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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课时作业
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课时作业，文件包含453《函数模型的应用》专题练习参考答案docx、453《函数模型的应用》专题练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足( )
A.y＝a(1＋5%x) B.y＝a＋5% C.y＝a(1＋5%)x-1 D.y＝a(1＋5%)x
解析:D 经过1年,y＝a(1＋5%),经过2年,y＝a(1＋5%)2,…,经过x年,y＝a(1＋5%)x.
2.某商场2022年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示,
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )
A.y＝lg2t B.y＝2t C.y＝t2 D.y＝2t
解析:B 作出散点图如图所示.由散点图可知,图象不是直线,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;把t＝1,2,3,4代入B,C选项的函数中,函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值,故选B.
3.科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1,7.4级地震释放的相对能量为I2,记n＝I2I1,则n≈( )
A.16 B.20 C.32 D.90
解析:C 因为r＝0.6lg I,所以I＝105r3.当r＝6.5时,I1＝10656;当r＝7.4时,I2＝10373.所以n＝I2I1＝10373÷10656＝1032＝10×10≈32.
4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( )
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析:D 由已知得,lg MN＝lg M-lg N≈361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80＝93.28＝lg 1093.28.故与MN最接近的是1093.
5.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:D 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n≤11 000,即23n≤120,即nlg23≤-lg 20,即n(lg 2-ln 3)≤-(1＋lg 2),即n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4,故选D.
6.在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T＝220,P＝1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T＝270,P＝128时,二氧化碳处于气态
C.当T＝300,P＝9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360,P＝729时,二氧化碳处于超临界状态
解析:D 对于A选项,当T＝220,P＝1 026,即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于B选项,当T＝270,P＝128,即lg P＝lg 128∈(lg 102,lg 103),即lg P∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于液态;对于C选项,当T＝300,P＝9 987,即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于D选项,当T＝360,P＝729,即lg P＝lg 729∈(lg 102,lg 103),即lg P＝lg 729∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于超临界状态.故D正确.
7.为了保证信息的安全传输,有一种密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y＝xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文为 .
解析:由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2＝4α,解得α＝12,则y＝x12,由x12＝3,得x＝9.
答案:9
8.某商场将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电的原价为 元.
解析:设彩电的原价为a元,∴a(1＋0.4)·80%-a＝270,∴0.12a＝270,解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元.
答案:2 250
9.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent,假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m秒甲桶中的水只有a4升,则m的值为 .
解析:∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a,即5n＝ln 12,得 n＝15ln 12,若k秒后甲桶中的水只有a4升,即f(k)＝a4,即15·kln 12＝ln 14＝2ln 12,得k＝10,故 m＝10-5＝5.
答案:5
10.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,汽车在惯性的作用下有一个刹车距离,设停车安全距离为S,驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1,刹车距离为S2,则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关,S1＝10ln(t＋1),S2与车速v有关,S2＝bv2.某人刹车反应时间为e-1秒,当车速为60千米/时时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100千米/时的高速公路上,求该汽车的安全距离为多少米?(精确到米)
解:因为刹车反应时间为e-1秒,
所以S1＝10ln(e-1＋1)＝10lne＝5,
当车速为60千米/时时,紧急刹车后滑行的距离为20米,则S2＝b·(60)2＝20,
解得b＝1180,即S2＝1180v2.
若v＝100,则S2＝1180×1002≈56,S1＝5,
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米).
11.某公司职工分别住在A,B,C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人,三个区始终在同一直线上,位置如图所示,公司接送车筹划在此间只设一个停靠点,要使所有职工步行到停靠点路程总和最少,那么停靠点位置应在( )
A.A区 B.B区 C.C区 D.A,B两区之间
解析:A 由题意得,若停靠在A区,所有员工路程和为15×100＋10×300＝4 500(米);若停靠在B区,所有员工的路程和为30×100＋10×200＝5 000(米);若停靠在C区,所有员工的路程和为30×300＋15×200＝12 000(米);若停靠点在A区和B区之间,设距离A区为x米,所有员工的路程和为30x＋15×(100-x)＋10×(100＋200-x)＝5x＋4 500,当x＝0时取得最小值,故停靠点为A区.综上,若停靠点为A区,所有员工步行到停靠点的路程和最小,那么停靠点位置应在A区.
12.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效,现给某病人注射了这种药2 500 mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,答案采取四舍五入精确到0.1 h)( )
A.2.3 B.3.5 C.5.6 D.8.8
解析:A 设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500,即0.8x＝0.6,所以lg 0.8x＝lg 0.6,即xlg 0.8＝lg 0.6,x＝lg0.6lg0.8＝lg 610lg 810＝lg2+lg3-13lg2-1≈0.301 0+0.477 1-13×0.301 0-1≈2.3.
