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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）精品课时训练
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）精品课时训练，文件包含34《函数的应用一》专题练习参考答案docx、34《函数的应用一》专题练习docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共12页， 欢迎下载使用。
1.北京某快递公司邮寄重量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表:
如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1 300 km的某地,那么他应付的邮费是( )
元 元 元 元
解析:C 当0＜x≤2 000时,邮费y与运送距离x之间的函数解析式为y＝5,02.向一杯子中匀速注水时,杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示,则杯子的形状是( )
解析:A 从题图中看出,在时间段[0,t1],[t1,t2]内水面高度是匀速上升的,在[0,t1]上升慢,在[t1,t2]上升快,故选A.
3.一定范围内,某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨,则每吨800元,购买2 000吨,则每吨700元,那么一客户购买400吨,其价格为每吨( )
A.820元 B.840元 C.860元 D.880元
解析:C 设y＝kx＋b(k≠0),则1 000＝800k＋b,且2 000＝700k＋b,解得k＝-10,b＝9 000,则y＝-10x＋9 000.解400＝-10x＋9 000,得x＝860(元).
4.某医学团队研制出预防某疾病的新药,服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y＝f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为当日( )
A.上午10:00 B.中午12:00 C.下午4:00 D.下午6:00
解析:C 由图象知,当0≤x≤4时,设直线y＝k1x,把点(4,320)代入得k1＝80,所以y＝80x;当4＜x≤20时,设y＝f(x)＝k2x＋b,将点(4,320)和(20,0)代入得4k2＋b=320,20k2＋b=0,解得k2＝-20,b=400,此时y＝f(x)＝-20x＋400,所以f(x)＝80x,0≤x≤4,-20x＋400,45.(多选)甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B.甲和乙跑的路程一样多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
解析:BD 由题图可知,甲和乙同时出发,故A不正确;因为s甲＝s乙,所以甲和乙跑的路程一样多,故B正确;因为甲和乙跑的路程一样多,但是甲用的时间比乙用的时间少,所以甲的速度大于乙的速度,故C不正确,D正确.故选B、D.
6.(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:
则下列说法正确的是( )
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
解析:BD 大包装饼干300克8.4元,则平均每100克2.8元,小包装饼干100克3元,则买大包装饼干实惠,故B正确;卖1大包饼干盈利8.4-0.7-1.8×3＝2.3(元),卖1小包饼干盈利3-0.5-1.8＝0.7(元),则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1(元),则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多,故D正确.故选B、D.
7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m＝162-3x.若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为 元/件.
解析:设每天获得的销售利润为y元,则y＝(x-30)·(162-3x)＝-3(x-42)2＋432,30＜x＜54,所以当x＝42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件.
答案:42
8.某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数),其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年投入广告费用5万元,预计今年药品利润为 万元.
解析:由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y＝xa中,得3a＝27,解得a＝3,故函数解析式为y＝x3.所以当x＝5时,y＝125.
答案:125
9.汽车从A地出发直达B地,途中经过C地,假设汽车匀速行驶,5 h后到达B地.汽车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系如图所示,则汽车从A地到B地行驶的路程为 km.
解析:设汽车的速度为v km/h,则从A地到C地,s＝200-vt(0≤t≤2),又t＝2时,s＝0,∴2v＝200,解得v＝100.从C地到B地,s＝v(t-2)＝100(t-2)(2＜t≤5),∴t＝5时,s＝100×(5-2)＝300.200＋300＝500(km),故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.
答案:500
10.某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表所示:
如果日销售量y是关于销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得的利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?
解:设y＝ax＋b(a≠0),
则130a＋b=70,150a＋b=50,解得a＝-1,b=200,
所以y＝200-x.
当每件产品的销售价为x元时,每件产品的销售利润为(x-120)元,
设每天的销售利润为S元,则S＝(200-x)×(x-120)＝-x2＋320x-24 000＝-(x-160)2＋1 600,120＜x＜200,
所以当x＝160时,S取得最大值1 600.
所以要使每天所获得的利润最大,每件产品的销售价应定为160元,此时每天的销售利润为1 600元.
11.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.p＋q2 B.(p+1)(q+1)-12
C.pq D.(p+1)(q+1)-1
解析:D 设年平均增长率为x,则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2,解得x＝(p+1)(q+1)-1.
12.(多选)某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图,下列几种说法中正确的是( )
A.前三年中,总产量的增长速度越来越慢
B.前三年中,年产量的增长速度越来越慢
C.第三年后,这种产品停止生产
D.第三年后,年产量保持不变
解析:AC 由题图可知,在区间[0,3]上,总产量的增长速度越来越慢,所以年产量逐年减小,因此A正确,B错误.在[3,8]上,图象是水平直线,表明总产量保持不变,即年产量为0,因此C正确,D错误.故选A、C.
13.某电商结合自己出售的商品,要购买3 000个高为2分米,体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研,此类包装盒按面积计价,每平方分米的价格y(单位:元)与订购数量x(单位:个)之间满足y＝0.011,1 000≤x<2 000,0.01,2 000≤x<4 000,0.009,x≥4 000,则该电商购入3 000个包装盒至少需要 元.(说明:每个纸盒计费面积为六个面的面积之和)
解析:设长方体包装盒的底面长为t(t＞0)分米,则宽为9t分米,故长方体包装盒的表面积S＝4t＋36t＋18(t＞0).∵S＝4t＋36t＋18≥24t·36t＋18＝42,当且仅当4t＝36t,即t＝3时取等号,∴Smin＝42.当x＝3 000时,y＝0.01,∴总费用最少为42×3 000×0.01＝1 260(元).
