2024-2025 学年高中数学人教A版必修一专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用（4类必考点）

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专题6.8 正弦定理与余弦定理的应用TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc12542" 【考点一：距离测量问题】  PAGEREF _Toc12542 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc12969" 【考点二：高度测量问题】  PAGEREF _Toc12969 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc15626" 【考点三：角度测量问题】  PAGEREF _Toc15626 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10614" 【考点四：其他应用问题】  PAGEREF _Toc10614 \h 9【考点一：距离测量问题】【知识点：距离测量问题】[方法技巧]处理距离问题的策略(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．　　1．（2024·吉林·二模）如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东 方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（    ）A． B．C． D．2．（2024·山东临沂·一模）在同一平面上有相距14公里的两座炮台，在的正东方.某次演习时，向西偏北方向发射炮弹，则向东偏北方向发射炮弹，其中为锐角，观测回报两炮弹皆命中18公里外的同一目标，接着改向向西偏北方向发射炮弹，弹着点为18公里外的点，则炮台与弹着点的距离为（    ）A．7公里 B．8公里 C．9公里 D．10公里3．（2023高三上·全国·专题练习）已知A船在灯塔C北偏东处，且A到C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西处，A，B两船的距离为3 km，则B到C的距离为 km.4．（2023高三上·全国·专题练习）如图，一架飞机从地飞往地，两地相距.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成角的方向飞行，飞行到地，再沿与原来的飞行方向成角的方向继续飞行到达终点. 则= 5．（2023高三上·全国·专题练习）如图所示，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出的距离是m米，，则A，B两点间的距离为 米.6．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）海边近似平直的海岸线上有两处码头、，且.现有一观光艇由出发，同时在处有一小艇出发向观光艇补充物资，其速度为观光艇的两倍，在处成功拦截观光艇，完成补给.若两船都做匀速直线运动，观光艇行驶向海洋的方向任意的情况下，小艇总可以设定合适的出发角度，使得行驶距离最小，则拦截点距离海岸线的最远距离为 .7．（23-24高三下·北京海淀·开学考试）一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成30角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米.8．（21-22高三上·重庆黔江·阶段练习）马尔代夫群岛是世界上风景最为优美的群岛之一，如图所示，为了测量两座岛之间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东航行2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，船再返回到处后，由向西航行百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则两座岛之间的距离为 百海里. 【考点二：高度测量问题】【知识点：高度测量问题】[方法技巧]求解高度问题应注意的问题(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义．(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．　　1．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在点处的测量觇标高米，攀登者们在处测得，到觇标底点和顶点的仰角分别为，则的高度差约为（    ）A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米2．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树根部在同一水平面的，两点，在点测得红豆树根部在北偏西的方向上，沿正西方向步行40米到处，测得树根部在北偏西的方向上，树梢的仰角为，则红豆树的高度为（    ）A．米 B．米 C．米 D．米3．（2022高三·全国·专题练习）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的俯角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）A． B． C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）李子坝站的“单轨穿楼”是重庆轨道交通的一大特色，吸引众多游客来此打卡拍照.如图所示，李明为了测量李子坝站站台距离地面的高度，采用了如下方法：在观景台的点处测得站台点处的仰角为；沿直线后退米后，在点处测得站台点处的仰角为.已知李明的眼睛距离地面高度为米，则李子坝站站台的高度约为 （精确到小数点后1位）（近似数据：，）.5．（23-24高三上·浙江杭州·期末）位于奥体核心的杭州世纪中心总投资近100亿元，总建筑面积约53万平方米，由两座超高层双子塔和8万平方米商业设施构成，外形为杭州的拼音首字母“H”，被誉为代表新杭州风貌、迎接八方来客的“杭州之门”.如图，为测量杭州世纪中心塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，米，在点C测得塔顶A的仰角为80°，则塔高为 米.（结果保留整数，参考数据：）6．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）瀑布是大自然的奇观，唐代诗人李白曾在《望庐山瀑布》中写到“日照香炉生紫烟，遥看瀑布挂前川.飞流直下三千尺，疑是银河落九天”.某学校高一数学活动小组为了测量瀑布的实际高度，设计了如下测量方案：沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走m，测得瀑布顶端仰角为已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 ．