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高一数学新教材同步配套教学讲义(人教A版必修第二册)第六章平面向量及其应用单元综合测试卷(原卷版+解析)
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第六章 平面向量及其应用 单元综合测试卷一、单选题1．(2023·广西·鹿寨县鹿寨中学高二阶段练习（文））已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ）A．3 B．1 C． D．22．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是边上一点，，则（ ）A． B．C． D．3．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（ ）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形4．（2023·浙江义乌·高一期末）设向量与的夹角为，，，则（ ）A． B．1C． D．5．(2023·广西河池·高二期末（文））若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（ ）A． B． C． D．6．(2023·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）A． B． C． D．7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，满足，，D为线段OA上一点，E为△AOB的外心，则的值为（ ）A． B． C． D．28．（2023·湖北·武钢三中高一期中）在锐角中，若，则的范围（ ）A． B． C． D． 二、多选题9．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）已知平面向量，且，则（ ）A． B．向量与的夹角为C． D．10．（2023·河北·武安市第一中学高一阶段练习）△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三阶段练习）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角12．（2023·全国·模拟预测）在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）A．B．若F为AE的中点，则C．若，，，则D．若，且，则三、填空题13．(2023·广西玉林·模拟预测（文））已知，则____________.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，则在方向上的投影向量的模为__________.15．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________.16．（2023·陕西·西安市铁一中学高三阶段练习（理））在锐角中，内角所对的边分别是，，则的取值范围是________.四、解答题17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的对边分别为，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面积．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圆半径为，且，求的面积．19．(2023·北京昌平·高一期末）设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.20．（2023·天津·南开中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，.(1)求角C的大小；(2)求的值；(3)求的值.21．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．（1）求的最大值；（2）若，求的范围．22．（2023·河南新郑·高二阶段练习（文））铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.（1）若时，求的长；（2）当是多大时，求面积的最大值. 第六章 平面向量及其应用 单元综合测试卷一、单选题1．(2023·广西·鹿寨县鹿寨中学高二阶段练习（文））已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ）A．3 B．1 C． D．2答案：B【解析】分析：给两边平方化简可求得答案【详解】因为，所以，因为，平面向量，的夹角为45°，所以，化简得，解得或（舍去）.故选：B2．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是边上一点，，则（ ）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】故选：A3．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（ ）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形答案：A【解析】分析：根据正弦定理进行边角互化，再利用三角函数公式化简可得，即可得到答案.【详解】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形状一定是等腰三角形，故选：A．4．（2023·浙江义乌·高一期末）设向量与的夹角为，，，则（ ）A． B．1C． D．答案：D【解析】分析：根据题意先求出，再利用数量积关系即可求出.【详解】设，则，所有，解得，所以.故选：D.5．(2023·广西河池·高二期末（文））若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（ ）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：依题意可得且与不共线，根据向量数量积的坐标表示及向量共线的充要条件得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为且向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以，解得且，所以；故选：D6．(2023·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.【详解】设，如图所示：则，因为与的夹角为120°，所以，因为，且的起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，所以当时，最小，最小值为，无最大值，所以的取值范围为，故选；A7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，满足，，D为线段OA上一点，E为△AOB的外心，则的值为（ ）A． B． C． D．