资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩7页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.1 直线的倾斜角与斜率（6类必考点）
展开
这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修一专题2.1 直线的倾斜角与斜率（6类必考点），文件包含专题21直线的倾斜角与斜率6类必考点人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx、专题21直线的倾斜角与斜率6类必考点人教A版2019选择性必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。
专题2.1 直线的倾斜角与斜率TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc3" 【考点1：直线的倾斜角】 PAGEREF _Toc3 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5188" 【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】 PAGEREF _Toc5188 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8498" 【考点3：过两点的斜率公式】 PAGEREF _Toc8498 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29874" 【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 PAGEREF _Toc29874 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc29017" 【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 PAGEREF _Toc29017 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc19562" 【考点6：直线的方向向量】 PAGEREF _Toc19562 \h 20【考点1：直线的倾斜角】【知识点：直线的倾斜角】当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.1．（2023·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（ ）A．0,π B．[0,π) C．(0,π] D．[0,π]【答案】B【分析】利用直线倾斜角的定义得解.【详解】直线的倾斜角α的取值范围是[0,π)．故选：B．2．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（ ） A．60° B．120°C．30° D．150°【答案】D【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果.【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．故选：D3．（2022秋·高二课时练习）若直线 l 与 x 轴交于点 A ，其倾斜角为 α ，直线 l 绕点 A 顺时针旋转45°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为（ ）A．α+45° B．α+135° C．α−45° D．135°−α【答案】BC【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当α≥45°时，直线l1的倾斜角为α−45°（如直线AC旋转至直线AD）；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°−(45°−α)=135°+α（如直线AD旋转至直线AB）.故选：BC.4．（2023·江西九江·高二校考阶段练习）经过原点和点(﹣1,1)的直线的倾斜角是−π4.( )【答案】错误【分析】设直线的倾斜角为α,α∈[0,π)，求出直线的斜率即得解.【详解】设直线的倾斜角为α,α∈[0,π)，因为直线的斜率k=tanα=1−0(−1)−0=−1，所以α=3π4，故答案为：错误5．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期末）已知直线l的方程为x2+y2=1，则直线l的倾斜角α= ．【答案】135°【分析】根据直线的方程求得直线l的斜率为k=−1，得到tanα=−1，进而求得α的值.【详解】由题意，直线l的方程为x2+y2=1，可得直线l的斜率为k=−1，即tanα=−1，又因为0∘≤α<180∘，所以α=135∘.故答案为：135∘.6．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线l1的倾斜角α1=15∘，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120∘，如图，则直线l2的倾斜角为 ． 【答案】135∘【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线l2的倾斜角.【详解】设直线l2的倾斜角为α2，因为l1和l2向上的方向所成的角为120∘，所以，∠BAC=120∘，故α2=120∘+α1=120∘+15∘=135∘．故答案为：135∘.【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】【知识点：直线斜率与倾斜角的关系】若直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)，则斜率k＝tanα.1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）直线x−3y+1=0的倾斜角是（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.【详解】因为x−3y+1=0的斜率k=13=33，所以其倾斜角为30°.故选：A.2．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线l:x+ay+6=0的倾斜角为60∘，则实数a=（ ）A．−3 B．−33 C．33 D．3【答案】B【分析】由题意可得直线l:x+ay+6=0的斜率为k=tan60°=−1a=3，解方程即可得出答案.【详解】已知直线l:x+ay+6=0的倾斜角为60∘，则直线l:x+ay+6=0的斜率为k=tan60°=−1a=3，则a=−33.故选：B.3．（2023春·内蒙古包头·高一统考期末）三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为（ ） A．k2>k1>k3 B．k2>k3>k1C．k3>k2>k1 D．k3>k1>k2【答案】B【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.【详解】设三条直线l1，l2，l3的倾斜角为θii=1,2,3,由图可知0<θ3<θ2<π2<θ1<π,所以k2>k3>k1.故选：B.4．（2023春·河南南阳·高二统考期末）直线a，b，c的斜率分别为2，1，−2，倾斜角分别为α，β，γ，则（ ）A．α>β>γ B．γ>α>β C．γ>β>α D．α>γ>β【答案】B【分析】由于k=tanx,x∈0,π，由正切函数的图像性质可得倾斜角α，β，γ的大小关系.【详解】由于k=tanx,x∈0,π,x≠π2，由正切函数的图像性质可知，当x∈0,π2时，k为增函数，且k>0，由2>1，可知π2>α>β>0；当x∈π2,π时，k为增函数，且k<0，−2<0，所以γ>π2；所以γ>α>β，选项B正确.故选：B5．（2023·高二课时练习）设直线l的斜率为k，且−1≤k<3，则直线l的倾斜角α的取值范围为（ ）A．0,π3∪3π4,π B．0,π6∪3π4,πC．π6,3π4 D．0,π3∪3π4,π【答案】D【分析】分−1≤k<0、0≤k<3两种情况讨论，求出对应的α的取值范围，综合可得结果.【详解】由题意可知，α∈0,π，当−1≤k<0时，则α为钝角，且3π4≤α<π；当0≤k<3时，此时，0≤α<π3.综上所述，直线l的倾斜角α的取值范围为0,π3∪3π4,π.故选：D.6．（2023·全国·高一假期作业）设点A(2,−3)､B(−3,−2)，若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A．k≥34或k≤−4 B．k≥34或k≤−14C．−4≤k≤34 D．−34≤k≤4【答案】A【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示： 依题意，kPA=−3−12−1=−4,kPB=−2−1−3−1=34，要想直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则k≥34或k≤−4，故选：A7．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点A(1,3)，B(−2,1)，若直线l:kx−y+k−1=0与线段AB有公共点，则k的取值范围是（ ）A．k≥2 B．k≤−2C．k≥2或k≤−2 D．−2≤k≤2【答案】C【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.【详解】直线l：y=k(x+1)−1经过定点P(−1,−1)，kPA=2，kPB=−2．