7．（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）某中学研究性学习小组为测量四门通天铜雕高度，在和它底部位于同一水平高度的共线三点A，B，C处测得铜雕顶端P处仰角分别为，，，且，则四门通天铜雕的高度为 m．  8．（23-24高二下·云南·开学考试）如图，为了测量某塔的高度，无人机在与塔底B位于同一水平面的C点测得塔顶A的仰角为45°，无人机沿着仰角α（）的方向靠近塔，飞行了m后到达D点，在D点测得塔顶A的仰角为26°，塔底B的俯角为45°，且A，B，C，D四点在同一平面上，求该塔的高度．（参考数据:取 tan 26°=，cos 56°=）  【考点三：角度测量问题】【知识点：角度测量问题】[方法技巧]解决角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．　　1．（2024高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一水平面上.某人在点处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点处，测得仰角为.则（    ）A． B．3 C． D．2．（2024高一下·重庆·期中）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向3．（多选）（2024高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为nmile；在处看灯塔在货轮的北偏西，距离为nmile．货轮由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则下列说法正确的是（    ）A．处与处之间的距离是B．灯塔与处之间的距离是C．灯塔在处的西偏南D．在灯塔的北偏西4．（2024高三上·广东广州·阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．   5．（2024高三上·山东青岛·期中）公路北侧有一幢楼，高为60米，公路与楼脚底面在同一平面上.某人在点A处测得楼顶的仰角为，他在公路上自西向东行走，行走60米到点B处，测得仰角为，沿该方向再行走60米到点C处，测得仰角为.则 .6．（2024高二上·四川成都·阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小，则的最大值是 .（仰角为直线与平面所成的角）    7．（2024高一下·上海宝山·期中）如图，我边防巡逻艇在处测得，北偏东相距10海里的处，有一艘可疑船只正以每小时12海里的航速沿东南方向驶去．上级指示我艇：匀速航行半小时，在处准时追上目标．  (1)求我边防巡逻艇的航速；(2)求我边防巡逻艇的航向角（即的大小，精确到）．8．（2024高一·全国·课堂例题）一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．  (1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的余弦值是多少？（参考数据：，）【考点四：其他应用问题】【知识点：其他应用问题】1．（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）据气象部门报道某台风影响我国东南沿海一带，测定台风中心位于某市南偏东60°，距离该市400千米的位置，台风中心以40千米/时的速度向正北方向移动，距离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则该市从受到台风影响到影响结束，持续的时间为_________小时．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）如图，某湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台D，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为π3的公路（长度均超过4千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点E，F，且AE=AF=3千米，若要求观景台D与两接送点所成角∠EDF与∠BAC互补且观景台D在EF的右侧，并在观景台D与接送点E，F之间建造两条观光线路DE与DF，则观光线路之和最长是_________（千米）.3．（2023·云南昆明·统考一模）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点A,B,C都在圆周上，角A,B,C的对边分别为a，b，c，满足c=45cm(1)求sinC；(2)若△ABC的面积为8cm2，且a>c，求△ABC的周长4．（2023·全国·高一专题练习）如图，某广场有一块不规则的绿地，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=7m，BC=5m，AC=8m，∠C=∠D．(1)求AB的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低（请说明理由）？较低造价为多少？5．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC，根据规划在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PM=PN=MN=3km．(1)当∠AMN=30°时，求线段AP的长度；(2)问如何设计，使得工厂产生的噪音对居民的影响最小？（即工厂与村庄的距离最远）6．（2023春·全国·高一专题练习）在某海滨城市O东偏南θcosθ=210方向300 km的海面P处有一台风中心，并以40 km/h的速度向西北方向移动，据监测，距离台风中心200 km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变．(1)海滨城市O是否会受到台风影响，说明理由；(2)如果海滨城市O会受到台风影响，持续时间有多长．7．（2022秋·云南·高二云南省下关第一中学校考阶段练习）如图，为方便市民游览市民中心附近的“网红桥”，现准备在河岸一侧建造一个观景台P，已知射线AB，AC为两边夹角为120°的公路（长度均超过3千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客上下点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM=3千米，AN=3千米.(1)求线段MN的长度；(2)若∠MPN=60°，求两条观光线路PM与PN所围成△PMN的面积的最大值.8．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为100米，圆心角为23π，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且PQ∥OA．(1)当Q是OB的中点时，求PQ的长；(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．