2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.4 圆的方程（7类必考点）

这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.4 圆的方程（7类必考点），文件包含专题24圆的方程7类必考点人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题24圆的方程7类必考点人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

专题2.4 圆的方程TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc2548" 【考点1：圆的标准方程】  PAGEREF _Toc2548 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc23432" 【考点2：圆的一般方程】  PAGEREF _Toc23432 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21819" 【考点3：二元二次方程表示圆的条件】  PAGEREF _Toc21819 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc11053" 【考点4：点与圆的位置关系】  PAGEREF _Toc11053 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc198" 【考点5：关于点、直线对称的圆的方程】  PAGEREF _Toc198 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc20022" 【考点6：与圆有关的轨迹问题】  PAGEREF _Toc20022 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc13971" 【考点7：与圆有关的最值问题】  PAGEREF _Toc13971 \h 18【考点1：圆的标准方程】【知识点：圆的标准方程】1．（2023秋·高二课时练习）圆心为−2,3，半径长为2的圆的方程是（    ）A．x−22+y+32=2 B．x+22+y−32=4C．x+22+y−32=2 D．x−22+y+32=4【答案】B【分析】由圆的标准方程可直接得出.【详解】∵圆心为−2,3，半径长为2，∴圆的标准方程为x+22+y−32=4.故选：B.2．（2023秋·高二课时练习）圆心为C1,−5，且经过原点的圆的方程是 .【答案】x−12+y+52=26【分析】求出圆的半径后可得圆的标准方程.【详解】由条件知，r2=12+−52=26，故圆的方程为x−12+y+52=26．故答案为：x−12+y+52=26.3．（2023秋·高二课时练习）与圆(x−2)2+(y+3)2=16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为 【答案】(x−2)2+(y+3)2=20【分析】先求出圆的圆心，再利用两点间的距离公式可求出圆的半径，从而可求出圆的方程.【详解】因为圆(x−2)2+(y+3)2=16的圆心为(2,−3)，所以所求圆的圆心为(2,−3)，所以所求圆的半径为r=(2−0)2+(−3−1)2=25，所以所求圆的方程为(x−2)2+(y+3)2=20，故答案为：(x−2)2+(y+3)2=204．（2023秋·高二课时练习）圆(x+1)2+(y−3)2=a2(a≠0)的圆心为 ，半径长为 .【答案】 (−1,3) |a|【分析】由圆的标准方程即可得解.【详解】由圆的标准方程知，圆心为(−1,3)，半径r=|a|．故答案为：(−1,3),|a|.5．（2023秋·高二课时练习）求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点P5,1，圆心为点C8,−3；(2)经过点P4,2,Q−6,−2，且圆心在y轴上.【答案】(1)x−82+y+32=25(2)x2+y+522=1454【分析】（1）求出CP即圆的半径，再根据圆心坐标，即可得到圆的方程；（2）利用待定系数法即可求解.【详解】（1）圆的半径长为r=|CP|=(5−8)2+(1+3)2=5，圆心为点C8,−3，所以圆的方程为x−82+y+32=25．（2）设所求圆的方程是x2+y−b2=r2，因为点P，Q在所求圆上，依题意得16+(2−b)2=r2,36+(−2−b)2=r2,解得r2=1454,b=−52,所以所求圆的方程是x2+y+522=1454.6．（2023秋·高二课时练习）已知点A1,−2,B−1,4，求(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；(2)过点A，B且圆心在直线2x−y−4=0上的圆的标准方程.