又直线l：y=k(x+1)−1与线段AB相交，所以k≥2或k≤−2，故选：C．8．（2023春·上海宝山·高一统考期末）在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则tanθ= . 【答案】23【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.【详解】由O0,0，P1,5，则直线OP的方程为y=5x，设其倾斜角为α，即α=θ+π4，由tanα=5，则tanθ+π4=5，即tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=5，解得tanθ=23.故答案为：23.9．（2023·江苏·高二假期作业）已知A3,3,B−4,2,C0,−2．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．【答案】(1)直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53(2)17,53【分析】（1）根据斜率公式运算求解；（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2−3−4−3=17，直线AC的斜率kAC=3−−23−0=53，故直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53.（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是17,53． 10．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点A(−3,4),B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【答案】(1)(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)45°≤α≤135°．【分析】（1）由图可知要使直线l与线段AB有公共点，只需直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB，从而可求得答案；（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线l的倾斜角α的取值范围．【详解】（1）因为A(−3,4),B(3,2)，P(1,0)，所以kPA=4−0−3−1=−1,kPB=2−03−1=1因为直线l与线段AB有公共点，所以由图可知直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB，所以直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)． （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，因为直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．【考点3：过两点的斜率公式】【知识点：过两点的斜率公式】P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).1．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】根据两点间斜率公式求解即可；【详解】解析：k=tanα=2−13−2=1，又因为0°≤α<180°所以α=45°，故选：B.2．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点A(3,3)、B(3,1)．直线l的倾斜角是 ．【答案】π6/30°【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可.【详解】因为过A(3,3)、B(3,1)两点的直线的斜率为：k=3−13−3=33，因为k=tanα，α是直线的倾斜角，且α∈0,π所以直线的倾斜角为：α=π6．故答案为：π6.3．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的A(m2+2,m2−3),B(3−m−m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的取值为 ．【答案】−2【分析】由题意得m2−3−2mm2+2−(3−m−m2)=1，可求出m的取值.【详解】由题意知kAB=tan45°=1，所以m2−3−2mm2+2−(3−m−m2)=1，即m2−3−2mm2+2−3+m+m2=1，化简得m2+3m+2=0，解得m=−1或m=−2当m=−1时，A(3,−2),B(3,−2)重合，不符合题意舍去，当m=−2时，A(6,1),B(1,−4)，符合题意，所以m=−2，故答案为：−24．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于 ．【答案】－3【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式k=tanα=y2−y1x2−x1可得答案.【详解】因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以k=y+15−3=−1，得y＝－3．故答案为：−3.【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.1．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数a∈R，直线l1：x+ay−2=0，l2：ax+y+1=0，则a=1是l1//l2的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出a，再确定充分性和必要性即可.【详解】因为直线l1：x+ay−2=0，l2：ax+y+1=0，当l1//l2时1×1=a21×1≠−2a，解得a=±1，所以a=1是l1//l2的充分不必要条件.故选：A2．（2023春·四川成都·高二成都七中校考期末）直线l1:x+ay−1=0与直线l2:ax+y+1=0平行，则a=（ ）A．0 B．1 C．−1 D．1或−1【答案】B【分析】由已知结合直线的一般式方程平行条件建立关于a的方程，可求．【详解】解：因为直线l1:x+ay−1=0与直线l2:ax+y+1=0平行，所以1×1=a×a，所以a=1或a=−1，当a=−1时，直线l1:x−y−1=0与直线l2:−x+y+1=0重合，舍去，故a=1．故选：B．3．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知两条直线l1：x+a2y+6=0，l2：a−2x+3ay+2a=0，若l1//l2，则a=（ ）A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0【答案】D【分析】由l1//l2可得3a−a2a−2=0解得a=0或a=−1或a=3，代入检验即可得出答案.【详解】l1：x+a2y+6=0，l2：a−2x+3ay+2a=0，若l1//l2，则3a−a2a−2=0，即aa2−2a−3=0aa+1a−3=0，解得：a=0或a=−1或a=3，当a=0时，l1：x+6=0，l2：x=0，则l1//l2；当a=−1时，l1：x+y+6=0，l2：3x+3y+2=0，则l1//l2；当a=3时，l1：x+9y+6=0，l2：x+9y+6=0，则l1与l2重合，舍去；故选：D.4．（多选）（2022秋·高二单元测试）已知A2,4与B3,3到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）A．x+y=0 B．x−y=0C．x+y−6=0 D．x−y+1=0【答案】ACD【分析】使得点A2,4与B3,3到直线l的距离相等的直线有两类，①类是过A、B的中点的直线，②类是与AB平行的直线，求出A、B的中点与斜率，即可判断.【详解】因为A2,4与B3,3的中点为52,72，且kAB=4−32−3=−1，所以使得点A2,4与B3,3到直线l的距离相等的直线有两类，①类是过A、B的中点的直线，②类是与AB平行的直线，显然x+y−6=0、x−y+1=0过点52,72，故C、D正确；直线x+y=0的斜率为−1与AB平行，故A正确；直线x−y=0的斜率为1与AB垂直，且不过点52,72，故B错误；故选：ACD5．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）直线x+my=2与直线mx+16y=8平行，则实数m= ．【答案】−4【分析】根据两直线平行，列出方程求解并验证作答.【详解】依题意，1×16=m×m，解得m=±4，当m=4时，直线x+4y=2与直线4x+16y=8，即x+4y=2重合，不符合题意，当m=−4时，直线x−4y=2与直线−4x+16y=8，即x−4y=−2平行，符合题意，所以m=−4.故答案为：−46．（2022秋·云南临沧·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x+ay+1=0，l2：a+2x+y+a=0.当l1∥l2时，a= .【答案】−3【分析】根据直线方程一般式中平行满足的系数关系即可列方程组求解.【详解】当l1∥l2时，则需满足1×3=aa+23a≠a+2，解得a=−3，故答案为：−37．（2023·江苏·高二假期作业）设直线l的方程为(m2−2m−3)x−(2m2+m−1)y+6−2m=0，若直线l与y轴平行，求实数m的值【答案】12【分析】由2m2+m−1=0，解得m=−1或m=12，再代入直线方程检验即可.【详解】若直线l与y轴平行，则2m2+m−1=0，解得m=−1或m=12，当m=−1时，直线l的方程为8=0，不成立；当m=12时，直线l的方程为x=43,符合题意；综上，实数m的值为12．