初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形精品练习

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册12.1 全等三角形精品练习，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知点在上，点在上，，且，若，则（ ）

A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·江西南昌·期中）如图，已知，，要使，可添加的条件是（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24八年级下·江西吉安·期末）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
4．（2024·浙江·三模）在中，，，所对的边分别记为a，b，c，则符合下列条件的三角形不能唯一确定的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
5．（23-24八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在等腰中，，为腰上的高线，则图中全等的直角三角形有（ ）
A．4对B．3对C．2对D．1对
6．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．（2022·北京海淀·一模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
8．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，，点D是上，点E在上，，，若，则的长为（ ）
A．B．2C．D．3
9．（2024·辽宁锦州·二模）已知，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出，观察图中的作图痕迹，可以得出的度数为（ ）
A．B．C．D．
10．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知，，为平面内一动点，，为上一点，，上两点，，．下面能表示最小值的线段是（ ）
A．线段B．线段C．线段D．线段
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24八年级上·河南洛阳·期末）已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则等于 ．

12．（16-17八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，中，，为的平分线，，，则 ．
13．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，，于点D，于点E，，若，则 ．

14．（18-19七年级下·四川成都·期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ．
15．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．

16．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，是的外角，，和的平分线相交于点E，连接，则的度数是 ．
17．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图，四边形是等腰梯形，上底，过点作，且，连接．若的面积为，则的长为 ．

18．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，中，，，，点以每秒个单位的速度按的路径运动，点以每秒个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24七年级下·广东深圳·期末）阅读并完成下列推理过程，在括号中填写依据．
如图，点B，D，C在同一直线上，，，，，，求的长．
解：∵(已知)，
∴ ( )．
∴( )．
在和中，
∴( )．
∴ ( )．
∵(已知)，
∴ ．
∵(已知)，
∴．
20．（8分）（2024·云南昆明·三模）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使E与A，C在一条直线上，这时测得的长就是的长．判断以上方法是否可行，如果可行，请证明；如果不可行，请说明理由．
21．（10分）（2024·浙江温州·三模）如图，在中，，点D是边上一点，，且，与交于点G，过点E作交于点F，交于点H．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
22．（10分）（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知于点于点交于点E．
(1)如图1，求证：
(2)如图2，延长交于点F，请直接写出图2中的所有全等三角形．
23．（10分）（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，射线，的夹角为，过点作于点F，直线交于点，连接．
(1)如图1，射线，都在的内部．
①设，则 （用含的式子表示）；
②作点关于直线的对称点，求证：；
(2)如图2，射线在的内部，射线在的外部，其他条件不变，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
24．（12分）（20-21七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，，．点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动．设运动时间为．
(1)如图①，连接、．当时，求t的值；
(2)如图②，当点P开始运动时，点Q同时从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动．当P，Q两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．当与全等时，求a和t的值；
(3)如图③，点Q从点C出发，以的速度沿向点B匀速运动，点M同时从点D出发以的速度沿DA向点A运动，当Q、M两点中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．连接，交于点E．连接，当时，，请求出此时a的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形的内角和定理，根据全等三角形的性质，，，又，，得到，在中根据内角和定理求解，熟练掌握全等三角形的性质及三角形内角和定理，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：，
，，
，
，
，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
，，，
，
故选：C．
2．D
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等．在和中，已知了，，因此只需添加两组对边的夹角或第三对边即可判定两三角形全等．
【详解】解：∵，，
∴A、如添加，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
B、如添加，两三角形只有两边及一边的以角相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
C、如添加，因为，只是中的两个角，两三角形只有两边相等，不能判定两三角形全等，故此选项不符合题意；
D、如添加，则，即，两三角形有两边及其角相等，可根据判定两三角形全等，故此选项符合题意；
故选：D．
【点拨】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
3．B
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
根据，求出，，从而求得，再根据三角形全等证明即可．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了利用全等三角形的判定作图，对于没有不属于全等三角形的判定情况，要根据实际情况作图，是本题解答的关键．根据全等三角形的判定，可判断B选项和C选项不符合题意，对于选项A和选项D，则作以点C为圆心，长为半径作弧，查看该弧与直线的交点情况，即可判断答案．
【详解】A、如图1，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点，连结，则在中， ，，，同样满足题意，所以此三角形不唯一，符合题意；
B、，
a，b，c三线段能作组成三角形，
根据两个三角形“边边边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
C、根据两个三角形“角角边”全等的判定，可知此三角形唯一确定，不符合题意；
D、如图2，在中， ，，，以点C为圆心，长为半径作弧，与直线没有交点，可知此三角形唯一确定，不符合题意．
故选A．
5．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定三角形全等的一般方法有：，全等的三角形有、、，利用全等三角形的判定可证明，结合已知条件与全等三角形的判定方法验证即可．
【详解】解：∵为腰上的高线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵为腰上的高线，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
综上所述，全等的直角三角形有3对，
故选：B．
6．D
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．
将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．
【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，
，，
则，，
，即点D，E，F三点共线，
，
，
即，
在和中
，
，
，
，
五边形的面积为：
，
，
．
故选：D．
7．B
【分析】延长交于，证明，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】解：延长交于，
平分，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：过点作，连接，先证明，得到，求出的长，再证明，得到，进而求出的长即可．
【详解】解：过点作，连接，则：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
9．C
【分析】本题考查了复杂作图掌握三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理，先根据作图得出，平分，再根据三角形的内角和定理、角平分线的性质、及三角形的外角定理求解，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由作图得：，平分，
，
，
，
，
，
故选：Ｃ．
10．B
【分析】连接，根据， ， ， ，证明 ，结合，证明，得到，根据，得到 的最小值为的长．
本题主要考查了全等三角形，线段和的最小值．熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，是解决问题的关键．
【详解】如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为的长．
故选：B．
11．/58度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质等知识．先根据三角形的内角和定理求出，再根据和全等，，得到两个三角形的对应角，问题得解．
【详解】解：如图，

