高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）教案设计

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专题17函数的应用（二）（讲）

知识点课前预习与精讲精析

1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．
(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.
2．函数零点的判定定理
条件
结论
函数y＝f(x)在[a，b]上
y＝f(x)在(a，b)内有零点
(1)图象是连续不断的曲线
(2)f(a)f(b)＜0
[知识点拨]　判断函数y＝f(x)是否存在零点的方法：
(1)方程法：判断方程f(x)＝0是否有实数解．
(2)图象法：判断函数y＝f(x)的图象与x轴是否有交点．
(3)定理法：利用零点的判定定理来判断．
3．二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
4．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝0，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|＜ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
5．四种函数模型的性质
　　函数
性质　　
y＝ax
(a＞1)
y＝logax
(a＞1)
y＝xn
(n＞0)
y＝kx＋b
(k＞0)
在(0，＋∞)
上的增减性
增函数
增函数
增函数
增函数
增长的速度
越来越快
越来越慢
相对较快
不变
图象的变化
越来越陡
越来越平
随n值而不同
直线上升
6．三种增长函数模型的比较
(1)指数函数和幂函数．
一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn.
(2)对数函数和幂函数．
对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.
(3)指数函数、对数函数和幂函数．
在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们增长的速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.

1．关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
式变形为，
当函数与有3个不同交点时，
如图，满足条件的直线夹在如图的两条直线之间，一条是过的直线，此时，此时与轴的交点是 ，
另外一条是相切的直线，设切点，
则，解得：，
则切点是，则，解得，，此时与轴的交点是，

.

故答案为：
2．用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0.1，需将区间等
分__________次.
【答案】5
【解析】
因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.
故答案为5.
3．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
函数的图象如下图所示，
作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，
而由得，当时，即（舍去）时，得直线，
当直线l：，过点时，得直线，此时，
所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，
故答案为：.

4．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线，假设过5秒后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m秒甲桶中的水只有升，则m的值为______．
【答案】5
【解析】
秒后两桶水量相等
若秒后水量为： ，即

本题正确结果：
5．通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级，其计算公式是M=lgA-lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅，M为震级．则8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的______倍．
【答案】
【解析】
由M=lgA-lgA0可得，M=， A=•．
当M=8时，地震的最大振幅为=•108；
当M=5时，地震的最大振幅为=•105；
∴两次地震的最大振幅之比是：，
∴8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍．
故答案为1000．

典型题型与解题方法

重要考点一：求函数的零点
【典型例题】函数的零点为_____________.
【答案】
【解析】
令，即，解得：，
故答案为：
【题型强化】若函数f(x)＝x2-ax-b的两个零点分别是是2和3，则函数g(x)＝bx2-ax-1的零点为____________.
【答案】
【解析】
主要考查二次函数零点的性质及零点的确定方法．首先将2,3分别代入方程－ａｘ－ｂ=0，求得a,b，然后解方程ｂ－ａｘ－１=0，得到函数ｇ（ｘ）零点．
【收官验收】函数零点的个数为_____________.
【答案】2
【解析】
函数零点的个数，即方程实数根的个数.
由，即或
由得或.
由无实数根.
所以函数的零点有2个.
故答案为：2
【名师点睛】
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点⇔方程f(x)＝0的实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
重要考点二：判断零点所在的区间
【典型例题】函数的零点一定位于区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
函数f（x）＝在其定义域上连续，
f（2）＝2+2•2﹣6＝ln2﹣2＜0，
f（3）＝ln3+2•3﹣6＝ln3＞0；
故函数的零点在区间（2，3）上，
故选B．
【题型强化】函数在区间（）内有零点，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【解析】
因为，所以.
和在上单调递增
由零点存在性定理知最多有一个零点，又根据题意知有零点，所以只能有一个.
，所以零点必在故选A.
【收官验收】已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
函数，若，，可得，解得或，则实数的取值范围是，故选A.
【名师点睛】
判断函数零点所在区间的方法：
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
重要考点三：函数零点个数的判断
【典型例题】如果已知0 A．2 B．3 C．4 D．与a的值有关
【答案】A
【解析】
设分别作出它们的图象如图所示：
由图可知有两个交点，故选A.

【题型强化】函数的零点个数为_______.
【答案】2
【解析】
令，则，
在同一直角坐标系中作出函数与的图象，如图：

由图象可知，函数与的图象有两个交点，
所以方程有两个不同实根，所以函数的零点个数为2.
故答案为：2.
【收官验收】函数的零点个数是________．
【答案】2
【解析】
当x≤0时，由f（x）=x2﹣2=0，解得x=，有1个零点；
当x＞0，函数f（x）=2x﹣6+lnx，单调递增，
则f（1）＜0，f（3）＞0，此时函数f（x）只有一个零点，
所以共有2个零点．
故答案为2．
【名师点睛】
判断函数零点个数的主要方法：
(1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
(3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
(4)转化成两个函数图象的交点问题．
重要考点四：一元二次方程根的分布问题
【典型例题】函数的零点均是正数，则实数b的取值范围是______.
【答案】
【解析】
因为函数的零点均是正数，
故方程的根都是正根，
故当时，需满足
解得.
当时，解得，此时方程为，
方程的根满足题意.
综上所述：.
故答案为：.
【题型强化】若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1，
由题意知即
解得 答案为：.
【收官验收】已知函数，．若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围为__________．
【答案】．
【解析】
（方法一）在同一坐标系中画和的图象（如图），问题转化为

与图象恰有四个交点．当与（或与）相切时，与图象恰有三个交点．把代入，得，即，由，得，解得或．又当时，与仅两个交点，或．
（方法二）显然，∴．令，则
∵，∴．结合图象可得或．
【名师点睛】
1.解决一元二次方程根的分布问题，要利用数形结合，结合判别式、对称轴、区间端点的函数值的正负等情况进行求解．
2．二次函数零点的分布问题
二次函数零点的分布一般为下面两个方面的问题：
(1)一个区间内只有一个根；(2)一个区间内有两个根．
由于我们在初中学过方程根的情况，有时可以根据判别式及根与系数的关系判断，但在多数情况下，还要结合图象，从对称轴、判别式、区间端点的函数值等方面去探究．具体解法如下表：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应的方程的根为x1、x2.