2答案：D【解析】分析：以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算可得的值.【详解】由得，以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，设，，，则，∴，∴.故选：D.8．（2023·湖北·武钢三中高一期中）在锐角中，若，则的范围（ ）A． B． C． D． 答案：A【解析】分析：由正弦定理得，再由三角形是锐角三角形和已知角的关系得出，根据余弦函数的单调性可得选项.【详解】由正弦定理得，∵是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有，，解得，余弦函数在此范围内是减函数．故．∴.故选：A．【点睛】本小题主要考查正弦定理、二倍角公式和余弦函数的性质，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用，解决本题时要注意到三角形是锐角三角形要求每个角都是锐角，属于中档题.二、多选题9．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）已知平面向量，且，则（ ）A． B．向量与的夹角为C． D．答案：BD【解析】分析：由条件可得，，然后根据向量的运算逐一判断即可.【详解】由得，由得，，选项A错误.向量与的夹角为，选项B正确；，而，，选项C错误；，选项D正确.故选：BD.10．（2023·河北·武安市第一中学高一阶段练习）△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）A． B． C． D．答案：AB【解析】分析：先用余弦定理求出的长，再求出边AC上的高.【详解】由余弦定理得：，解得：或3，经检验均符合，设边AC上的高是，当时，；当时，故选：AB11．（2023·全国·高三阶段练习）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角答案：BCD【解析】分析：根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.【详解】A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；故选：BCD.12．（2023·全国·模拟预测）在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）A．B．若F为AE的中点，则C．若，，，则D．若，且，则答案：ACD【解析】分析：取的中点，则也是的中点，根据向量的加法运算即可判断A；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断C；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D.【详解】解：对于A，取的中点，则也是的中点，则有，所以，故A正确；对于B，若F为AE的中点，则，故B错误；对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以，，，故C正确；对于D，由A选项得，，由，因为，所以，即，因为，所以，平分，在中，，所以，所以为等边三角形，所以，故选：D.故选：ACD.三、填空题13．(2023·广西玉林·模拟预测（文））已知，则____________.答案：【解析】分析：已知，可借助两边平方带入、即可完成求解.【详解】将两边平方，得，得.故答案为：.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，则在方向上的投影向量的模为__________.答案：【解析】分析：由得到，再根据得到，即得解.【详解】解：在中，即所以，故，即，故解得或，B为直角的内角，故，又，故在方向上的投影向量的模为.故答案为：15．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________.答案：【解析】分析：如图，以点为坐标系原点，所在直线为轴，DA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性，只需求解点在线段上运动时的最小值即可.【详解】以点为坐标系原点，所在直线为轴，DA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，则，所以因为，所以，所以的最小值为.故答案为：16．（2023·陕西·西安市铁一中学高三阶段练习（理））在锐角中，内角所对的边分别是，，则的取值范围是________.答案：【解析】分析：由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】因为，则由正弦定理， 可得， ，所，由是锐角三角形，可得，，则，所以，.所以.故答案为：四、解答题17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的对边分别为，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面积．【解析】(1)由，而，，，由余弦定理得：．(2)由（1）知，，又，则．而，得，．．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圆半径为，且，求的面积．【解析】(1)由已知及正弦定理得，又，∴，∴，∴，∴，即，∴，又，∴．(2)∵的外接圆半径，∴，∴，由余弦定理得，即，则，∴的面积．19．(2023·北京昌平·高一期末）设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【解析】(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.20．（2023·天津·南开中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，.(1)求角C的大小；(2)求的值；(3)求的值.【解析】(1)解：由正弦定理将角化为边整理得： 所以又所以(2)解：由（1）知，，又，由正弦定理得：即解得：(3)解：由题知，，即所以所以为锐角由（2）知，所以所以所以即.21．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．（1）求的最大值；（2）若，求的范围．【解析】∵，∴A、P、D三点共线又∵，∴在线段上.∵为中点，设，则，， ∴====，∴的最大值为2（2）如图，以D为原点，BC为轴，为轴，建立坐标系，∵，，∴，设，则∴=，∵，∴22．（2023·河南新郑·高二阶段练习（文））铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.（1）若时，求的长；（2）当是多大时，求面积的最大值.【解析】（1）如图所示，因为，易知，，，在中，由余弦定理易知，且即，解得（2）设，，，在中，由余弦定理易知，，即，①，，即②，由正弦定理易知③，将①②③代入下列式子中：，则当时，取最大值，最大值为.