8．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1经过点A(−1,−2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(−1,−1)；(2)l1经过点A(−3,2)，B(−3,10)，l2经过点M(5,−2)，N(5,5)．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出kl1、kl2，即可判断；（2）求出l1、l2的方程，即可判断.【详解】（1）因为l1经过点A(−1,−2)，B(2,1)，所以kl1=−2−1−1−2=1，又l2经过点M(3,4)，N(−1,−1)，所以kl2=−1−4−1−3=54，因为kl1≠kl2，所以l1与l2不平行；（2）直线l1经过点A(−3,2)，B(−3,10)的方程为x=−3，直线l2经过点M(5,−2)，N(5,5)的方程为x=5，故直线l1和直线l2平行；9．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)；(2)l1的斜率为−10，l2经过点A(10,2),B(20,3).【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【分析】（1）分别计算出l1和l2的斜率，再比较两斜率是否相等即可；（2）求出l2的斜率，再与l1的斜率比较即可.【详解】（1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)，所以k1=3−02−(−4)=12，k2=1−2−3−(−2)=1，所以k1≠k2，所以l1与l2不平行；（2）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=−10，因为l2经过点A(10,2),B(20,3)，所以k2=3−220−10=110，所以k1≠k2，所以l1与l2不平行.10．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2).(1)求斜率kMN与斜率kPQ；(2)求证：四边形MNPQ为矩形.【答案】(1)kMN=−1,kPQ=−1(2)证明见解析【分析】（1）利用斜率公式求解即可；（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得MN//PQ，MQ//NP，MN⊥MQ，从而得证.【详解】（1）因为M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2)，所以kMN=−1−13−1=−1,kPQ=2−02−4=−1，即kMN=−1,kPQ=−1.（2）因为kMN=−1,kPQ=−1，所以MN//PQ.又因为kMQ=2−12−1=1,kNP=−1−03−4=1，所以MQ//NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，又因为kMN⋅kMQ=−1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形.【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.1．（2023·江苏·高二假期作业）两直线的斜率分别是方程x2+2022x−1=0的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】由题意利用根与系数的关系可得两直线的斜率乘积为−1，从而可判断出两直线的位置关系.【详解】设两直线的斜率分别为k1，k2，因为k1，k2是方程x2+2022x−1=0的两根，所以利用根与系数的关系得k1⋅k2=−1，所以两直线的位置关系是垂直．故选：A．2．（2023春·上海杨浦·高二校考期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ）A．2x−3y−5=0与4x−6y−5=0 B．2x−3y−5=0与4x+6y−5=0C．2x−3y−5=0与3x−2y−5=0 D．2x−3y−5=0与6x+4y−5=0【答案】D【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为−1两直线垂直，即可判断.【详解】对于A：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线4x−6y−5=0的斜率为23，故两直线平行，故A错误；对于B：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线4x+6y−5=0的斜率为−23，斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故B错误；对于C：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线3x−2y−5=0的斜率为32，斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故C错误；对于D：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线6x+4y−5=0的斜率为−32，斜率之积为−1，即两直线垂直，故D正确；故选：D.3．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x−ay+3=0，其中a∈R，则“a=−1”是“l1⊥l2”的（ ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线垂直求出a的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x−ay+3=0，由l1⊥l2，得a−a(a+2)=0，解得a=0或a=−1，所以“a=−1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选：C.4．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:k+1x+ky+k=0k∈R，则下列结论错误的是（ ）A．存在k，使得l2的倾斜角为π2；B．对任意的k，l1与l2都有公共点；C．对任意的k，l1与l2都不重合；D．对任意的k，l1与l2都不垂直；【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立l1与l2的方程，由(2k+1)x=0恒有解判断B；取k=−12时，l1与l2重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D.【详解】解：当k=0时，l2的倾斜角为π2，此时l2的方程为x=0，故A正确；联立方程组x−y−1=0k+1x+ky+k=0，得(2k+1)x=0，此方程恒有解，故对任意的k，l1与l2都有公共点，B正确；当k=−12时，k+11=k−1=k−1，此时l1与l2重合，故C错误；因为l1:x−y−1=0的斜率为1，当k=0时，l1与l2不垂直；当k≠0时，l2的斜率k+1−k=−1−1k≠−1，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，D正确；故选：C.5．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）以A(−1,1),B(2,−1),C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）A．kAB=−23B．kBC=−14C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算kAB⋅kAC判断，对于D，通过计算kAB⋅kBC判断.【详解】对于A，因为A(−1,1),B(2,−1)，所以kAB=1−(−1)−1−2=−23，所以A正确，对于B，因为B(2,−1),C(1,4)，所以kBC=−1−42−1=−5≠−14，所以B错误，对于C，因为kAB=−23，kAC=1−4−1−1=32，所以kAB⋅kAC=−23×23=−1，所以AB⊥AC，所以△ABC以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为kAB=−23，kBC=−5，所以kAB⋅kBC≠−1，所以D错误，故选：AC6．（多选）（2022秋·山东济南·高二校考期中）若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1,α2，斜率分别为k1,k2，则下列命题正确的是（ ）A．若斜率k1=k2，则 l1∥l2 B．若k1k2=−1，则l1⊥l2 C．若倾斜角α1=α2，则 l1∥l2 D．若α1+α2=π，则l1⊥l2【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC，举反例可判断D.【详解】对于A, 若两直线斜率k1=k2，则它们的倾斜角α1=α2，则l1∥l2，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2=−1，则l1⊥l2，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1=α2，则 l1∥l2，正确；对于D, 若α1+α2=π，不妨取α1=π3,α2=2π3，则k1=tanα1=3,k2=tanα2=−3，不满足k1k2=−1，l1,l2不垂直，D错误，故选：ABC7．（2023春·上海虹口·高二统考期末）若直线l1：ax+2y+3a=0.与直线l2：2x+a−1y+4=0互相垂直，则实数a的值为 .