-24七年级下·福建漳州·期末）如图，已知，且它们关于直线l对称，交直线l于点P，连接，以下结论：
①连接，则；
②是等腰三角形；
③；
④C，P，D三点共线．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
18．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在锐角中，点O为和的角平分线交点，过点O作一条直线l，交线段，分别于点N，点M．点B关于直线l的对称点为，连接，，分别交线段于点E，点F．连接，．若，那么的度数为 （用含有m的代数式表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在四边形中，，，，点在的延长线上，连接交于点，连接，且垂直平分．
(1)求证：；
(2)求的长．
20．（8分）（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点P．
(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；
(2)已知，求的度数．
21．（10分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，点P在四边形的内部，且点P与点M关于对称，交于点G，点P与点N关于对称，交于点H，分别交于点．
(1)连接，若求的周长；
(2)若，求的度数．
22．（10分）（23-24八年级上·重庆渝北·期中）（1）如图1，在中，，边上的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，求的度数．
（2）如图2，中，、的三等分线交于点E、D，若，，求的度数．
23．（10分）（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，，，平分．
(1)①若，，则________度；
②判断，，三者之间的数量关系，并证明；
(2)如图2，若M是边上的一点，将，折叠，使点B，C的对应点，落在线段的延长线上，折痕分别为，．当M与D重合时，则；当M与E重合时，则．求的度数．
24．（12分）（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．
(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；
(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．
求证：；
(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．
参考答案：
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义判断选择即可．本题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合；熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵不是轴对称图形，
∴不符合题意；
∵ 是轴对称图形，
∴符合题意；
∵不是轴对称图形，，
∴不符合题意；
故选C．
2．C
【分析】作点A关于的对称点，过点作，交于点D，则是线段的垂直平分线，根据角平分线的性质得，，从而可得的最小值是的值，证明，可得，利用面积公式求解即可．
【详解】解：作点A关于的对称点，过点作，交于点D，
则是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，即的最小值是的值，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故选：C．
【点拨】本题考查轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．
根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可．
【详解】解：和关于直线对称，
∴，故①正确，
和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点，
∴，故②正确；
和关于直线对称，
线段、、被直线垂直平分，
直线垂直平分，故③正确；
和关于直线对称，
线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误，
∴正确的有①②③，
故选：A．
4．B
【分析】根据入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角将已知转化到三角形中，利用三角形的内角和是求解．
【详解】解：如图：
由反射规律可知：，，，
又∵
∴，
即
．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，掌握入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角是解题关键，注意隐含的的关系的使用．
5．B
【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，平行线的性质等知识．熟练掌握折叠的性质，邻补角，平行线的性质是解题的关键．
由题意知，，即，由折叠的性质可知，，可求，，由折叠的性质可知，，由，可得，即，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
由折叠的性质可知，，
解得，，，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴，即，
解得，，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，线段垂直平分线的性质定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．由作法可知，，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，可得，，又因为，根据直角三角形两锐角互余，可求得，即，再求出的度数，即得答案．
【详解】以点A为圆心，的长为半径作弧，
，
分别以点E和点C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，
，且，，
，
，
，
，
，
，
．
故选D．
7．C
【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质，利用了转化的思想，熟练掌握线段垂直平分线性质是解本题的关键．由题意得从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出所以，再求解即可判断④．
【详解】解：关于，的对称点分别是点，点，
故②正确，
，的大小没有确定，
的大小没有确定，
不一定是等边三角形，
故①错误，
关于，的对称点分别是点，点，
为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，
的周长，
故③正确，
如图，设与交于点E，与交于点F，
由题意得，
，
，
，
，
，
，
故④正确，
故选：C．
8．B
【分析】本题主要考查了轴对称的性质、三角形三边关系等知识，解题关键是运用排除法进行解题．连接，由轴对称的性质可得，，在中，可有，即，结合均为定值，可知当与重合时，取最小值，此时，结合题意可得，然后根据三角形三边关系确定的取值范围，即可获得答案．
【详解】解：如下图，连接，
∵，点是关于直线的对称点，
∴，，
在中，可有，即，
∵均为定值，
∴当与重合时，取最小值，此时，
∵的最小值是2，即有，
∴，
如下图，
∵为锐角，
∴为钝角，
∴，即，
∵，
∴选项A错误，不符合题意；
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴选项C、D错误，不符合题意．
综上所述，选项B符合题意．
故选：B．
9．A
【分析】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，推出的周长的周长，即可得结论．
【详解】解： 以为圆心，两弧分别交于，直线交于点D，
是的中垂线，
，
，
的周长，
故选：A．
10．D
【分析】如图所示，延长到H，使得，连接，先求出，再证明得到，利用三角形三边的关系得到，再证明，得到垂直平分，则，即可得到．
【详解】解；如图所示，延长到H，使得，连接，
∵，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∵、分别是、的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11．/54度
【分析】本题考查轴对称的性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质可得，，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由轴对称的性质得，，，