【答案】(1)x2+y−12=10(2)x−32+y−22=20【分析】（1）所求的圆，即以AB为直径的圆，求出圆心和半径，可得结果；（2）解法一：求出AB的垂直平分线的方程是x−3y+3=0，又圆心在直线2x−y−4=0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C3,2，r=|AC|=25，可得圆的标准方程；解法二：利用待定系数法求解．【详解】（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小．即AB的中点0,1为圆心，半径r=12|AB|=10，则圆的标准方程为x2+y−12=10．（2）解法一：AB的斜率为k=−3，则AB的垂直平分线的方程是y−1=13x，即x−3y+3=0，由圆心在直线2x−y−4=0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C3,2．r=AC=(1−3)2+(−2−2)2=25．故所求圆的标准方程是x−32+y−22=20．解法二：待定系数法设圆的标准方程为x−a2+y−b2=r2，则(1−a)2+(−2−b)2=r2,(−1−a)2+(4−b)2=r2,2a−b−4=0, ⇒a=3,b=2,r2=20,故所求圆的标准方程为x−32+y−22=20．【考点2：圆的一般方程】【知识点：圆的一般方程】1．（2022秋·高二课时练习）过三点A4,−2,B1,−1,C1,4的圆的一般方程为（    ）A．x2+y2+7x−3y+2=0 B．x2+y2+7x+3y+2=0C．x2+y2−7x+3y+2=0 D．x2+y2−7x−3y+2=0【答案】D【分析】设出圆的一般方程，代入点坐标，计算得到答案.【详解】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，将A，B，C三点的坐标代入方程，整理可得D−E+F=−2D+4E+F=−174D−2E+F=−20，解得D=−7E=−3F=2，故所求的圆的一般方程为x2+y2−7x−3y+2=0，故选：D．2．（2023春·内蒙古·高二校联考期末）“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2−4F>0可得答案.【详解】因为方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0，即x2+y2+ax+3y+5a2=0表示圆，等价于a2+9−10a>0，解得a>9或a<1.故“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的充分不必要条件.故选：A3．（2023·江苏·高二假期作业）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（    ）A．x2+y2−2x−3y=0 B．x2+y2+2x−3y=0C．x2+y2−2x+3y=0 D．x2+y2+2x+3y=0【答案】A【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.【详解】设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2−4F>0)，由题意知,圆过点0,0，2,0和0,3，所以F=04+2D+F=09+3E+F=0，解得D=−2E=−3F=0，所以所求圆的方程为x2+y2−2x−3y=0.故选：A4．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）方程x2+y2+2y+m=0表示一个圆，则m的取值范围是（    ）A．1,+∞ B．−∞,1C．1,+∞ D．−∞,1【答案】B【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.【详解】由x2+y2+2y+m=0，得x2+y+12=1−m>0，解得m<1.故选：B5．（2023·江苏·高二假期作业）已知曲线C:Ax2+By2+Dx+Ey+F=0（    ）A．若A=B=1，则C是圆B．若A=B≠0，D2+E2−4AF>0，则C是圆C．若A=B=0，D2+E2>0，则C是直线D．若A≠0，B=0，则C是直线【答案】BC【分析】根据圆的一般方程对选项一一判断即可.【详解】对于A，当A=B=1时，C:x2+y2+Dx+Ey+F=0，若D2+E2−4F>0，则C是圆；若D2+E2−4F=0，则C是点−D2,−E2；若D2+E2−4F<0，则C不存在.故A错误.对于B，当A=B≠0时，C:Ax2+Ay2+Dx+Ey+F=0，且D2+E2−4AF>0，则C是圆，故B正确.对于C，当A=B=0时，C:Dx+Ey+F=0，且D2+E2>0，则C是直线，故C正确.对于D，当A≠0，B=0时，C:Ax2+Dx+Ey+F=0，若E=0，则C:Ax2+Dx+F=0表示一元二次方程，若E≠0，则C:Ax2+Dx+Ey+F=0表示抛物线，故D错误.故选：BC6．（2023春·上海浦东新·高二统考期末）圆x2+y2−2x+2y+1=0的圆心到直线x+y+1=0的距离是 ．【答案】22【分析】根据圆的方程和点到直线的距离公式求解即可.【详解】x2+y2−2x+2y+1=0，即：x−12+y+12=1，故圆心为：1,−1所以圆心到直线x+y+1=0的距离：d=1−1+12=22.