【答案】12/0.5【分析】利用两直线垂直的充要条件，列出关于a的方程，即可求得答案．【详解】∵直线ax+2y+3a=0与直线2x+a−1y+4=0垂直，∴a×2+2(a−1)=0，解得a=12．故答案为：12．8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知直线l1:x+y=0和l2:2x−ay+3=0a∈R，若l1⊥l2，则a= .【答案】2【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.【详解】直线l1:x+y=0和l2:2x−ay+3=0a∈R，l1⊥l2，则1×2−a×1=0，解得a=2.故答案为：2.9．（2023春·江苏镇江·高二校考期中）已知直线l1过点A−2,m和点Bm,4，直线l2:2x+y−1=0，直线l3:x+ny+1=0.若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= .【答案】−10【分析】根据直线垂直和平行满足的斜率关系即可求解.【详解】由于直线l2的斜率为−2，且l1∥l2，直线l1的斜率为4−mm+2=−2，解得m=−8.由于l2⊥l3，l2的斜率为−2，直线l3的斜率为−1n，，∴−2×−1n=−1，解得n=−2，∴m+n=−10.故答案为：−1010．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)l1经过点A(−3,−4),B(1,3), l2经过点M(−4,−3),N(3,1)；(2)l1经过点A(3,4),B(3,10), l2经过点M(−10,40),N(10,40)．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线l1，l2的斜率存在，分别计算出l1、l2的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知l1⊥x轴，l2∥x轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线l1，l2的斜率存在，分别设为k1,k2，k1=3−−41−−3=74，k2=1−−33−−4=47，∴k1⋅k2=1，∴l1与l2不垂直．（2）由题意知l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；由题知直线l2的斜率存在，设为k3，k3=40−4010−(−10)=0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2．11．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)l1:3x−2y−7=0，l2:2x+3y−1=0；(2)l1:y−2=0，l2:y+1=0．【答案】(1)垂直，理由见解析(2)平行，理由见解析【分析】分别写出直线l1, l2的斜率，即可判断出其位置关系.【详解】（1）设直线l1, l2的斜率分别为k1，k2．因为k1=32，k2=−23，所以k1⋅k2=−1从而l1与l2垂直;（2）因为k1=k2=0，−2≠1，从而l1与l2平行．12．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线l1:ax+2y−3=0，l2:3x+(a+1)y−a=0，求满足下列条件的a的值．(1)l1//l2；(2)l1⊥l2．【答案】(1)a=2(2)a=−25【分析】（1）解法一：利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可；解法二：将直线方程化为斜截式，根据两直线平行的充要条件，列式求解即可；（2）解法一：利用两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．解法二：将直线方程化为斜截式，根据两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．【详解】（1）法一：因为直线l1:ax+2y−3=0，l2:3x+(a+1)y−a=0，且l1//l2，则a(a+1)−2×3=0a(−a)−(−3)×3≠0，解得a=2；法二：直线l1:y=−a2x+32，当a=−1时，l2:x=−13与l1不平行；当a≠−1时，直线l2:y=−3a+1x+aa+1，∵l1//l2，∴−a2=−3a+1且32≠aa+1，解得a=2．（2）法一：因为直线l1:ax+2y−3=0，l2:3x+(a+1)y−a=0，且l1⊥l2，则3a+2(a+1)=0，解得a=−25．法二：直线l1:y=−a2x+32，当a=−1时，l2:x=−13与l1不垂直；当a≠−1时，直线l2:y=−3a+1x+aa+1，∵l1⊥l2，∴−a2×−3a+1=−1，解得a=−25.【考点6：直线的方向向量】【知识点：直线的方向向量】我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为(-,-). 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即=(1,k),其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=.1．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线l的一个方向向量为−1,3，则它的倾斜角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【详解】依题意，−1,3是直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率k=−3，所以直线l的倾斜角为120°．故选：C．2．（2022秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为AB→=−3，3，则直线l的倾斜角α=（ ）A．30∘ B．60∘ C．120∘ D．150∘【答案】C【分析】由直线l的一个方向向量求出直线斜率，从而可得答案.【详解】因为直线l的一个方向向量为AB→=−3，3，所以直线l的斜率k=tanα=3−3=−3，又因为0∘≤α<180∘，所以α=120∘，故选：C.3．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线x+2y+1=0的一个方向向量是（ ）A．1,−2 B．1,2 C．2,−1 D．2,1【答案】C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可.【详解】因为直线x+2y+1=0可化为y=−12x−12，所以直线x+2y+1=0的斜率为k=−12，则直线的一个方向向量为1,−12，对于A，(1,−2)与1,−12不平行，故A错误；对于B，(1,2)与1,−12不平行，故B错误；对于C，(2,−1)=21,−12，故(2,−1)与1,−12平行，则(2,−1)也是直线x+2y+1=0的一个方向向量，故C正确；对于D，(2,1)与1,−12不平行，故D错误.故选：C.4．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线l的一个方向向量为p=sinπ3,cosπ3，则直线l的倾斜角为（ ）A．π6 B．π3 C．2π3 D．4π3【答案】A【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.【详解】由题意可得：直线l的斜率k=cosπ3sinπ3=33=tanπ6，即直线l的倾斜角为π6.故选：A5．（多选）（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知直线l1:ax+3y+4=0,l2:x+a−2y+a2−5=0，则（ ）A．若a=1，则l1的一个方向向量为3,−1 B．若l1∥l2，则a=−1或a=3C．若l1⊥l2，则a=32 D．若l1不经过第二象限，则a≤0【答案】ACD【分析】代入a=1，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将l1化简得y=−a3x−43，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当a=1时，l1:x+3y+4=0，斜率为−13，则其一个方向向量为3,−1，故A正确；对B，若l1∥l2，当a=2时，显然不合题意，则a≠2，则直线l1的斜率k1=−a3，直线l2的斜率k2=−1a−2，则有k1=k2，即a3=1a−2，解得a=3或−1，当a=−1时，此时直线l1:−x+3y+4=0,l2:x−3y−4=0，显然两条直线重合，故B错误；对C，若l1⊥l2，当a=2时，显然不合题意，则a≠2，则k1⋅k2=−1，即a3⋅1a−2=−1，解得a=32，故C正确；对D，若l1不经过第二象限，l1:ax+3y+4=0，化简得y=−a3x−43，则−a3≥0，解得a≤0，故D正确；故选：ACD.6．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是（ ）A．l的一个方向向量为n=(3,1) B．l的一个法向量为m=(1,3)C．l与直线3x−3y+2=0平行 D．l与直线3x+y+2=0垂直【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，即可求解.【详解】直线l的倾斜角等于30°，则直线l的斜率为tan30°=33，对于A，因为直线l的斜率为33，则l的一个方向向量为n=(3,1)，A正确；对于B，m⋅n=3+3≠0，法向量m=(1,3)与直线l不垂直，B错；对于C，直线3x−3y+2=0的斜率为33，且不过(0,1)，C正确；对于D，直线3x+y+2=0的斜率为−3，则斜率之积为−1，故两直线垂直，D正确.故选：ACD7．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若直线l的一个方向向量d=(−1,1)，则l的倾斜角等于 .【答案】3π4/34π【分析】计算得tanα=−1，即可得到倾斜角大小.【详解】设直线l的倾斜角为α，则tanα=1−1=−1，∵α∈0,π，则α=3π4.故答案为：3π4.8．（2022秋·高二课时练习）已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(−1,b)四点在同一条直线l上.(1)求直线l的斜率k及a，b的值；(2)求直线l的一个方向向量及法向量.【答案】(1)2；a=4,b=−3.(2)方向向量(1,2)，法向量−2,1.【分析】（1）根据题意，由四点共线可得kAC=kAD，列出方程即可得到结果；（2）根据题意，直接由直线方程即可得到结果.【详解】（1）由A(1,1),B(3,5)，得k=kAB=5−13−1=2.∵A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(−1,b)四点在同一条直线上，∴kAC=kAD=2，即7−1a−1=b−1−1−1=2，解得a=4,b=−3.（2）易知直线l的一个方向向量为u=(1,k)=(1,2)，∴直线l的一个法向量为−2,1.