13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:
注:地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a,b为常数),则a的值为 .(取lg 2≈0.3进行计算)
解析:由记录的部分数据,可知当x＝1.6×1019时,y＝5.0,当x＝3.2×1019时,y＝5.2.
则5.0=alg(1.6×1019)＋b,5.2=alg(3.2×1019)＋b, 两式相减得0.2＝alg 3.2×10191.6×1019,即0.2＝alg 2.所以a＝0.2lg2≈0.20.3＝23.
答案:23
14.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度D(分贝)由公式D＝alg I＋b(a,b为非零常数)给出,其中I(W/cm2)为声音能量.
(1)当声音强度D1,D2,D3满足D1＋2D2＝3D3时,求对应的声音能量I1,I2,I3满足的等量关系式;
(2)当人们低声说话时,声音能量为10-13 W/cm2,声音强度为30分贝;当人们正常说话时,声音能量为 10-12 W/cm2,声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音,一般人在100~120分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时,人会暂时性失聪.
解:(1)∵D1＋2D2＝3D3,
∴alg I1＋b＋2(alg I2＋b)＝3(alg I3＋b),
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3,∴I1·I22＝I33.
(2)由题意得-13a＋b=30,-12a＋b=40,
解得a=10,b=160,∴100＜10lg I＋160＜120,
∴10-6＜I＜10-4.
故当声音能量I∈(10-6,10-4)时,人会暂时性失聪.
15.为了预防某种病毒,某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑,相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时,顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始,商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝0.1t,0≤t≤10,12t10-a,t>10,函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是( )
A.9:00 B.8:40
C.8:30 D.8:00
解析:A 根据函数的图象,可得函数的图象过点(10,1),代入函数的解析式,可得121-a＝1,解得a＝1,所以y＝0.1t,0≤t≤10,12t10-1,t>10,令y≤0.25,可得0.1t≤0.25或12t10-1≤0.25,解得0≤t≤2.5或t≥30,所以如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00.
16.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现:该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋kx(k为正常数),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如下表所示:
已知第10天的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:①Q(x)＝ax＋b;②Q(x)＝a｜x-25｜＋b;③Q(x)＝a·bx;④Q(x)＝a·lgbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该小物品的日销售收入(单位:元)f(x)的最小值.
解:(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝1+k10×110＝121,解得k＝1.
(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)＝a｜x-25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125-｜x-25｜(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)＝125-｜x-25｜
＝100+x(1≤x<25,x∈N*),150-x(25≤x≤30,x∈N*),
所以f(x)＝P(x)·Q(x)
＝x＋100x+101(1≤x<25,x∈N*),150x-x+149(25≤x≤30,x∈N*).
当1≤x＜25时,y＝x＋100x在[1,10]上单调递减,在[10,25)上单调递增,所以当x＝10时,f(x)取得最小值,f(x)min＝121;
当25≤x≤30时,y＝150x-x单调递减,所以当x＝30时,f(x)取得最小值,f(x)min＝124.
综上所述,当x＝10时,f(x)取得最小值,f(x)min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
时间t
1
2
3
4
利润y(千元)
2
3.98
8.01
15.99
强度(J)
1.6×
1019
3.2×
1019
4.5×
1019
6.4×
1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
x/天
10
20
25
30
Q(x)/件
110
120
125
120
1.某种产品今年的产量是a,如果保持5%的年增长率,那么经过x年(x∈N*),该产品的产量y满足( )
A.y＝a(1＋5%x) B.y＝a＋5% C.y＝a(1＋5%)x-1 D.y＝a(1＋5%)x
解析:D 经过1年,y＝a(1＋5%),经过2年,y＝a(1＋5%)2,…,经过x年,y＝a(1＋5%)x.
2.某商场2022年在销售某种空调旺季的4天内的利润如下表所示,
现构建一个销售这种空调的函数模型,应是下列函数中的( )
A.y＝lg2t B.y＝2t C.y＝t2 D.y＝2t
解析:B 作出散点图如图所示.由散点图可知,图象不是直线,排除选项D;图象不符合对数函数的图象特征,排除选项A;把t＝1,2,3,4代入B,C选项的函数中,函数y＝2t的函数值最接近表格中的对应值,故选B.
3.科学家以里氏震级来度量地震的强度,若设I为地震时所散发出来的相对能量程度,则里氏震级r可定义为r＝0.6lg I.若6.5级地震释放的相对能量为I1,7.4级地震释放的相对能量为I2,记n＝I2I1,则n≈( )
A.16 B.20 C.32 D.90
解析:C 因为r＝0.6lg I,所以I＝105r3.当r＝6.5时,I1＝10656;当r＝7.4时,I2＝10373.所以n＝I2I1＝10373÷10656＝1032＝10×10≈32.