故答案为：227．（2023春·四川成都·高二校联考期末）曲线x2+y2−2x−6y=0所围成平面区域的面积为 ．【答案】10π【分析】由方程得出曲线表示的轨迹是圆，求出半径即可求出面积．【详解】由x2+y2−2x−6y=0得(x−1)2+(y−3)2=10，则曲线表示的是以(1,3)为圆心，10为半径的圆，所以曲线所围成平面区域的面积为：π102=10π，故答案为：10π．8．（2022秋·高二课时练习）圆过点A1,−2、B−1,4，求面积最小的圆的一般方程为 ．【答案】x2+y2−2y−9=0【分析】求出以线段AB为直径的圆的方程，即可得解.【详解】当AB为圆的直径时，过A、B的圆的半径最小，从而面积最小．因为点A1,−2、B−1,4，线段AB的中点为E0,1，AB=1+12+−2−42=210，故所求圆的半径为10，所以，所求圆的方程为x2+y−12=10，即x2+y2−2y−9=0.故答案为：x2+y2−2y−9=0.【考点3：二元二次方程表示圆的条件】【知识点：二元二次方程表示圆的条件】1．（2023春·上海宝山·高二统考期末）若2x2+m2+my2+2mx+m=0表示圆，则实数m的值为 .【答案】−2【分析】依题意可得m2+m=2，解得m，再代入检验.【详解】因为2x2+m2+my2+2mx+m=0表示圆，所以m2+m=2，解得m=1或m=−2，当m=1时方程2x2+2y2+2x+1=0，即x+122+y2=−14，不表示任何图形，故舍去；当m=−2时方程2x2+2y2−4x−2=0，即x−12+y2=2，表示以1,0为圆心，2为半径的圆，符合题意；故答案为：−22．（2023秋·高二课时练习）判断下列二元二次方程是否表示圆，如果是，请求出圆的圆心坐标及半径．(1)x2+y2−4x=0；(2)x2+y2−4ax−23ay+6a2=0；(3)4x2+4y2−4x+12y+11=0．【答案】(1)表示圆，圆心坐标是2,0，半径是2的圆(2)答案见解析(3)方程不表示任何图形．【分析】利用配方法，结合圆的标准方程进行求解.【详解】（1）方程可变形为x−22+y2=4，表示圆心坐标是2,0，半径是2的圆．（2）方程可变形为(x−2a)2+(y−3a)2=a2．当a=0时，方程表示点0,0；当a≠0时，方程表示圆心坐标是(2a,3a)，半径是a的圆．（3）方程可变形为x2+y2−x+3y+114=0，即x−122+y+322=−14，方程不表示任何图形．3．（2023春·江苏常州·高一华罗庚中学校考期末）已知方程x2+y2−2x+4y+4m=0.(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设Px,y为圆F上任意一点，求Px,y到直线x+y−1=0的距离的最大值和最小值.【答案】(1)−∞,54(2)最大值为22+1，最小值22−1【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围；（2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.【详解】（1）若此方程表示圆，则(−2)2+42−4×4m>0，解得m<54，即实数m的取值范围是−∞,54；（2）由（1）可知m=1，此时圆E：x2+y2−2x+4y+4=0，圆心坐标为E1,−2，半径为1，因为圆F和圆E关于y轴对称，所以圆F圆心坐标是−1,−2，半径是1，故圆F方程为(x+1)2+(y+2)2=1，则圆心−1,−2到直线x+y−1=0的距离d=−1−2−12=22，故Px,y到直线x+y−1=0的距离的最大值为22+1，最小值22−1.【考点4：点与圆的位置关系】【知识点：点与圆的位置关系】①点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.1．（2023秋·高二课时练习）点P(a,10)与圆(x−1)2+(y−1)2=2的位置关系是（　　）A．在圆外 B．在圆上C．在圆内 D．与a的值有关【答案】A【分析】求出点P(a,10)到圆心的距离与半径比较大小即可得结论【详解】圆(x−1)2+(y−1)2=2的圆心C(1,1)，半径r=2，因为PC=(a−1)2+(10−1)2=(a−1)2+81>2，所以点P(a,10)在圆外，故选：A2．（2023•河南模拟）已知点A（1，2）在圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0外，则实数m的取值范围为（　　）A．（﹣3，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣3，﹣2）∪（3，+∞） C．（﹣2，+∞） D．（﹣3，+∞）【分析】由x2+y2+mx﹣2y+2＝0表示圆可得m24−1＞0，由点A在圆C外得(1+m2)2+(2−1)2＞m24−1，求交集即可求出m的取值范围．【解答】解：圆C：x2+y2+mx﹣2y+2＝0，方程可化为（x+m2）2+（y﹣1）2=m24−1，∴m24−1＞0，∴m＜﹣2或m＞2，∵点A（1，2）在圆C外，∴(1+m2)2+(2−1)2＞m24−1，解得m＞﹣3，∴﹣3＜m＜﹣2或m＞2，∴m的取值范围为（﹣3，﹣2）∪（2，+∞）．