第六章 平面向量及其应用 单元综合测试卷一、单选题1．(2023·广西·鹿寨县鹿寨中学高二阶段练习（文））已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ）A．3 B．1 C． D．22．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是边上一点，，则（ ）A． B．C． D．3．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（ ）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形4．（2023·浙江义乌·高一期末）设向量与的夹角为，，，则（ ）A． B．1C． D．5．(2023·广西河池·高二期末（文））若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（ ）A． B． C． D．6．(2023·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）A． B． C． D．7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，满足，，D为线段OA上一点，E为△AOB的外心，则的值为（ ）A． B． C． D．28．（2023·湖北·武钢三中高一期中）在锐角中，若，则的范围（ ）A． B． C． D． 二、多选题9．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）已知平面向量，且，则（ ）A． B．向量与的夹角为C． D．10．（2023·河北·武安市第一中学高一阶段练习）△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）A． B． C． D．11．（2023·全国·高三阶段练习）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角12．（2023·全国·模拟预测）在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）A．B．若F为AE的中点，则C．若，，，则D．若，且，则三、填空题13．(2023·广西玉林·模拟预测（文））已知，则____________.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，则在方向上的投影向量的模为__________.15．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________.16．（2023·陕西·西安市铁一中学高三阶段练习（理））在锐角中，内角所对的边分别是，，则的取值范围是________.四、解答题17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的对边分别为，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面积．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圆半径为，且，求的面积．19．(2023·北京昌平·高一期末）设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.20．（2023·天津·南开中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，.(1)求角C的大小；(2)求的值；(3)求的值.21．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．（1）求的最大值；（2）若，求的范围．22．（2023·河南新郑·高二阶段练习（文））铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.（1）若时，求的长；（2）当是多大时，求面积的最大值. 第六章 平面向量及其应用 单元综合测试卷一、单选题1．(2023·广西·鹿寨县鹿寨中学高二阶段练习（文））已知平面向量，的夹角为45°，且，，则（ ）A．3 B．1 C． D．2答案：B【解析】分析：给两边平方化简可求得答案【详解】因为，所以，因为，平面向量，的夹角为45°，所以，化简得，解得或（舍去）.故选：B2．(2023·云南昆明·一模（文））在中，是边上一点，，则（ ）A． B．C． D．答案：A【解析】分析：根据向量的加法、减法、数乘运算求解即可.【详解】故选：A3．（2023·贵州金沙·高二阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，则的形状一定是（ ）A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形答案：A【解析】分析：根据正弦定理进行边角互化，再利用三角函数公式化简可得，即可得到答案.【详解】由正弦定理，得，又在中，，所以，所以，即，故的形状一定是等腰三角形，故选：A．4．（2023·浙江义乌·高一期末）设向量与的夹角为，，，则（ ）A． B．1C． D．答案：D【解析】分析：根据题意先求出，再利用数量积关系即可求出.【详解】设，则，所有，解得，所以.故选：D.5．(2023·广西河池·高二期末（文））若向量，则向量与的夹角为锐角的充要条件是（ ）A． B． C． D．答案：D【解析】分析：依题意可得且与不共线，根据向量数量积的坐标表示及向量共线的充要条件得到不等式组，解得即可；【详解】解：因为且向量与的夹角为锐角，所以且与不共线，所以，解得且，所以；故选：D6．(2023·北京朝阳·高三期末）已知平面向量，满足，与的夹角为120°，记，的取值范围为（ ）A． B． C． D．答案：A【解析】分析：设，根据与的夹角为120°，得到，再根据，得到的终点在直线AB上求解.【详解】设，如图所示：则，因为与的夹角为120°，所以，因为，且的起点相同，所以其终点共线，即在直线AB上，所以当时，最小，最小值为，无最大值，所以的取值范围为，故选；A7．(2023·新疆·一模（文））已知平面向量，满足，，D为线段OA上一点，E为△AOB的外心，则的值为（ ）A． B． C． D．2答案：D【解析】分析：以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设，，利用数量积的坐标运算可得的值.【详解】由得，以O为原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，设，，，则，∴，∴.故选：D.8．（2023·湖北·武钢三中高一期中）在锐角中，若，则的范围（ ）A． B． C． D． 答案：A【解析】分析：由正弦定理得，再由三角形是锐角三角形和已知角的关系得出，根据余弦函数的单调性可得选项.【详解】由正弦定理得，∵是锐角三角形，∴三个内角均为锐角，即有，，解得，余弦函数在此范围内是减函数．故．∴.故选：A．【点睛】本小题主要考查正弦定理、二倍角公式和余弦函数的性质，考查学生分析问题、解决问题的能力和数形结合思想的应用，解决本题时要注意到三角形是锐角三角形要求每个角都是锐角，属于中档题.