∴，
故答案为：．
12．/55度
【分析】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）．正确观察图形，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据折叠可知：，，求出，根据平行线的性质求出，再根据折叠的性质得出，即可得结论．
【详解】解：根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∵四边形是长方形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．/厘米
【分析】本题考查了作图基本作图、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质即可求解．
【详解】解：由画图可知：
是的垂直平分线，
，，
的周长为，即，
，
的周长为，即，
，
故答案为：．
14．/46度
【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案．
【详解】解：连接，过E作于R，交于Q，
∵是线段的中垂线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
15．
【分析】作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，根据轴对称的性质得出△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，即可得出∠BOD=∠BOD′，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠ODF′，由∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠ODF′+∠ODG″根据三角形内角和定理即可得出2∠AOB+∠GDF=180°．
【详解】解：作D关于OA的对称点D′，作D关于OB的对称得D″，连接D′D″，交OA、OB于F、G，此时△DFG的周长最小，最小值为D′D″，连OD、OD′、OD″，
由轴对称的性质可知，△GOD≌△GOD″，△FOD≌△FOD′，
∴∠BOD=∠BOD″，∠ODG=∠OD″G，∠DOA=∠AOD′，∠ODF=∠OD′F，
∴∠D′OD″=2∠AOB，∠GDF=∠OD′F+∠OD″G，
∵∠D′OD″+∠OD′F+∠OD″G=180°，
∴2∠AOB+∠GDF=180°，
故答案为2∠AOB+∠GDF=180°．
【点拨】本题考查了轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
16．
【分析】先设与交于点，连接，与交于点，连接，接着求出垂直平分，然后证明，最后根据四边形内角和等于，即求出与的数量关系．
【详解】如图，
设与交于点，连接，与交于点，连接，
平分，
，
在与中，
，
，
，，
，
，
垂直平分，
，，
，，
，
，
，
在四边形中，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】主要考查了对垂直平分线的应用，四边形内角和以及三角形全等证明，解决这类题目的方法是要多做，特别是要学会添加辅助线．
17．①③④
【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定和性质，平行线的判定，中垂线的性质，三点共线的证明，熟练掌握相关性质是解题的关键．连接，分别交直线于，利用轴对称性，可得，即可证，故①正确；根据已知条件无法判定是等腰三角形，故结论②不正确；利用轴对称性和中垂线性质，可证明，故，结论③正确；通过证明为平角，即可证明C，P，D三点共线，结论④正确．
【详解】解：① 连接，分别交直线于如图，
，关于直线l对称，
，，
，，
，
，故①正确；
② 根据已知条件，无法判定是等腰三角形，故②不正确；
③ 点关于直线l对称，点关于直线l对称，
直线l是线段垂直平分线，
，，
又，
，
，
，故③正确；
④ ，
，
又 ，
，
C，P，D三点共线，故结论④正确；
综上所述，结论正确的是①③④．
故答案为：①③④．
18．
【分析】此题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，轴对称性质等知识，
过点O作，，，，，根据角平分线的性质定理得到，然后证明出，得到，，然后求出，然后根据对称的性质得到，进而求解即可．
【详解】如图所示，过点O作，，，，
∵点O为和的角平分线交点，
∴
∵点B关于直线l的对称点为，
∴平分，平分
∴，
∴
∵，
∴
∴
同理可得，
∴
∵点B关于直线l的对称点为，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，由平行线的性质可得，最后利用“”即可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，推出，再由线段垂直平分线的性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（1）可得，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了线段垂直平分线的判定和性质，三角形内角和定理和四边形内角和，熟练掌握各个知识点是解题的关键．
（1）连接、，根据线段垂直平分线的性质和判定即可；
（2）由线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理和四边形内角和定理进行求解．
【详解】（1）证明：连接、，
垂直平分，垂直平分，
，，
点P在线段的垂直平分线上；
（2）解：垂直平分，垂直平分，
，，，
，，
在中，，，
，
即，，
在四边形中，，
21．(1)12cm
(2)134°
【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n边形内角和公式．
（1）根据轴对称性质得到，， ，得到的周长等于线段的长度，为．
（2）根据轴对称性质得到，，，，，根据四边形内角和为与，得到，根据五边形内角和为，得到．
【详解】（1）如图，∵点P与点M关于对称，
∴，
∵点P与点N关于对称，
∴，
∵，
∴的周长为．
（2）解：∵点P与点M 关于对称，
∴，
即，
∵点P 与点N 关于 对称，
∴，
即，
∵，，
∴，
∵，
∴．
22．（1）（2）
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题：
（1）先根据比例设出来角度，根据线段垂直平分线的性质得到两个角度相等，再结合三角形内角和定理可得到结果；
（2）根据三等分点设出角度，根据三角形内角和定理列得二元一次方程，再根据代数式可得到结果；
准确找到角度之间的关系是解题的关键．
【详解】解：（1）设，则，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
则；
（2）设，
在中，，
在中，，
①+②得：，
∴．
23．(1)①35；②，理由见解析
(2)
【分析】（1）①先求解，再利用三角形的内角和定理可得答案；②分别求解，，再利用角的和差关系可得答案；
（2）由题意得，，，如图，当M与D重合时，，证明；如图，当M与E重合时，平分，证明．再建立方程组解题即可；
【详解】（1）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
②，理由如下：
∵平分，
，
∵，
∵，
，
，
（2）解：由题意得，，，
如图，当M与D重合时，，
∴，，
又∵，，
∴
，
∴；
如图，当M与E重合时，平分，
∴，
又∵，，
∴
，
∴．
联立,
解得：．
【点拨】本题考查的是与三角形的角平分线相关的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的高的含义，二元一次方程组的解法，轴对称的性质，理解题意是解本题的关键.
24．(1)
(2)见解析
(3)，
【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1，
是边上的中线，
，
在和中，
，
，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
，即，
；
（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2：
同（1）得：，
，
，，
，
在中，由三角形的三边关系得：，
；
（3）解：，，理由如下：
延长至，使，连接，如图3，
同（1）得：，
，，
，
，
即，
，
，
和是等腰直角三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，，
．
延长交于，
，
，
，
，
，
即，．
【点拨】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键．
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