人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示讲义

这是一份人教A版高中数学必修第二册第6章6-3-4平面向量数乘运算的坐标表示讲义，共8页。
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示当a∥b时，a，b存在怎样的等量关系，其坐标之间又存在怎样的等量关系？让我们一起来学习吧！知识点　平面向量数乘运算的坐标表示1．数乘运算的坐标表示(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝______．(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的________．2．平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使________．(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是________． 向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成x1x2＝y1y2吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________．2．已知a＝(－3，2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________． 类型1　向量数乘的坐标运算【例1】　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)12a－13b．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的坐标运算进行计算．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性运算可完全类比数的运算进行．[跟进训练]1．(1)已知A(2，4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，则AC＋13BA＝(　　)A．(2，－3)　　 B．(－2，－3)C．(－2，3) D．(2，3)(2)已知向量a＝(－3，2)，b＝(－1，0)，c＝(2，1)，则a＋2b－3c的坐标是________． 类型2　向量共线的坐标表示及应用　向量共线的判定与证明【例2】　(1)下列各组向量中，共线的是(　　)A．a＝(－2，3)，b＝(4，6)B．a＝(2，3)，b＝(3，2)C．a＝(1，－2)，b＝(7，14)D．a＝(－3，2)，b＝(6，－4)(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB与CD平行吗？直线AB平行于直线CD吗？[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三点共线的实质与证明步骤(1)实质：三点共线问题的实质是向量共线问题．两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的．(2)证明步骤：利用向量平行证明三点共线需分两步完成：①证明向量平行．②证明两个向量有公共点．　已知平面向量共线求参数【例3】　已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[跟进训练]2．(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________．3．已知A(1，－3)，B8，12，C(9，1)，求证：A，B，C三点共线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 类型3　共线向量与线段分点坐标的计算【例4】　已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，求点P的坐标．[思路导引]　点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|→AP＝2PB或AP＝－2PB．[尝试解答]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[母题探究]若将本例条件“|AP|＝2|PB|”改为“AP＝3PB”，其他条件不变，求点P的坐标．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　若线段P1P2的端点P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是直线P1P2上的一点，则当P1P＝λPP2时，点P的坐标为x1+λx21+λ，y1+λy21+λ(λ≠－1)．特别地，当点P是P1P2的中点时，则P点坐标为x1+x22，y1+y22．[跟进训练]4．如图所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，OC＝14OA，OD＝12OB，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则12AB等于(　　)A．(0，5)　　　　 B．(0，1)C．(2，5) D．(2，1)2．已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)A．(－23，－12) B．(23，12)C．(7，0) D．(－7，0)3．若P1(1，2)，P(3，2)且P1P＝2PP2，则P2的坐标为(　　)A．(7，2) B．(－7，－2)C．(－4，－2) D．(4，2)4．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若a＝(x，y)，则λa等于什么？2．向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线的充要条件是什么？3．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点P的坐标如何表示？学习任务1．掌握平面向量数乘运算的坐标表示．(数学运算)2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(逻辑推理)3．能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线．(逻辑推理)