专题2.1 直线的倾斜角与斜率TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc3" 【考点1：直线的倾斜角】 PAGEREF _Toc3 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5188" 【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】 PAGEREF _Toc5188 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc8498" 【考点3：过两点的斜率公式】 PAGEREF _Toc8498 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc29874" 【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 PAGEREF _Toc29874 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc29017" 【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 PAGEREF _Toc29017 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc19562" 【考点6：直线的方向向量】 PAGEREF _Toc19562 \h 20【考点1：直线的倾斜角】【知识点：直线的倾斜角】当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.1．（2023·江西九江·高二校考阶段练习）直线的倾斜角α的取值范围是（ ）A．0,π B．[0,π) C．(0,π] D．[0,π]【答案】B【分析】利用直线倾斜角的定义得解.【详解】直线的倾斜角α的取值范围是[0,π)．故选：B．2．（2023·江苏·高二假期作业）如图，直线l的倾斜角为（ ） A．60° B．120°C．30° D．150°【答案】D【分析】根据图形结合三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得结果.【详解】由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°．故选：D3．（2022秋·高二课时练习）若直线 l 与 x 轴交于点 A ，其倾斜角为 α ，直线 l 绕点 A 顺时针旋转45°后得直线l1，则直线l1的倾斜角可能为（ ）A．α+45° B．α+135° C．α−45° D．135°−α【答案】BC【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.【详解】解析：当α≥45°时，直线l1的倾斜角为α−45°（如直线AC旋转至直线AD）；当0°≤α<45°时，直线l1的倾斜角为180°−(45°−α)=135°+α（如直线AD旋转至直线AB）.故选：BC.4．（2023·江西九江·高二校考阶段练习）经过原点和点(﹣1,1)的直线的倾斜角是−π4.( )【答案】错误【分析】设直线的倾斜角为α,α∈[0,π)，求出直线的斜率即得解.【详解】设直线的倾斜角为α,α∈[0,π)，因为直线的斜率k=tanα=1−0(−1)−0=−1，所以α=3π4，故答案为：错误5．（2023春·上海徐汇·高二上海市徐汇中学校考期末）已知直线l的方程为x2+y2=1，则直线l的倾斜角α= ．【答案】135°【分析】根据直线的方程求得直线l的斜率为k=−1，得到tanα=−1，进而求得α的值.【详解】由题意，直线l的方程为x2+y2=1，可得直线l的斜率为k=−1，即tanα=−1，又因为0∘≤α<180∘，所以α=135∘.故答案为：135∘.6．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线l1的倾斜角α1=15∘，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120∘，如图，则直线l2的倾斜角为 ． 【答案】135∘【分析】根据三角形的外角与内角的关系，结合直线倾斜角的定义可得出直线l2的倾斜角.【详解】设直线l2的倾斜角为α2，因为l1和l2向上的方向所成的角为120∘，所以，∠BAC=120∘，故α2=120∘+α1=120∘+15∘=135∘．故答案为：135∘.【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】【知识点：直线斜率与倾斜角的关系】若直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)，则斜率k＝tanα.1．（2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末）直线x−3y+1=0的倾斜角是（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】A【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.【详解】因为x−3y+1=0的斜率k=13=33，所以其倾斜角为30°.故选：A.2．（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）已知直线l:x+ay+6=0的倾斜角为60∘，则实数a=（ ）A．−3 B．−33 C．33 D．3【答案】B【分析】由题意可得直线l:x+ay+6=0的斜率为k=tan60°=−1a=3，解方程即可得出答案.【详解】已知直线l:x+ay+6=0的倾斜角为60∘，则直线l:x+ay+6=0的斜率为k=tan60°=−1a=3，则a=−33.故选：B.3．（2023春·内蒙古包头·高一统考期末）三条直线l1，l2，l3的位置如图所示，它们的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为（ ） A．k2>k1>k3 B．k2>k3>k1C．k3>k2>k1 D．k3>k1>k2【答案】B【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系判断即可.【详解】设三条直线l1，l2，l3的倾斜角为θii=1,2,3,由图可知0<θ3<θ2<π2<θ1<π,所以k2>k3>k1.故选：B.4．（2023春·河南南阳·高二统考期末）直线a，b，c的斜率分别为2，1，−2，倾斜角分别为α，β，γ，则（ ）A．α>β>γ B．γ>α>β C．γ>β>α D．α>γ>β【答案】B【分析】由于k=tanx,x∈0,π，由正切函数的图像性质可得倾斜角α，β，γ的大小关系.【详解】由于k=tanx,x∈0,π,x≠π2，由正切函数的图像性质可知，当x∈0,π2时，k为增函数，且k>0，由2>1，可知π2>α>β>0；当x∈π2,π时，k为增函数，且k<0，−2<0，所以γ>π2；所以γ>α>β，选项B正确.故选：B5．（2023·高二课时练习）设直线l的斜率为k，且−1≤k<3，则直线l的倾斜角α的取值范围为（ ）A．0,π3∪3π4,π B．0,π6∪3π4,πC．π6,3π4 D．0,π3∪3π4,π【答案】D【分析】分−1≤k<0、0≤k<3两种情况讨论，求出对应的α的取值范围，综合可得结果.【详解】由题意可知，α∈0,π，当−1≤k<0时，则α为钝角，且3π4≤α<π；当0≤k<3时，此时，0≤α<π3.综上所述，直线l的倾斜角α的取值范围为0,π3∪3π4,π.故选：D.6．（2023·全国·高一假期作业）设点A(2,−3)､B(−3,−2)，若直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）A．k≥34或k≤−4 B．k≥34或k≤−14C．−4≤k≤34 D．−34≤k≤4【答案】A【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.【详解】如图所示： 依题意，kPA=−3−12−1=−4,kPB=−2−1−3−1=34，要想直线l过点P(1,1)且与线段AB相交，则k≥34或k≤−4，故选：A7．（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中学校联考期中）已知点A(1,3)，B(−2,1)，若直线l:kx−y+k−1=0与线段AB有公共点，则k的取值范围是（ ）A．