故选：A．3．（2022秋•莱西市期末）点（2a，a﹣1）在圆x2+y2﹣2y﹣12＝0的内部，则实数a的取值范围是（　　）A．−9＜a＜15 B．−1＜a＜95 C．−95＜a＜1 D．−15＜a＜9【分析】根据点（2a，a﹣1）在圆x2+y2﹣2y﹣12＝0的内部，可得不等式4a2+（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣12＜0，解之即可求得a的取值范围．【解答】解：∵点（2a，a﹣1）在圆x2+y2﹣2y﹣12＝0的内部，∴（2a）2+（a﹣1）2﹣2（a﹣1）﹣12＜0⇒﹣1＜a＜95，故选：B．4．（多选）（2022秋·高二课时练习）(多选)下列各点中，不在圆(x−1)2+(y+2)2=25的外部的是（    ）A．(0,2) B．(3,3)C．(−2,2) D．(4,1)【答案】ACD【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答.【详解】对于A，0−12+2+22<25，点(0,2)在圆内；对于B，3−12+3+22>25，点(3,3)在圆外；对于C，−2−12+2+22=25，(−2,2)在圆上；对于D，4−12+1+22<25，(4,1)在圆内.故选：ACD5．（2023秋·高二课时练习）已知点A(8,−6)与圆C:x2+y2=25，P是圆C上任意一点，则AP的最小值是 ．【答案】5【分析】先判断点A在圆外，然后可得AP的最小值为AC−r【详解】圆C:x2+y2=25的圆心为C(0,0)，半径r=5，因为AC=(8−0)2+(−6−0)2=10>5，所以点A在圆外，所以AP的最小值为AC−r=10−5=5，故答案为：56．（2023春·上海浦东新·高二上海师大附中校考阶段练习）若点1,1在圆x2+y2+x+ay+1=0外，则实数a的取值范围是 .【答案】−4,−3∪3,+∞【分析】由题意可得关于a的不等式，求解得答案．【详解】∵点(1,1)在圆x2+y2+x+ay+1=0外，∴12+a2−4×1>0，且12+12+1+a+1>0，解得−43．∴实数a的取值范围为−4,−3∪3,+∞．故答案为：−4,−3∪3,+∞.7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数y=1+loga2−x(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，且点P在圆x2+y2+mx+m=0外，则符合条件的整数m的取值可以为 .（写出一个值即可）【答案】5（不唯一，取m>4的整数即可）【分析】先求定点P的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得m的取值.【详解】因为函数y=1+loga2−x的图像恒过定点1,1，所以P1,1；因为点P在圆x2+y2+mx+m=0外，所以12+12+m+m>0且m2−4m>0，解得−14；又m为整数，所以m的取值可以为5,6,7,⋯.故答案为：5（不唯一，取m>4的整数即可）.8．（2023·江苏·高二假期作业）写出圆心为A(2,−3),半径为5的圆的标准方程,并判断点M1(5,−7),M2(−2,−1)是否在这个圆上．若该点不在圆上,说明该点在圆外还是在圆内？【答案】答案见解析【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上．根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆内.【详解】圆心为A(2,−3),半径为5的圆的标准方程是(x−2)2+(y+3)2=25．把点M1(5,−7)的坐标代入方程(x−2)2+(y+3)2=25的左边,得(5−2)2+(−7+3)2=25,左右两边相等,点M1的坐标满足圆的方程,所以点M1在这个圆上．把点M2(−2,−1)的坐标代入方程(x−2)2+(y+3)2=25的左边,得(−2−2)2+(−1+3)2=20,左右两边不相等,点M2的坐标不满足圆的方程,所以点M2不在这个圆上．又因为点M2到圆心A的距离d=M2A= (−2−2)2+(−1+3)2=25<5．故点M2在圆内．  9．（2023秋·高二课时练习）已知x,y∈R，且圆C:(x−1)2+(y+2)2=4，求(x+2)2+(y−2)2的最大值与最小值；【答案】最大值为49，最小值为9【分析】根据题意可知：(x+2)2+(y−2)2表示圆上的动点Mx,y与定点A−2,2的距离，结合圆的性质运算求解.【详解】因为(x−1)2+(y+2)2=4表示以C1,−2为圆心，半径r=2的圆，所以(x+2)2+(y−2)2表示圆上的动点Mx,y与定点A−2,2的距离（如图）．连接AC，直线AC与圆C交于A1,A2，因为AC=(1+2)2+(−2−2)2=5，则当M位于A2位置时，(x+2)2+(y−2)2取得最大值，为AC+r=5+2=7；当M位于A1位置时，(x+2)2+(y−2)2取得最小值，为AC−r=5−2=3；所以(x+2)2+(y−2)2的最大值为49，最小值为9．