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人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案
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这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案，文件包含453《函数模型的应用》导学案学生版docx、453《函数模型的应用》导学案教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共8页， 欢迎下载使用。
一．学习目标
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习函数模型的应用
三．课堂导学
爱因斯坦说过,复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元,40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长,指数函数值的增长是非常迅速的,可以根据这一特点来进行资金的管理.例如,按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,设本利和为y,存期为x,那么要知道存一定期限之后所得的本利和,就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元,每期的利率为2.25%.
问题 五期后的本利和是多少?
知识点 几种常见函数模型
1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
2.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为 .
四．典例分析、举一反三
题型一 已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta＝(T0-Ta)×12th,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要 20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间?
练1-1. 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系式是v＝2 000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.
题型二 建立函数模型解决实际问题
【例2】 一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1).
练2-1. 据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2022年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2022年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数解析式是( )
A.y＝0.95x50·m B.y＝(1-0.05x50)·m C.y＝0.9550-x·m D.y＝(1-0.0550-x)·m
题型三 拟合函数模型解决实际问题
【例3】某工厂因排污比较严重,决定着手整治,第一个月时污染度为60,整治后前四个月的污染度如表:
污染度为0后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况:f(x)＝20｜x-4｜(x≥1),g(x)＝203(x-4)2(x≥1),h(x)＝30｜lg2x-2｜(x≥1),其中x表示月数,f(x),g(x),h(x)分别表示污染度.
(1)选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过60.
练3-1. 某纪念章从2022年2月1日开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y＝ax＋b;②y＝ax2＋bx＋c;③y＝algbx.
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数
2.若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩余量为y,则x,y的函数关系是( )
A.y＝0.957 6x100 B.y＝0.957 6100x C.y＝0.957 6100x D.y＝1-0.042 4x100
3.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 .
4.已知强度为x的声音对应的等级为f(x) dB时,有f(x)＝10lg x1×10-12.喷气式飞机起飞时,声音约为140 dB;一般说话时,声音约为60 dB.则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的 倍.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝kx＋b(k,b为常数,k≠0)
反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,b≠0,a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a,b,c为常数,b≠0,a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a,b为常数,a≠0)
分段函数模型
y＝f(x)(x＜m),g(x)(x≥m)
月数
1
2
3
4
…
污染度
60
31
13
0
…
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
一．学习目标
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具
2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习函数模型的应用
三．课堂导学
爱因斯坦说过,复利的威力比原子弹还可怕.若每月坚持投资100元,40年之后将成为百万富翁.也就是说随着变量的增长,指数函数值的增长是非常迅速的,可以根据这一特点来进行资金的管理.例如,按复利计算利率的一种储蓄,本金为a元,每期的利率为r,设本利和为y,存期为x,那么要知道存一定期限之后所得的本利和,就要写出本利和y随着存期x变化的函数式.假设存入的本金为1 000元,每期的利率为2.25%.
问题 五期后的本利和是多少?
知识点 几种常见函数模型
1.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后期增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用( )
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
2.某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,…,现有2个这样的细胞,分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为 .
四．典例分析、举一反三
题型一 已知函数模型解决实际问题
【例1】 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述,设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta＝(T0-Ta)×12th,其中Ta表示环境温度,h称为半衰期,现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降温到40 ℃需要 20 min,那么降温到32 ℃时,需要多长时间?
练1-1. 在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系式是v＝2 000·ln1+Mm.当燃料质量是火箭质量的 倍时,火箭的最大速度可达12千米/秒.
题型二 建立函数模型解决实际问题
【例2】 一种放射性元素,最初的质量为500 g,按每年10%衰减.
(1)求t年后,这种放射性元素的质量w的表达式;
(2)由求出的函数表达式,求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1).
练2-1. 据报道,全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%,如果按此速度,设2022年北冰洋冬季冰雪覆盖面积为m,则从2022年起,x年后北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数解析式是( )
A.y＝0.95x50·m B.y＝(1-0.05x50)·m C.y＝0.9550-x·m D.y＝(1-0.0550-x)·m
题型三 拟合函数模型解决实际问题
【例3】某工厂因排污比较严重,决定着手整治,第一个月时污染度为60,整治后前四个月的污染度如表:
污染度为0后,该工厂即停止整治,污染度又开始上升,现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染情况:f(x)＝20｜x-4｜(x≥1),g(x)＝203(x-4)2(x≥1),h(x)＝30｜lg2x-2｜(x≥1),其中x表示月数,f(x),g(x),h(x)分别表示污染度.
(1)选用哪个函数模拟比较合理,并说明理由;
(2)若以比较合理的模拟函数预测,整治后有多少个月的污染度不超过60.
练3-1. 某纪念章从2022年2月1日开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y＝ax＋b;②y＝ax2＋bx＋c;③y＝algbx.
(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示,那么图象所对应的函数模型是( )
A.分段函数 B.二次函数 C.指数函数 D.对数函数
2.若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x年后的剩余量为y,则x,y的函数关系是( )
A.y＝0.957 6x100 B.y＝0.957 6100x C.y＝0.957 6100x D.y＝1-0.042 4x100
3.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍,那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是 .
4.已知强度为x的声音对应的等级为f(x) dB时,有f(x)＝10lg x1×10-12.喷气式飞机起飞时,声音约为140 dB;一般说话时,声音约为60 dB.则喷气式飞机起飞时的声音强度是一般说话时声音强度的 倍.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝kx＋b(k,b为常数,k≠0)
反比例函数模型
f(x)＝kx＋b(k,b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b,c为常数,a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a,b,c为常数,b≠0,a＞0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a,b,c为常数,b≠0,a＞0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a,b为常数,a≠0)
分段函数模型
y＝f(x)(x＜m),g(x)(x≥m)
月数
1
2
3
4
…
污染度
60
31
13
0
…
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
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