k≥2 B．k≤−2C．k≥2或k≤−2 D．−2≤k≤2【答案】C【分析】由直线的方程得直线所过定点坐标，求k的临界值，得k的取值范围.【详解】直线l：y=k(x+1)−1经过定点P(−1,−1)，kPA=2，kPB=−2．又直线l：y=k(x+1)−1与线段AB相交，所以k≥2或k≤−2，故选：C．8．（2023春·上海宝山·高一统考期末）在平面直角坐标系xOy中，锐角θ的大小如图所示，则tanθ= . 【答案】23【分析】根据直线倾斜角的概念，结合正切函数的和角公式，可得答案.【详解】由O0,0，P1,5，则直线OP的方程为y=5x，设其倾斜角为α，即α=θ+π4，由tanα=5，则tanθ+π4=5，即tanθ+tanπ41−tanθtanπ4=5，解得tanθ=23.故答案为：23.9．（2023·江苏·高二假期作业）已知A3,3,B−4,2,C0,−2．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．【答案】(1)直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53(2)17,53【分析】（1）根据斜率公式运算求解；（2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解.【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=2−3−4−3=17，直线AC的斜率kAC=3−−23−0=53，故直线AB的斜率为17，直线AC的斜率为53.（2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是17,53． 10．（2023·江苏·高二假期作业）已知两点A(−3,4),B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．【答案】(1)(−∞,−1]∪[1,+∞)．(2)45°≤α≤135°．【分析】（1）由图可知要使直线l与线段AB有公共点，只需直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB，从而可求得答案；（2）由斜率与倾斜角的关系可求出直线l的倾斜角α的取值范围．【详解】（1）因为A(−3,4),B(3,2)，P(1,0)，所以kPA=4−0−3−1=−1,kPB=2−03−1=1因为直线l与线段AB有公共点，所以由图可知直线l的斜率k满足k≤kPA或k≥kPB，所以直线l的斜率k的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)． （2）由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，因为直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°．【考点3：过两点的斜率公式】【知识点：过两点的斜率公式】P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).1．（2023春·江西赣州·高二上犹中学校考期末）已知点A2,1，B3,2，则直线AB的倾斜角为（ ）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】B【分析】根据两点间斜率公式求解即可；【详解】解析：k=tanα=2−13−2=1，又因为0°≤α<180°所以α=45°，故选：B.2．（2023春·上海普陀·高二上海市宜川中学校考期末）已知直线l经过点A(3,3)、B(3,1)．直线l的倾斜角是 ．【答案】π6/30°【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可.【详解】因为过A(3,3)、B(3,1)两点的直线的斜率为：k=3−13−3=33，因为k=tanα，α是直线的倾斜角，且α∈0,π所以直线的倾斜角为：α=π6．故答案为：π6.3．（2023·江苏·高二假期作业）过不重合的A(m2+2,m2−3),B(3−m−m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°，则m的取值为 ．【答案】−2【分析】由题意得m2−3−2mm2+2−(3−m−m2)=1，可求出m的取值.【详解】由题意知kAB=tan45°=1，所以m2−3−2mm2+2−(3−m−m2)=1，即m2−3−2mm2+2−3+m+m2=1，化简得m2+3m+2=0，解得m=−1或m=−2当m=−1时，A(3,−2),B(3,−2)重合，不符合题意舍去，当m=−2时，A(6,1),B(1,−4)，符合题意，所以m=−2，故答案为：−24．（2023·江苏·高二假期作业）过两点A(5,y)，B(3,－1)的直线的倾斜角是135°，则y等于 ．【答案】－3【分析】利用直线斜率与倾斜角关系和斜率公式k=tanα=y2−y1x2−x1可得答案.【详解】因为斜率k＝tan 135°＝－1，所以k=y+15−3=−1，得y＝－3．故答案为：−3.【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.1．（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数a∈R，直线l1：x+ay−2=0，l2：ax+y+1=0，则a=1是l1//l2的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出a，再确定充分性和必要性即可.【详解】因为直线l1：x+ay−2=0，l2：ax+y+1=0，当l1//l2时1×1=a21×1≠−2a，解得a=±1，所以a=1是l1//l2的充分不必要条件.故选：A2．（2023春·四川成都·高二成都七中校考期末）直线l1:x+ay−1=0与直线l2:ax+y+1=0平行，则a=（ ）A．0 B．1 C．−1 D．1或−1【答案】B【分析】由已知结合直线的一般式方程平行条件建立关于a的方程，可求．【详解】解：因为直线l1:x+ay−1=0与直线l2:ax+y+1=0平行，所以1×1=a×a，所以a=1或a=−1，当a=−1时，直线l1:x−y−1=0与直线l2:−x+y+1=0重合，舍去，故a=1．故选：B．3．（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知两条直线l1：x+a2y+6=0，l2：a−2x+3ay+2a=0，若l1//l2，则a=（ ）A．-1或0或3 B．-1或3 C．0或3 D．-1或0【答案】D【分析】由l1//l2可得3a−a2a−2=0解得a=0或a=−1或a=3，代入检验即可得出答案.【详解】l1：x+a2y+6=0，l2：a−2x+3ay+2a=0，若l1//l2，则3a−a2a−2=0，即aa2−2a−3=0aa+1a−3=0，解得：a=0或a=−1或a=3，当a=0时，l1：x+6=0，l2：x=0，则l1//l2；当a=−1时，l1：x+y+6=0，l2：3x+3y+2=0，则l1//l2；当a=3时，l1：x+9y+6=0，l2：x+9y+6=0，则l1与l2重合，舍去；故选：D.4．（多选）（2022秋·高二单元测试）已知A2,4与B3,3到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）A．x+y=0 B．x−y=0C．x+y−6=0 D．x−y+1=0【答案】ACD【分析】使得点A2,4与B3,3到直线l的距离相等的直线有两类，①类是过A、B的中点的直线，②类是与AB平行的直线，求出A、B的中点与斜率，即可判断.【详解】因为A2,4与B3,3的中点为52,72，且kAB=4−32−3=−1，所以使得点A2,4与B3,3到直线l的距离相等的直线有两类，①类是过A、B的中点的直线，②类是与AB平行的直线，显然x+y−6=0、x−y+1=0过点52,72，故C、D正确；直线x+y=0的斜率为−1与AB平行，故A正确；直线x−y=0的斜率为1与AB垂直，且不过点52,72，故B错误；故选：ACD5．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）直线x+my=2与直线mx+16y=8平行，则实数m= ．【答案】−4【分析】根据两直线平行，列出方程求解并验证作答.【详解】依题意，1×16=m×m，解得m=±4，当m=4时，直线x+4y=2与直线4x+16y=8，即x+4y=2重合，不符合题意，当m=−4时，直线x−4y=2与直线−4x+16y=8，即x−4y=−2平行，符合题意，所以m=−4.故答案为：−46．（2022秋·云南临沧·高二校考阶段练习）已知直线l1：3x+ay+1=0，l2：a+2x+y+a=0.当l1∥l2时，a= .【答案】−3【分析】根据直线方程一般式中平行满足的系数关系即可列方程组求解.【详解】当l1∥l2时，则需满足1×3=aa+23a≠a+2，解得a=−3，故答案为：−37．（2023·江苏·高二假期作业）设直线l的方程为(m2−2m−3)x−(2m2+m−1)y+6−2m=0，若直线l与y轴平行，求实数m的值【答案】12【分析】由2m2+m−1=0，解得m=−1或m=12，再代入直线方程检验即可.【详解】若直线l与y轴平行，则2m2+m−1=0，解得m=−1或m=12，当m=−1时，直线l的方程为8=0，不成立；当m=12时，直线l的方程为x=43,符合题意；综上，实数m的值为12．8．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各题中直线l1与l2是否平行．(1)l1经过点A(−1,−2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(−1,−1)；(2)l1经过点A(−3,2)，B(−3,10)，l2经过点M(5,−2)，N(5,5)．