【考点5：关于点、直线对称的圆的方程】【知识点：关于点、直线对称的圆的方程】①圆关于点对称(1)求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．②圆关于直线对称(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．1．（2023秋·云南临沧·高二校考期末）已知半径为3的圆C的圆心与点P−2,1关于直线x−y+1=0对称，则圆C的标准方程为（    ）A．(x+1)2+(y−1)2=9 B．(x−1)2+(y−1)2=81C．x2+(y+1)2=9 D．x2+y2=9【答案】C【分析】设出圆心坐标，根据对称关系列出方程组，求出圆心坐标，结合半径为3，即可求解.【详解】设圆心坐标Ca,b，由圆心C与点P关于直线y=x+1对称，得到直线CP与y=x+1垂直，结合y=x+1的斜率为1，得直线CP的斜率为−1，所以1−b−2−a=−1，化简得a+b+1=0①再由CP的中点在直线y=x+1上，1+b2=a−22+1，化简得a−b−1=0②联立①②，可得a=0,b=−1，所以圆心C的坐标为0,−1，所以半径为3的圆C的标准方程为x2+(y+1)2=9.故选：C2．（2021秋•雨花区期中）圆（x﹣3）2+（y+4）2＝1关于点（1，2）的对称圆的方程是 　（x+1）2+（y﹣8）2＝1　．【分析】设所求圆的圆心为（a，b），则（a，b）关于点P（0，1）对称，由此能求出圆（x﹣3）2+y2＝1关于点P（0，1）对称的圆的方程．【解答】解：圆（x﹣3）2+（y+4）2＝1的圆心O（3，﹣4），半径为r＝1，设所求圆的圆心为（a，b），则（a，b）关于点（1，2）对称，∴3+a2=1−4+b2=2，解得a＝﹣1，b＝8，∴圆（x﹣3）2+（y+4）2＝1关于点（1，2）的对称圆的方程是（x+1）2+（y﹣8）2＝1．故答案为：（x+1）2+（y﹣8）2＝1．3．（2023春·河南开封·高二统考期末）已知圆C1:x2+y2=4与圆C2关于直线2x+y+5=0对称，则圆C2的标准方程为（    ）A．x+42+y+22=4 B．x−42+y−22=4C．x+22+y+42=4 D．x−22+y−42=4【答案】A【分析】根据题意，求得圆心C1关于直线2x+y+5=0的对称点，即可得到结果.【详解】由题意可得，圆C1的圆心坐标为0,0，半径为2，设圆心C10,0关于直线2x+y+5=0的对称点为C2a,b，则ba×−2=−12×a2+b2+5=0，解得a=−4b=−2，所以圆C2的标准方程为x+42+y+22=4.故选：A4．（2022秋·高二课时练习）已知圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，圆C2与圆C1关于直线x−y−1=0对称，则圆C2的方程为（    ）A．x2+y2−4x+4y+7=0 B．x2+y2−4x−4y+7=0C．x2+y2+4x+4y+7=0 D．x2+y2+4x−4y+7=0【答案】A【分析】先求得圆C1的圆心坐标C1(−1,1)和半径r=1，再求得C1(−1,1)关于x−y−1=0的对称点C2(2,−2)，得到圆C2的圆心坐标，进而求得圆C2的方程.【详解】由题意知,圆C2的圆心与C1关于直线x−y−1=0对称，且两圆半径相等，因为圆C1:x2+y2+2x−2y+1=0，即C1:(x+1)2+(y−1)2=1，所以圆心C1(−1,1)，半径为r=1，设圆C1(−1,1)关于直线x−y−1=0对称点为C2(m,n)，则−1+m2−1+n2−1=0n−1m+1×1=−1，解得m=2,n=−2，即C2(2,−2)，所以圆C2的方程为C2:(x−2)2+(y+2)2=1，即x2+y2−4x+4y+7=0.故选：A.5．（2023·北京·校考模拟预测）点M、N在圆C:x2+y2+2kx+2my−4=0上，且M、N两点关于直线x−y+1=0对称，则圆C的半径（    ）A．最大值为22 B．最小值为22 C．最小值为322 D．最大值为322【答案】C【分析】将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径的表达式，利用已知条件，得到圆心在直线上，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由x2+y2+2kx+2my−4=0，得x+k2+y+m2=k2+m2+4，所以圆心C为−k,−m，半径为r=k2+m2+4，由题意可得直线x−y+1=0经过圆心C −k,−m，故有−k+m+1=0，即k=m+1，所以半径为r=k2+m2+4=m+12+m2+4=2m+122+92≥322，当m=−12时，圆C的半径的最小值为322.故选：C.6．（多选）（2023·高二课时练习）已知圆x2+y2+2x−4y+1=0关于直线2ax−by+2=0 a,b∈R对称，则下列结论正确的是（    ）A．圆x2+y2+2x−4y+1=0的圆心是(−1,2)B．圆x2+y2+2x−4y+1=0的半径是2C．a+b=1D．ab的取值范围是−∞,14【答案】ABCD【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出A、B；根据已知可知圆心在直线上，代入即可得出C；根据C的结论得b=1−a，代入根据二次函数的性质，即可得出D项.