人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-5平面向量数量积的坐标表示讲义

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6.3.5　平面向量数量积的坐标表示在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？知识点　平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角．(1)数量积的坐标表示：a·b＝________．(2)向量模的公式：|a|＝________．(3)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝________．(4)向量的夹角公式： cos θ＝a·bab＝x1x2+y1y2x12+y12x22+y22.(5)向量垂直的充要条件：若a与b都是非零向量，则a⊥b⇔________________． 已知向量a＝(x，y)，则与a共线的单位向量的坐标是什么？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________．2．已知a＝(3，1)，b＝(－3，1)，则|a|＝________，|b|＝________，a，b的夹角θ＝________． 类型1　平面向量数量积的坐标运算【例1】　 (1)已知向量a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝(　　)A．10 B．－10　 　C．3　 　 D．－3(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF＝2FD，则BE·CF＝________．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数量积运算的途径及注意点(1)进行向量的数量积运算解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解．[跟进训练]1．(1)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，D是边BC上一动点，则AB·AD＝(　　)A．2 B．－2C．4 D．无法确定(2)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影向量长度为________． 类型2　向量模的坐标表示【例2】　若向量a的始点为A(－2，4)，终点为B(2，1)，求：(1)向量a的模；(2)与a平行的单位向量的坐标；(3)与a垂直的单位向量的坐标．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2+y2.[跟进训练]2．已知平面向量a＝(3，5)，b＝(－2，1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)·b，求|c|.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　向量的夹角与垂直问题【例3】　(源自湘教版教材)已知a＝(3，1)，b＝-32，k，求k为何值时：(1)a∥b?(2)a⊥b?(3)a与b的夹角为钝角？[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2)求模．利用|a|＝x2+y2计算两向量的模．(3)求夹角余弦值．由公式cos θ＝x1x2+y1y2x12+y12·x22+y22求夹角余弦值．(4)求角．由向量夹角的范围及cos θ求θ的值．[跟进训练]3．已知点A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2022·全国乙卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则a-b＝(　　)A．2　　　　 B．3C．4 D．52．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)A．π6 B．π4C．π3 D．π23．已知a＝(－1，1)，b＝(1，2)，则a·(a＋2b)＝________．4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则n＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：已知非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．1．如何求向量a与b的夹角θ的余弦值cos θ？2．向量a与b的夹角θ的范围与向量数量积的坐标运算的关系是什么？向量的数量积与三角形的面积在平面直角坐标系xOy中，给定A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设O，A，B不在同一条直线上，如图所示，你能用A，B的坐标表示出△OAB的面积吗？一般地，利用向量的数量积可以方便地求出△OAB的面积为S＝12|x1y2－x2y1|.事实上，如图所示，记t＝|OA|，a＝1t(－y1，x1)，则容易验证，a是与OA垂直的单位向量．过B作OA的垂线BC.因为a为单位向量，所以由向量数量积的几何意义可知|BC|＝|a·OB|，因此，△OAB的面积为S＝12|AO|×|BC|＝12|AO|×|a·OB|＝12t×1t-y1，x1·x2，y2＝12|(－y1，x1)·(x2，y2)|＝12|x1y2－x2y1|.由此也可以看出，如图所示，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，而且O，A，B三点不共线，则以OA，OB为邻边的平行四边形OACB的面积为S＝|x1y2－x2y1|.由此，你体会到向量数量积的作用之大了吗？学习任务1．掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．(数学运算)2．能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．(逻辑推理、数学运算)