【答案】(1)不平行(2)平行【分析】（1）求出kl1、kl2，即可判断；（2）求出l1、l2的方程，即可判断.【详解】（1）因为l1经过点A(−1,−2)，B(2,1)，所以kl1=−2−1−1−2=1，又l2经过点M(3,4)，N(−1,−1)，所以kl2=−1−4−1−3=54，因为kl1≠kl2，所以l1与l2不平行；（2）直线l1经过点A(−3,2)，B(−3,10)的方程为x=−3，直线l2经过点M(5,−2)，N(5,5)的方程为x=5，故直线l1和直线l2平行；9．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)；(2)l1的斜率为−10，l2经过点A(10,2),B(20,3).【答案】(1)不平行，理由见解析(2)不平行，理由见解析【分析】（1）分别计算出l1和l2的斜率，再比较两斜率是否相等即可；（2）求出l2的斜率，再与l1的斜率比较即可.【详解】（1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1经过点A(2,3),B(−4,0)，l2经过点M(−3,1),N(−2,2)，所以k1=3−02−(−4)=12，k2=1−2−3−(−2)=1，所以k1≠k2，所以l1与l2不平行；（2）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1=−10，因为l2经过点A(10,2),B(20,3)，所以k2=3−220−10=110，所以k1≠k2，所以l1与l2不平行.10．（2023秋·广东广州·高二广州市培正中学校考期中）已知四边形MNPQ的顶点M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2).(1)求斜率kMN与斜率kPQ；(2)求证：四边形MNPQ为矩形.【答案】(1)kMN=−1,kPQ=−1(2)证明见解析【分析】（1）利用斜率公式求解即可；（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得MN//PQ，MQ//NP，MN⊥MQ，从而得证.【详解】（1）因为M(1,1),N(3,−1),P(4,0),Q(2,2)，所以kMN=−1−13−1=−1,kPQ=2−02−4=−1，即kMN=−1,kPQ=−1.（2）因为kMN=−1,kPQ=−1，所以MN//PQ.又因为kMQ=2−12−1=1,kNP=−1−03−4=1，所以MQ//NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，又因为kMN⋅kMQ=−1，所以MN⊥MQ，所以四边形MNPQ为矩形.【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.1．（2023·江苏·高二假期作业）两直线的斜率分别是方程x2+2022x−1=0的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）A．垂直 B．斜交C．平行 D．重合【答案】A【分析】由题意利用根与系数的关系可得两直线的斜率乘积为−1，从而可判断出两直线的位置关系.【详解】设两直线的斜率分别为k1，k2，因为k1，k2是方程x2+2022x−1=0的两根，所以利用根与系数的关系得k1⋅k2=−1，所以两直线的位置关系是垂直．故选：A．2．（2023春·上海杨浦·高二校考期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（ ）A．2x−3y−5=0与4x−6y−5=0 B．2x−3y−5=0与4x+6y−5=0C．2x−3y−5=0与3x−2y−5=0 D．2x−3y−5=0与6x+4y−5=0【答案】D【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为−1两直线垂直，即可判断.【详解】对于A：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线4x−6y−5=0的斜率为23，故两直线平行，故A错误；对于B：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线4x+6y−5=0的斜率为−23，斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故B错误；对于C：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线3x−2y−5=0的斜率为32，斜率之积不为−1，即两直线不垂直，故C错误；对于D：直线2x−3y−5=0的斜率为23，直线6x+4y−5=0的斜率为−32，斜率之积为−1，即两直线垂直，故D正确；故选：D.3．（2023春·贵州安顺·高二统考期末）已知直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x−ay+3=0，其中a∈R，则“a=−1”是“l1⊥l2”的（ ）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用两直线垂直求出a的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】直线l1：ax+a+2y+1=0，l2：x−ay+3=0，由l1⊥l2，得a−a(a+2)=0，解得a=0或a=−1，所以“a=−1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选：C.4．（2023·上海长宁·高二上海市延安中学校考期中）已知直线l1:x−y−1=0，动直线l2:k+1x+ky+k=0k∈R，则下列结论错误的是（ ）A．存在k，使得l2的倾斜角为π2；B．对任意的k，l1与l2都有公共点；C．对任意的k，l1与l2都不重合；D．对任意的k，l1与l2都不垂直；【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率的关系取特殊值判断A；联立l1与l2的方程，由(2k+1)x=0恒有解判断B；取k=−12时，l1与l2重合，判断C；由两直线垂直斜率的关系判断D.【详解】解：当k=0时，l2的倾斜角为π2，此时l2的方程为x=0，故A正确；联立方程组x−y−1=0k+1x+ky+k=0，得(2k+1)x=0，此方程恒有解，故对任意的k，l1与l2都有公共点，B正确；当k=−12时，k+11=k−1=k−1，此时l1与l2重合，故C错误；因为l1:x−y−1=0的斜率为1，当k=0时，l1与l2不垂直；当k≠0时，l2的斜率k+1−k=−1−1k≠−1，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，D正确；故选：C.5．（多选）（2023·江苏·高二假期作业）以A(−1,1),B(2,−1),C(1,4)为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）A．kAB=−23B．kBC=−14C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算kAB⋅kAC判断，对于D，通过计算kAB⋅kBC判断.【详解】对于A，因为A(−1,1),B(2,−1)，所以kAB=1−(−1)−1−2=−23，所以A正确，对于B，因为B(2,−1),C(1,4)，所以kBC=−1−42−1=−5≠−14，所以B错误，对于C，因为kAB=−23，kAC=1−4−1−1=32，所以kAB⋅kAC=−23×23=−1，所以AB⊥AC，所以△ABC以A点为直角顶点的直角三角形，所以C正确， 对于D，因为kAB=−23，kBC=−5，所以kAB⋅kBC≠−1，所以D错误，故选：AC6．（多选）（2022秋·山东济南·高二校考期中）若l1与l2为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α1,α2，斜率分别为k1,k2，则下列命题正确的是（ ）A．若斜率k1=k2，则 l1∥l2 B．若k1k2=−1，则l1⊥l2 C．若倾斜角α1=α2，则 l1∥l2 D．若α1+α2=π，则l1⊥l2【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项ABC，举反例可判断D.【详解】对于A, 若两直线斜率k1=k2，则它们的倾斜角α1=α2，则l1∥l2，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若k1k2=−1，则l1⊥l2，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角α1=α2，则 l1∥l2，正确；对于D, 若α1+α2=π，不妨取α1=π3,α2=2π3，则k1=tanα1=3,k2=tanα2=−3，不满足k1k2=−1，l1,l2不垂直，D错误，故选：ABC7．（2023春·上海虹口·高二统考期末）若直线l1：ax+2y+3a=0.与直线l2：2x+a−1y+4=0互相垂直，则实数a的值为 .【答案】12/0.5【分析】利用两直线垂直的充要条件，列出关于a的方程，即可求得答案．【详解】∵直线ax+2y+3a=0与直线2x+a−1y+4=0垂直，∴a×2+2(a−1)=0，解得a=12．故答案为：12．8．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知直线l1:x+y=0和l2:2x−ay+3=0a∈R，若l1⊥l2，则a= .【答案】2【分析】直接根据直线垂直公式计算得到答案.