4.根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与MN最接近的是(参考数据:lg 3≈0.48)( )
A.1033 B.1053 C.1073 D.1093
解析:D 由已知得,lg MN＝lg M-lg N≈361×lg 3-80×lg 10≈361×0.48-80＝93.28＝lg 1093.28.故与MN最接近的是1093.
5.某工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不得超过0.1%,而这种溶液最初的杂质含量为2%,现进行过滤,已知每过滤一次杂质含量减少13,则使产品达到市场要求的过滤次数可为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析:D 设经过n次过滤,产品达到市场要求,则2100×23n≤11 000,即23n≤120,即nlg23≤-lg 20,即n(lg 2-ln 3)≤-(1＋lg 2),即n≥1+lg2lg3-lg2≈7.4,故选D.
6.在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是( )
A.当T＝220,P＝1 026时,二氧化碳处于液态
B.当T＝270,P＝128时,二氧化碳处于气态
C.当T＝300,P＝9 987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T＝360,P＝729时,二氧化碳处于超临界状态
解析:D 对于A选项,当T＝220,P＝1 026,即lg P＝lg 1 026＞lg 103＝3时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于B选项,当T＝270,P＝128,即lg P＝lg 128∈(lg 102,lg 103),即lg P∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于液态;对于C选项,当T＝300,P＝9 987,即lg P＝lg 9 987＜lg 104＝4时,根据图象可知,二氧化碳处于固态;对于D选项,当T＝360,P＝729,即lg P＝lg 729∈(lg 102,lg 103),即lg P＝lg 729∈(2,3)时,根据图象可知,二氧化碳处于超临界状态.故D正确.
7.为了保证信息的安全传输,有一种密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y＝xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文为 .
解析:由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意得2＝4α,解得α＝12,则y＝x12,由x12＝3,得x＝9.
答案:9
8.某商场将彩电先按原价提高40%,然后在广告上写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电的原价为 元.
解析:设彩电的原价为a元,∴a(1＋0.4)·80%-a＝270,∴0.12a＝270,解得a＝2 250.∴每台彩电的原价为2 250元.
答案:2 250
9.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent,假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m秒甲桶中的水只有a4升,则m的值为 .
解析:∵5秒后甲桶和乙桶的水量相等,∴函数y＝f(t)＝aent满足f(5)＝ae5n＝12a,即5n＝ln 12,得 n＝15ln 12,若k秒后甲桶中的水只有a4升,即f(k)＝a4,即15·kln 12＝ln 14＝2ln 12,得k＝10,故 m＝10-5＝5.
答案:5
10.汽车驾驶员发现前方有障碍物时会紧急刹车,这一过程中,由于人的反应需要时间,汽车在惯性的作用下有一个刹车距离,设停车安全距离为S,驾驶员反应时间内汽车行驶距离为S1,刹车距离为S2,则S＝S1＋S2.而S1与反应时间t有关,S1＝10ln(t＋1),S2与车速v有关,S2＝bv2.某人刹车反应时间为e-1秒,当车速为60千米/时时,紧急刹车后滑行的距离为20米,若在限速100千米/时的高速公路上,求该汽车的安全距离为多少米?(精确到米)
解:因为刹车反应时间为e-1秒,
所以S1＝10ln(e-1＋1)＝10lne＝5,
当车速为60千米/时时,紧急刹车后滑行的距离为20米,则S2＝b·(60)2＝20,
解得b＝1180,即S2＝1180v2.
若v＝100,则S2＝1180×1002≈56,S1＝5,
所以该汽车的安全距离S＝S1＋S2＝5＋56＝61(米).
11.某公司职工分别住在A,B,C三个住宅区,A区有30人,B区有15人,C区有10人,三个区始终在同一直线上,位置如图所示,公司接送车筹划在此间只设一个停靠点,要使所有职工步行到停靠点路程总和最少,那么停靠点位置应在( )
A.A区 B.B区 C.C区 D.A,B两区之间
解析:A 由题意得,若停靠在A区,所有员工路程和为15×100＋10×300＝4 500(米);若停靠在B区,所有员工的路程和为30×100＋10×200＝5 000(米);若停靠在C区,所有员工的路程和为30×300＋15×200＝12 000(米);若停靠点在A区和B区之间,设距离A区为x米,所有员工的路程和为30x＋15×(100-x)＋10×(100＋200-x)＝5x＋4 500,当x＝0时取得最小值,故停靠点为A区.综上,若停靠点为A区,所有员工步行到停靠点的路程和最小,那么停靠点位置应在A区.
12.一种药在病人血液中的量保持1 500 mg以上才有效,现给某病人注射了这种药2 500 mg,如果药在血液中以每小时20%的比例衰减,为了充分发挥药物的利用价值,那么从现在起经过 小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,答案采取四舍五入精确到0.1 h)( )
A.2.3 B.3.5 C.5.6 D.8.8
解析:A 设从现在起经过x小时向病人的血液补充这种药,才能保持疗效.则2 500×0.8x＝1 500,即0.8x＝0.6,所以lg 0.8x＝lg 0.6,即xlg 0.8＝lg 0.6,x＝lg0.6lg0.8＝lg 610lg 810＝lg2+lg3-13lg2-1≈0.301 0+0.477 1-13×0.301 0-1≈2.3.