【详解】对于A、B，将圆的方程化为标准方程可得x+12+y−22=4，所以，圆心为(−1,2)，半径为2，故A、B正确；对于C项，由已知可得，直线2ax−by+2=0经过圆心，所以2a×−1−2b+2=0，整理可得a+b=1，故C项正确；对于D项，由C知b=1−a，所以ab=a1−a=−a−122+14≤14，所以ab的取值范围是−∞,14，故D项正确.故选：ABCD.7．（2023春·四川凉山·高二校考阶段练习）若圆C1:(x−1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线l对称，则直线l的方程是 【答案】2x+y+3=0【分析】由题意，先求得线段C1C2的中点坐标，再求得直线的斜率为kl=−1kC1C2即可.【详解】解：圆C1:(x−1)2+y2=9的圆心为1,0，圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9的圆心为−3,−2，则线段C1C2的中点为−1,−1，因为圆C1:(x−1)2+y2=9和圆C2:(x+3)2+(y+2)2=9关于直线l对称，所以kl=−1kC1C2=−2，所以直线l的方程是y+1=−2x+1，即2x+y+3=0，故答案为：2x+y+3=08．（2022秋·高二单元测试）已知圆C过点(4,1),(0,1),(2,3).(1)求圆C的方程；(2)求圆C关于直线y=x+2对称圆的方程.【答案】(1)(x−2)2+(y−1)2=4(2)(x+1)2+(y−4)2=4【分析】（1）设圆的一般方程，代入点，得到方程组，解出即可；（2）设所求圆的圆心为M(a,b)，根据点关于直线的对称得到关于a,b的方程，解出即可.【详解】（1）设圆C：x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2−4F>0，则17+4D+E+F=01+E+F=013+2D+3E+F=0，解得D=−4, E=−2, F=1，所以圆C的一般方程是：x2+y2−4x−2y+1=0，化为标准方程是：(x−2)2+(y−1)2=4.（2）设所求圆的圆心为M(a,b)，由（1）知圆C的圆心C2,1，则由已知得b+12=a+22+2b−1a−2=−1，解得a=−1b=4，故圆C关于直线y=x+2对称圆的方程为(x+1)2+(y−4)2=4.【考点6：与圆有关的轨迹问题】【知识点：求与圆有关的轨迹问题的四种方法】1．（2023·全国·高三专题练习）已知A为圆C：x−12+y+12=8上一动点，点B5,7，若M为AB的中点，则点M的轨迹的方程为 ，【答案】x−32+y−32=2【分析】设Ax0,y0，Mx,y，根据中点坐标公式结合圆C的方程得出点M的轨迹方程.【详解】设Ax0,y0，Mx,y，则x=x0+52，y=y0+72，所以x0=2x−5，y0=2y−7，又点A在圆C上，所以2x−5−12+2y−7+12=8，即M的方程为x−32+y−32=2．故答案为：x−32+y−32=2.2．（2023春·上海浦东新·高二统考期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系xOy中，A2,0,B8,0,PAPB=12，则点P的轨迹方程为 .【答案】x2+y2=16【分析】设点P坐标由条件计算化简即可.【详解】设点Px,y，则PAPB=x−22+y−02x−82+y−02=12化简得：x2+y2=16.故答案为：x2+y2=163．（2022秋·福建龙岩·高三上杭县第二中学校考阶段练习）设定点M(−3,4) ，动点N在圆x2+y2=4上运动，以OM,ON 为邻边作平行四边形MONP ，求点P的轨迹为 .【答案】圆x+32+y−42=4，除去两点−95,125和−215,285【分析】设P(x,y),Nx0,y0,利用平行四边形性质可得x0=x+3y0=y−4，代入x02+y02=4即可得点P的轨迹方程，再去掉特殊的两点对应的x的值，可得答案.【详解】如图，设P(x,y),Nx0,y0，则线段OP的中点坐标为x2,y2，线段MN的中点坐标为x0−32,y0+42,因为平行四边形的对角线互相平分，所以x2=x0−32，y2=y0+42，整理得x0=x+3y0=y−4，又点Nx0,y0在圆x2+y2=4上，则x02+y02=4，所以x+32+y−42=4,所以点P的轨迹是以(−3,4)为圆心，2为半径的圆，又直线OM的方程为y=−43x，与x+32+y−42=4联立，解得x=−95和x=−215，则直线OM与P的轨迹相交于两点−95,125和−215,285，不符合题意，舍去，所以点P的轨迹为x+32+y−42=4，除去两点−95,125和−215,285，故答案为：圆x+32+y−42=4，除去两点−95,125和−215,285，.4．（2023·高二课时练习）已知线段AB的端点B的坐标为8,6，端点A在圆C：x2+y2+4x=0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【答案】x−32+y−32=1，点P的轨迹是以3,3为圆心，1为半径的圆【分析】设点Px,y，点Ax0,y0，由中点坐标公式可得x0=2x−8y0=2y−6.