【详解】直线l1:x+y=0和l2:2x−ay+3=0a∈R，l1⊥l2，则1×2−a×1=0，解得a=2.故答案为：2.9．（2023春·江苏镇江·高二校考期中）已知直线l1过点A−2,m和点Bm,4，直线l2:2x+y−1=0，直线l3:x+ny+1=0.若l1∥l2，l2⊥l3，则m+n= .【答案】−10【分析】根据直线垂直和平行满足的斜率关系即可求解.【详解】由于直线l2的斜率为−2，且l1∥l2，直线l1的斜率为4−mm+2=−2，解得m=−8.由于l2⊥l3，l2的斜率为−2，直线l3的斜率为−1n，，∴−2×−1n=−1，解得n=−2，∴m+n=−10.故答案为：−1010．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由．(1)l1经过点A(−3,−4),B(1,3), l2经过点M(−4,−3),N(3,1)；(2)l1经过点A(3,4),B(3,10), l2经过点M(−10,40),N(10,40)．【答案】(1)不垂直，理由见解析(2)垂直，理由见解析【分析】（1）由题知直线l1，l2的斜率存在，分别计算出l1、l2的斜率，即可判断（1）组直线不垂直；（2）由题知l1⊥x轴，l2∥x轴，即可判断（2）组直线垂直.【详解】（1）由题知直线l1，l2的斜率存在，分别设为k1,k2，k1=3−−41−−3=74，k2=1−−33−−4=47，∴k1⋅k2=1，∴l1与l2不垂直．（2）由题意知l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；由题知直线l2的斜率存在，设为k3，k3=40−4010−(−10)=0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2．11．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，并说明理由．(1)l1:3x−2y−7=0，l2:2x+3y−1=0；(2)l1:y−2=0，l2:y+1=0．【答案】(1)垂直，理由见解析(2)平行，理由见解析【分析】分别写出直线l1, l2的斜率，即可判断出其位置关系.【详解】（1）设直线l1, l2的斜率分别为k1，k2．因为k1=32，k2=−23，所以k1⋅k2=−1从而l1与l2垂直;（2）因为k1=k2=0，−2≠1，从而l1与l2平行．12．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线l1:ax+2y−3=0，l2:3x+(a+1)y−a=0，求满足下列条件的a的值．(1)l1//l2；(2)l1⊥l2．【答案】(1)a=2(2)a=−25【分析】（1）解法一：利用两条直线平行的充要条件，列式求解即可；解法二：将直线方程化为斜截式，根据两直线平行的充要条件，列式求解即可；（2）解法一：利用两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．解法二：将直线方程化为斜截式，根据两条直线垂直的充要条件，列式求解即可．【详解】（1）法一：因为直线l1:ax+2y−3=0，l2:3x+(a+1)y−a=0，且l1//l2，则a(a+1)−2×3=0a(−a)−(−3)×3≠0，解得a=2；法二：直线l1:y=−a2x+32，当a=−1时，l2:x=−13与l1不平行；当a≠−1时，直线l2:y=−3a+1x+aa+1，∵l1//l2，∴−a2=−3a+1且32≠aa+1，解得a=2．（2）法一：因为直线l1:ax+2y−3=0，l2:3x+(a+1)y−a=0，且l1⊥l2，则3a+2(a+1)=0，解得a=−25．法二：直线l1:y=−a2x+32，当a=−1时，l2:x=−13与l1不垂直；当a≠−1时，直线l2:y=−3a+1x+aa+1，∵l1⊥l2，∴−a2×−3a+1=−1，解得a=−25.【考点6：直线的方向向量】【知识点：直线的方向向量】我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为(-,-). 当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即=(1,k),其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=.1．（2023春·上海黄浦·高二格致中学校考期中）若直线l的一个方向向量为−1,3，则它的倾斜角为（ ）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果．【详解】依题意，−1,3是直线l的一个方向向量，所以直线l的斜率k=−3，所以直线l的倾斜角为120°．故选：C．2．（2022秋·高二课时练习）已知直线l的一个方向向量为AB→=−3，3，则直线l的倾斜角α=（ ）A．30∘ B．60∘ C．120∘ D．150∘【答案】C【分析】由直线l的一个方向向量求出直线斜率，从而可得答案.【详解】因为直线l的一个方向向量为AB→=−3，3，所以直线l的斜率k=tanα=3−3=−3，又因为0∘≤α<180∘，所以α=120∘，故选：C.3．（2023春·安徽合肥·高二统考开学考试）直线x+2y+1=0的一个方向向量是（ ）A．1,−2 B．1,2 C．2,−1 D．2,1【答案】C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可.【详解】因为直线x+2y+1=0可化为y=−12x−12，所以直线x+2y+1=0的斜率为k=−12，则直线的一个方向向量为1,−12，对于A，(1,−2)与1,−12不平行，故A错误；对于B，(1,2)与1,−12不平行，故B错误；对于C，(2,−1)=21,−12，故(2,−1)与1,−12平行，则(2,−1)也是直线x+2y+1=0的一个方向向量，故C正确；对于D，(2,1)与1,−12不平行，故D错误.故选：C.4．（2023·重庆·重庆南开中学校考模拟预测）已知直线l的一个方向向量为p=sinπ3,cosπ3，则直线l的倾斜角为（ ）A．π6 B．π3 C．2π3 D．4π3【答案】A【分析】由方向向量的坐标得出直线的斜率，再求倾斜角即可.【详解】由题意可得：直线l的斜率k=cosπ3sinπ3=33=tanπ6，即直线l的倾斜角为π6.故选：A5．（多选）（2022秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知直线l1:ax+3y+4=0,l2:x+a−2y+a2−5=0，则（ ）A．若a=1，则l1的一个方向向量为3,−1 B．若l1∥l2，则a=−1或a=3C．若l1⊥l2，则a=32 D．若l1不经过第二象限，则a≤0【答案】ACD【分析】代入a=1，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将l1化简得y=−a3x−43，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当a=1时，l1:x+3y+4=0，斜率为−13，则其一个方向向量为3,−1，故A正确；对B，若l1∥l2，当a=2时，显然不合题意，则a≠2，则直线l1的斜率k1=−a3，直线l2的斜率k2=−1a−2，则有k1=k2，即a3=1a−2，解得a=3或−1，当a=−1时，此时直线l1:−x+3y+4=0,l2:x−3y−4=0，显然两条直线重合，故B错误；对C，若l1⊥l2，当a=2时，显然不合题意，则a≠2，则k1⋅k2=−1，即a3⋅1a−2=−1，解得a=32，故C正确；对D，若l1不经过第二象限，l1:ax+3y+4=0，化简得y=−a3x−43，则−a3≥0，解得a≤0，故D正确；故选：ACD.6．（2022秋·福建宁德·高二统考期中）已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是（ ）A．l的一个方向向量为n=(3,1) B．l的一个法向量为m=(1,3)C．l与直线3x−3y+2=0平行 D．l与直线3x+y+2=0垂直【答案】ACD【分析】根据已知条件，结合方向向量，法向量的定义，以及直线平行、垂直的性质，即可求解.【详解】直线l的倾斜角等于30°，则直线l的斜率为tan30°=33，对于A，因为直线l的斜率为33，则l的一个方向向量为n=(3,1)，A正确；对于B，m⋅n=3+3≠0，法向量m=(1,3)与直线l不垂直，B错；对于C，直线3x−3y+2=0的斜率为33，且不过(0,1)，C正确；对于D，直线3x+y+2=0的斜率为−3，则斜率之积为−1，故两直线垂直，D正确.故选：ACD7．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考模拟预测）若直线l的一个方向向量d=(−1,1)，则l的倾斜角等于 .【答案】3π4/34π【分析】计算得tanα=−1，即可得到倾斜角大小.【详解】设直线l的倾斜角为α，则tanα=1−1=−1，∵α∈0,π，则α=3π4.故答案为：3π4.8．（2022秋·高二课时练习）已知A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(−1,b)四点在同一条直线l上.(1)求直线l的斜率k及a，b的值；(2)求直线l的一个方向向量及法向量.【答案】(1)2；a=4,b=−3.(2)方向向量(1,2)，法向量−2,1.【分析】（1）根据题意，由四点共线可得kAC=kAD，列出方程即可得到结果；（2）根据题意，直接由直线方程即可得到结果.【详解】（1）由A(1,1),B(3,5)，得k=kAB=5−13−1=2.∵A(1,1),B(3,5),C(a,7),D(−1,b)四点在同一条直线上，∴kAC=kAD=2，即7−1a−1=b−1−1−1=2，解得a=4,b=−3.（2）易知直线l的一个方向向量为u=(1,k)=(1,2)，∴直线l的一个法向量为−2,1.
相关资料
更多