根的分布(m＜n＜p)
图象
满足条件
一个
区间
只有
一个
根
x1＜m＜x2

f(m)＜0
m＜x1＜n
＜x2＜p


一个
区间
有两
个根
m＜x1＜
x2＜n


m＜x1＜x2


在(m，n)内有且
只有一个根
或

f(m)·f(n)＜0或Δ＝0
且－∈(m，n)
或
或
另外，x1，x2∈(0，＋∞)，即两正根，也可通过满足条件来解决；x1，x2∈(－∞，0)，即两负根，也可通过满足条件来解决；x1，x2一正一负也可通过满足来解决．
重要考点五：用二分法求函数的零点问题
【典型例题】求函数的一个正零点的近似值（精确度小于0.1）．
【答案】1.6875
【解析】
由于，故可取区间作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所在区间
区间中点横坐标
中点对应的函数值
取中点作为近似值时误差小于的值



0.5



0.25



0.125



0.0625

由上表的计算可知，可取1.6875作为所求函数的一个正零点的近似值．
【题型强化】用二分法求函数在区间内的零点（精确到0.1）．
【答案】
【解析】
由题，可取区间作为计算初始区间，
用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标
计算端点或中点的函数值
定区间
















函数在区间内的零点为
【收官验收】利用计算器，用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）．
【答案】．
【解析】
令，可知函数是连续的单调递增的函数
，．
所以可知方程的在区间内
利用二分法，列表如下：
区间
中点值
中点的函数值

2.5


2.75
0.189332693

2.625
0.044129307

2.5625





∵，
故方程的近似解．
【名师点睛】
1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
重要考点六：函数模型的增长差异
【典型例题】下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________.
①；②；③；④
【答案】①
【解析】
由于指数函数的底数大于1，其增长速度随着时间的推移是越来越快，
更为有前途的生意，
故答案为：①.
【题型强化】通过市场调查知某商品每件的市场价(单位:圆)与上市时间(单位:天)的数据如下:
上市时间天
4
10
36
市场价元
90
51
90

根据上表数据,当时,下列函数:①;②;③中能恰当的描述该商品的市场价与上市时间的变化关系的是(只需写出序号即可)______.
【答案】②
【解析】
根据表格提供数据可知，随先变小，后变大，即至少有递减和递增两个过程，而①③对应的函数为单调函数，不符合题意. ②为二次函数，有递减和递增两个区间，时，能恰当的描述该商品的市场价与上市时间的变化关系.
故答案为：②
【收官验收】三个变量随变量变化的数据如下表：

其中关于呈指数增长的变量是_________.
【答案】
【解析】
指数增长为快速增长，因此，中呈指数增长的变量是.
故答案为：．
【名师点睛】
三种函数模型的增长规律：
(1)对于幂函数y＝xn，当x＞0，n＞0时，y＝xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快．
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y＝x对称，从而可知，当a越大，y＝ax增长越快；当a越小，y＝logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0，a＞1)．
(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是爆炸型函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.
重要考点七：建模思想——函数模型的选择
【典型例题】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.
【答案】(1) y＝＋x，x∈[50，100] (或y＝＋x，x∈[50，100]).(2) 当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【解析】
(1)设所用时间为t＝ (h)，
y＝×2×＋14×，x∈[50，100].
所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50，100]
(或y＝＋x，x∈[50，100]).
(2)y＝＋x≥26，
当且仅当＝x，
即x＝18时等号成立.
故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元.
【题型强化】如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角（阴影三角形）被锈蚀，其中米，米，为了合理利用这块钢板，将在五边形内截取一个矩形块，使点在边上.

（1）设米，米，将表示成的函数，并求出的取值范围；
（2）求矩形面积的最大值.
【答案】（1），；（2）最大值为平方米.
【解析】
（1）如图所示，作于点，则，，
其中，
在中，，即，
所以，其中.

（2）设矩形的面积为，
则，
根据二次函数的性质，可得当时，单调递增，
所以当米时，矩形的面积最大，最大值为平方米.
故矩形面积的最大值为平方米.
【收官验收】某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约为15元／千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）．
（Ⅰ）求的函数关系式；
（Ⅱ）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【解析】
（Ⅰ）由已知

(Ⅱ)由(Ⅰ)得

当时，；
当时，
当且仅当时，即时等号成立．
因为，所以当时，．
∴当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是480元．
【名师点睛】
函数建模是对数据进行函数模拟，选择最符合客观实际的模拟函数．一般思路为：先画出散点图，然后作出模拟函数的图象，选择适当的几种函数模型后，再加以验证．函数模型的建立是最大的难点，另外运算量较大，须借助计算器或计算机进行数据处理，函数模型的可靠性与合理性既需要数据检验，又必须符合实际．