代入圆C的方程，整理即可得出x−32+y−32=1，即可得出答案.【详解】设点P的坐标为x,y，点A的坐标为x0,y0，又B8,6，且P为线段AB的中点，所以x=x0+82y=y0+62，则x0=2x−8y0=2y−6.因为点A在圆C：x2+y2+4x=0上运动，即有x02+y02+4x0=0，代入可得，2x−82+2y−62+4×2x−8=0，整理可得x2+y2−6x−6y+17=0，化为标准方程可得x−32+y−32=1.所以，中点P的轨迹方程为x−32+y−32=1，该轨迹为以3,3为圆心，1为半径的圆.5．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到A(−2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍．求点P的轨迹方程；【答案】x−22+y2=4；【分析】设点Px,y，根据题意得PA=2PB，利用两点之间的距离公式化简整理，即可求解.【详解】解：设点Px,y，点P到A(−2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍，可得PA=2PB，即x+22+y2=2x−12+y2，整理得x−22+y2=4，所以点P的轨迹方程为x−22+y2=4；【考点7：与圆有关的最值问题】【知识点：与圆有关最值问题的求解策略】处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：1.已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则eq \f(y－1,x－2)的最大值与最小值分别为________．解析：设eq \f(y－1,x－2)＝k，则k表示点P(x，y)与点A(2,1)连线的斜率．当直线PA与圆相切时，k取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由eq \f(|2k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝±eq \f(\r(3),3).答案：eq \f(\r(3),3)，－eq \f(\r(3),3)2.设点P是函数y＝－eq \r(4－x－12)图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．解析：函数y＝－eq \r(4－x－12)的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆．令点Q的坐标为(x，y)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝2a，,y＝a－3，))得y＝eq \f(x,2)－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝eq \f(|1－2×0－6|,\r(12＋－22))＝eq \r(5)＞2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是eq \r(5)－2.答案：eq \r(5)－23、已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)eq \f(y,x)的最大值和最小值；(2)y－x的最大值和最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【解】原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)为圆心，eq \r(3)为半径的圆．(1)eq \f(y,x)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝ eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3).所以eq \f(y,x)的最大值为eq \r(3)，最小值为－eq \r(3).(2)y－x可看成是直线y＝x＋b在y轴上的截距．当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6).所以y－x的最大值为－2＋eq \r(6)，最小值为－2－eq \r(6).(3)x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方．由平面几何知识知，x2＋y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值．因为圆心到原点的距离为eq \r(2－02＋0－02)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)理论依据点到圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外(x0－a)2＋(y0－b)2