二、多选题9．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）已知平面向量，且，则（ ）A． B．向量与的夹角为C． D．答案：BD【解析】分析：由条件可得，，然后根据向量的运算逐一判断即可.【详解】由得，由得，，选项A错误.向量与的夹角为，选项B正确；，而，，选项C错误；，选项D正确.故选：BD.10．（2023·河北·武安市第一中学高一阶段练习）△ABC中，，A=60°，AC=4，则边AC上的高是（ ）A． B． C． D．答案：AB【解析】分析：先用余弦定理求出的长，再求出边AC上的高.【详解】由余弦定理得：，解得：或3，经检验均符合，设边AC上的高是，当时，；当时，故选：AB11．（2023·全国·高三阶段练习）人民英雄纪念碑位于北京天安门广场中心，是中华人民共和国政府为纪念中国近现代史上的革命烈士而修建的纪念碑．正面镌刻着毛泽东同志所题写的“人民英雄永垂不朽”八个金箔大字．在中国共产党百年华诞到来之际，某学校计划组织学生去瞻仰人民英雄纪念碑，并用学到的数学知识测量其高度．现准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度）、量角器（可测量平面角度）（工具不一定都要使用），不同小组设计了如下不同的测量方案，其中一定能测量出纪念碑高度的方案有（ ）A．在水平地面上任意寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离B．在水平地面上寻找两点，分别测量纪念碑顶端的仰角，，再测量，两点间距离和两点相对于纪念碑底部的张角C．在纪念碑正东方向找到一座建筑物（低于纪念碑），测得建筑物的高度为，在该建筑物顶部和底部分别测得纪念碑顶端的仰角和D．在纪念碑的正前方处测得纪念碑顶端的仰角，正对纪念碑前行5米到达处再次测量纪念碑顶端的仰角答案：BCD【解析】分析：根据各选项的描述，结合正余定理的边角关系判断所测数据是否可以确定纪念碑高度即可.【详解】A：如果，两点与纪念碑底部不在一条直线上时，就不能测量出纪念碑高度，故不正确．B：在直角三角形△和△中用来表示，，在△中用余弦定理就可以计算出纪念碑高度，故正确．C：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；D：如下图，△中由正弦定理求，则纪念碑高，正确；故选：BCD.12．（2023·全国·模拟预测）在中，D，E分别是线段BC上的两个三等分点（D，E两点分别靠近B，C点），则下列说法正确的是（ ）A．B．若F为AE的中点，则C．若，，，则D．若，且，则答案：ACD【解析】分析：取的中点，则也是的中点，根据向量的加法运算即可判断A；根据平面向量基本定理及线性运算即可判断B；根据平面向量数量积的运算律即可判断C；根据平面向量基本定理及线性运算结合等腰三角形的性质即可判断D.【详解】解：对于A，取的中点，则也是的中点，则有，所以，故A正确；对于B，若F为AE的中点，则，故B错误；对于C，因为D，E分别为线段BC上的两个三等分点，所以，，，故C正确；对于D，由A选项得，，由，因为，所以，即，因为，所以，平分，在中，，所以，所以为等边三角形，所以，故选：D.故选：ACD.三、填空题13．(2023·广西玉林·模拟预测（文））已知，则____________.答案：【解析】分析：已知，可借助两边平方带入、即可完成求解.【详解】将两边平方，得，得.故答案为：.14．(2023·上海金山·高二期末）在中，已知，，，则在方向上的投影向量的模为__________.答案：【解析】分析：由得到，再根据得到，即得解.【详解】解：在中，即所以，故，即，故解得或，B为直角的内角，故，又，故在方向上的投影向量的模为.故答案为：15．（2023·湖北·公安县教学研究中心高三阶段练习）如图，在矩形中，为边的中点，若为折线段上的动点，则的最小值为___________.答案：【解析】分析：如图，以点为坐标系原点，所在直线为轴，DA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性，只需求解点在线段上运动时的最小值即可.【详解】以点为坐标系原点，所在直线为轴，DA所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设，则，所以因为，所以，所以的最小值为.故答案为：16．（2023·陕西·西安市铁一中学高三阶段练习（理））在锐角中，内角所对的边分别是，，则的取值范围是________.答案：【解析】分析：由正弦定理可以把表示为角的函数，由锐角三角形得出角的取值范围，进而可得的取值范围.【详解】因为，则由正弦定理， 可得， ，所，由是锐角三角形，可得，，则，所以，.所以.故答案为：四、解答题17．（2023·云南·高三期中（文））在中，角，，的对边分别为，，，，．(1)求的值；(2)若，求的面积．【解析】(1)由，而，，，由余弦定理得：．(2)由（1）知，，又，则．而，得，．．18．(2023·河北衡水·高二期末）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求；(2)若的外接圆半径为，且，求的面积．【解析】(1)由已知及正弦定理得，又，∴，∴，∴，∴，即，∴，又，∴．(2)∵的外接圆半径，∴，∴，由余弦定理得，即，则，∴的面积．19．(2023·北京昌平·高一期末）设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【解析】(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.20．（2023·天津·南开中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知，，.(1)求角C的大小；(2)求的值；(3)求的值.【解析】(1)解：由正弦定理将角化为边整理得： 所以又所以(2)解：由（1）知，，又，由正弦定理得：即解得：(3)解：由题知，，即所以所以为锐角由（2）知，所以所以所以即.21．（2023·江西·九江一中高一期中）在中，底边上的中线，若动点满足．（1）求的最大值；（2）若，求的范围．【解析】∵，∴A、P、D三点共线又∵，∴在线段上.∵为中点，设，则，， ∴====，∴的最大值为2（2）如图，以D为原点，BC为轴，为轴，建立坐标系，∵，，∴，设，则∴=，∵，∴22．（2023·河南新郑·高二阶段练习（文））铰链又称合页，是用来连接两个固体并允许两者之间做相对转动的机械装置.铰链可由可移动的组件构成，或者由可折叠的材料构成.合页主要安装于门窗上，而铰链更多安装于橱柜上.如图所示，就是一个合页的抽象图，可以在变化，其中，正常把合页安装在家具上时，的变化范围是.根据合页的安装和使用经验可知，要使得安装的家具门开关并不受影响，在以为边长的正三角形区域内不能有障碍物.（1）若时，求的长；（2）当是多大时，求面积的最大值.【解析】（1）如图所示，因为，易知，，，在中，由余弦定理易知，且即，解得（2）设，，，在中，由余弦定理易知，，即，①，，即②，由正弦定理易知③，将①②③代入下列式子中：，则当时，取最大值，最大值为.
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