13.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测,记录的部分数据如下表:
注:地震强度是指地震时释放的能量.
地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系可以选用y＝alg x＋b(其中a,b为常数),则a的值为 .(取lg 2≈0.3进行计算)
解析:由记录的部分数据,可知当x＝1.6×1019时,y＝5.0,当x＝3.2×1019时,y＝5.2.
则5.0=alg(1.6×1019)＋b,5.2=alg(3.2×1019)＋b, 两式相减得0.2＝alg 3.2×10191.6×1019,即0.2＝alg 2.所以a＝0.2lg2≈0.20.3＝23.
答案:23
14.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题.实践证明,声音强度D(分贝)由公式D＝alg I＋b(a,b为非零常数)给出,其中I(W/cm2)为声音能量.
(1)当声音强度D1,D2,D3满足D1＋2D2＝3D3时,求对应的声音能量I1,I2,I3满足的等量关系式;
(2)当人们低声说话时,声音能量为10-13 W/cm2,声音强度为30分贝;当人们正常说话时,声音能量为 10-12 W/cm2,声音强度为40分贝.当声音能量大于60分贝时属于噪音,一般人在100~120分贝的空间内,一分钟就会暂时性失聪.问声音能量在什么范围时,人会暂时性失聪.
解:(1)∵D1＋2D2＝3D3,
∴alg I1＋b＋2(alg I2＋b)＝3(alg I3＋b),
∴lg I1＋2lg I2＝3lg I3,∴I1·I22＝I33.
(2)由题意得-13a＋b=30,-12a＋b=40,
解得a=10,b=160,∴100＜10lg I＋160＜120,
∴10-6＜I＜10-4.
故当声音能量I∈(10-6,10-4)时,人会暂时性失聪.
15.为了预防某种病毒,某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒.出于对顾客身体健康的考虑,相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时,顾客方可进入商场.已知从喷洒药物开始,商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为y＝0.1t,0≤t≤10,12t10-a,t>10,函数的图象如图所示.如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是( )
A.9:00 B.8:40
C.8:30 D.8:00
解析:A 根据函数的图象,可得函数的图象过点(10,1),代入函数的解析式,可得121-a＝1,解得a＝1,所以y＝0.1t,0≤t≤10,12t10-1,t>10,令y≤0.25,可得0.1t≤0.25或12t10-1≤0.25,解得0≤t≤2.5或t≥30,所以如果商场规定9:30顾客可以进入商场,那么开始喷洒药物的时间最迟是9:00.
16.某学习小组在暑期社会实践活动中,通过对某商店一种小物品的销售情况的调查发现:该小物品在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(单位:元)与时间x(单位:天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋kx(k为正常数),日销售量Q(x)(单位:件)与时间x(单位:天)的部分数据如下表所示:
已知第10天的日销售收入为121元.
(1)求k的值;
(2)给出以下四种函数模型:①Q(x)＝ax＋b;②Q(x)＝a｜x-25｜＋b;③Q(x)＝a·bx;④Q(x)＝a·lgbx.请你根据上表中的数据,从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系,并求出该函数的解析式;
(3)求该小物品的日销售收入(单位:元)f(x)的最小值.
解:(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝1+k10×110＝121,解得k＝1.
(2)由表中的数据知,当时间变化时,日销售量有增有减并不单调,故只能选②Q(x)＝a｜x-25｜＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125-｜x-25｜(1≤x≤30,x∈N*).
(3)由(2)知Q(x)＝125-｜x-25｜
＝100+x(1≤x<25,x∈N*),150-x(25≤x≤30,x∈N*),
所以f(x)＝P(x)·Q(x)
＝x＋100x+101(1≤x<25,x∈N*),150x-x+149(25≤x≤30,x∈N*).
当1≤x＜25时,y＝x＋100x在[1,10]上单调递减,在[10,25)上单调递增,所以当x＝10时,f(x)取得最小值,f(x)min＝121;
当25≤x≤30时,y＝150x-x单调递减,所以当x＝30时,f(x)取得最小值,f(x)min＝124.
综上所述,当x＝10时,f(x)取得最小值,f(x)min＝121.
所以该小物品的日销售收入的最小值为121元.
时间t
1
2
3
4
利润y(千元)
2
3.98
8.01
15.99
强度(J)
1.6×
1019
3.2×
1019
4.5×
1019
6.4×
1019
震级(里氏)
5.0
5.2
5.3
5.4
x/天
10
20
25
30
Q(x)/件
110
120
125
120
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