∵，
∴，
∵和全等，，
∴，
∴．
故答案为：
12．
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，角平分线性质等．根据题意在上截取，利用角平分线定义得，再证明继而得到本题答案．
【详解】解：如图，在上截取，
则，
∵为的平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶．
13．/度
【分析】证得，即可求解；
【详解】解：∵，，
∴是直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查三角形的全等证明及性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
14．440．
【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可．
【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示：
则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形，
∴BM＝DM，BN＝AN，
∵AE⊥CD，
∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°，
∴∠EAN＝∠DCM，
在△AEN和△CDM中，
，
∴△AEN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，EN＝DM，
∴BN＝CM，
∴BM＝CN，
∴BM＝DM＝CN＝EN，
∵BE：CE＝5：6，
∴设BE＝5a，
则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a，
∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2，
∵S△BDE＝BE×DM＝×5a×3a＝75，
∴a2＝10，
∴S△ABC＝BC×AN＝×11a ×8a＝44 a2＝440；
故答案为：440．
【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键．
15．．
【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解．
【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，

∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴是的平分线，
又∵，，
∴ ，同理可得，
∴ ，
又∵，，
∴是的平分线，
∵，，
∴，
∵点，是内角与外角的三等分线的交点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质．
16．/48度
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义列式并整理得到，过点E作交延长线于F，作于G，作于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，然后求出，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出是的平分线，再根据角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵和的角平分线相交于点E，
∴，
由三角形的外角性质得，，
，
∴，
∴，
整理得，，
∵，
∴，
过点E作交延长线于F，作于G，作于H，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是的平分线，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质定理与角平分线的判定定理，难点在于作辅助线并判断出是外角的平分线．
17．30
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，等腰梯形的性质等等，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，先根据三角形面积公式求出，证明，得到，再证明，得到，进一步证明，则．
【详解】解：如图所示，过点E作交延长线与F，过点D作于G，过点C作于H，
∵的面积为，，
∴，
∴，
∵四边形是等腰梯形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
故答案为：30．

18．或秒
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：当点在上，点在上，当点在上，点在上，点与重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键．
【详解】（）当点在上，点在上，如图，
则，，，，
∵，
∴，即，
解得：，即运动秒；
（）当点在上，点在上，如图，
则，，
∵，
∴，即，解得此时不符合题意；
（）点与重合在上，如图，
则，，
∴，即，解得：，
∴综上可知：或，
故答案为：或．
19．；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；全等三角形对应边相等；8
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识，联系上下文根据相关定理填空即可，能看到上下条件与结论的逻辑关系是解题的关键．
【详解】解：∵(已知)，
∴(同位角相等，两直线平行)
∴(两直线平行，同位角相等)，
在和中，
∴．
∴(全等三角形对应边相等)．
∵(已知)，
∴，
∵(已知)，
∴．
故答案是：；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；全等三角形对应边相等；8．
20．可行，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的应用，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键．
由垂线的定义可得出，结合，即可证出，利用全等三角形的性质可得出．
【详解】解：可行，，
理由如下：
，
，
在和中，
，
，
．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行线性质，全等三角形判定，垂直的定义，四边形内角和，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）利用平行线性质得到，利用垂直的定义得到，即可证明；
（2）利用平行线性质得到，在利用四边形内角和得到，即可解题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，，
．
22．(1)见解析；
(2)，，．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质， 熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
（1）根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据全等三角形的判定定理即可得到结论.
【详解】（1）证明: 于点, 于点,
，
在与中，
，
，
；
（2）由（1）知,
∴,
∴,
∵,
∴,
在与中,
，
∴,
在与中，
，
∴,
故图中的所有全等三角形有,,.
23．(1)①；②见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质，轴对称的性质是解题的关键．
（1）①根据，可求；②连接，证明，即可得．
（2）作点关于直线的对称点，连接，设，证明，即可得．
【详解】（1）解：①，，
，
，
；
故答案为：；
②证明：如图，连接，
依题意得，与成轴对称，
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
．
；
（2）；
证明：如图，作点关于直线的对称点，连接，
易得，与成轴对称，
，，，
，
，
设，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
24．(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）由“”可证，可得，根据线段的和差求出，据此可求解；
（2）分两种情况讨论，由全等三角形的性质可求解；
（3）由 ，可求的值，由面积和差关系可求，可求的值．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
；
（2）若，
∴，
∵
，
，
∵，
∴，
∴；
若，
∴,
∴,
，
∵，
，
∴；
综上所述:，或 ；
（3）如图③, 连接，过点作于，过点作于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点拨】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．