答案:1 260
14.某游乐场每天的盈利额y(元)与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示,试解决下列问题.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,则每天至少需要卖出多少张门票?
解:(1)当x∈[0,200]时,可设y＝k1x＋b1(k1≠0),
代入点(0,-1 000)和(200,1 000),解得k1＝10,b1＝-1 000,
所以y＝10x-1 000,x∈[0,200].
当x∈(200,300]时,可设y＝k2x＋b2(k2≠0),
代入点(200,500)和(300,2 000),解得k2＝15,b2＝-2 500,
所以y＝15x-2 500,x∈(200,300].
所以y＝10x-1 000,x∈[0,200],15x-2 500,x∈(200,300].
(2)若每天的盈利额超过1 000元,
则x∈(200,300],所以y＝15x-2 500.
由15x-2 500＞1 000,解得x＞7003≈233.3,
故每天至少需要卖出234张门票.
15.根据市场调查,某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝12t+11,0≤t<20,-t+41,20≤t≤40(t∈N),销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝-13t＋433(0≤t≤40,t∈N).则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为 .
解析:设日销售额为F(t).
①当0≤t＜20,t∈N时,
F(t)＝12t+11-13t＋433＝-16t-2122＋164414+946,
故当t＝10或t＝11时,F(t)max＝176.
②当20≤t≤40,t∈N时,
F(t)＝(-t＋41)-13t＋433＝13(t-42)2-13,
故当t＝20时,F(t)max＝161.
综合①②知,当t＝10或t＝11时,日销售额最大,最大值为176.
答案:176
16.某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂进行处理,据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y＝168-x-1,0≤x≤4,5-12x,4(1)若一次喷洒4个单位的去污剂,则去污时间可达几天?
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂,6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:2≈1.4)
解:(1)∵一次喷洒4个单位的去污剂,
∴浓度为4y＝648-x-4,0≤x≤4,20-2x,4则当0≤x≤4时,由648-x-4≥4,
解得x≥0,
∴此时0≤x≤4.
当4＜x≤10时,由20-2x≥4,解得x≤8,
∴此时4＜x≤8.
综上得0≤x≤8,
即若一次喷洒4个单位的去污剂,则去污时间可达8天.
(2)设从第一次喷洒起,经过x(6≤x≤10)天后,
浓度y＝2（5-12x）＋a［168-(x-6)-1］＝(14-x)＋16a14-x-a-4≥2(14-x)·16a14-x-a-4＝8a-a-4,
∵14-x∈[4,8],而1≤a≤4,∴4a∈[4,8],
故当且仅当14-x＝4a时,y有最小值为8a-a-4.
令8a-a-4≥4,解得24-162≤a≤4,
∴a的最小值为24-162≈1.6.
运送距离
x(km)
0＜x≤
500
500＜
x≤1 000
1 000＜
x≤1 500
1 500＜
x≤2 000
…
邮费y(元)
5.00
6.00
7.00
8.00
…
型号
小包装
大包装
重量
100克
300克
包装费
0.5元
0.7元
销售价格
3.00元
8.4元
x/元
130
150
165
y/件
70
50
35
1.北京某快递公司邮寄重量在1 000克以内的包裹的费用标准如下表:
如果某人在北京通过该快递公司邮寄900克的包裹到距该快递公司1 300 km的某地,那么他应付的邮费是( )
元 元 元 元
解析:C 当0＜x≤2 000时,邮费y与运送距离x之间的函数解析式为y＝5,0
解析:A 从题图中看出,在时间段[0,t1],[t1,t2]内水面高度是匀速上升的,在[0,t1]上升慢,在[t1,t2]上升快,故选A.
3.一定范围内,某种产品的购买量y与单价x之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨,则每吨800元,购买2 000吨,则每吨700元,那么一客户购买400吨,其价格为每吨( )
A.820元 B.840元 C.860元 D.880元
解析:C 设y＝kx＋b(k≠0),则1 000＝800k＋b,且2 000＝700k＋b,解得k＝-10,b＝9 000,则y＝-10x＋9 000.解400＝-10x＋9 000,得x＝860(元).
4.某医学团队研制出预防某疾病的新药,服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y＝f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为当日( )
A.上午10:00 B.中午12:00 C.下午4:00 D.下午6:00
解析:C 由图象知,当0≤x≤4时,设直线y＝k1x,把点(4,320)代入得k1＝80,所以y＝80x;当4＜x≤20时,设y＝f(x)＝k2x＋b,将点(4,320)和(20,0)代入得4k2＋b=320,20k2＋b=0,解得k2＝-20,b=400,此时y＝f(x)＝-20x＋400,所以f(x)＝80x,0≤x≤4,-20x＋400,4
A.甲比乙先出发
B.甲和乙跑的路程一样多
C.甲、乙两人的速度相同
D.甲先到达终点
解析:BD 由题图可知,甲和乙同时出发,故A不正确;因为s甲＝s乙,所以甲和乙跑的路程一样多,故B正确;因为甲和乙跑的路程一样多,但是甲用的时间比乙用的时间少,所以甲的速度大于乙的速度,故C不正确,D正确.故选B、D.
6.(多选)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:
则下列说法正确的是( )
A.买小包装实惠
B.买大包装实惠
C.卖3小包比卖1大包盈利多
D.卖1大包比卖3小包盈利多
解析:BD 大包装饼干300克8.4元,则平均每100克2.8元,小包装饼干100克3元,则买大包装饼干实惠,故B正确;卖1大包饼干盈利8.4-0.7-1.8×3＝2.3(元),卖1小包饼干盈利3-0.5-1.8＝0.7(元),则卖3小包饼干盈利0.7×3＝2.1(元),则卖1大包饼干比卖3小包饼干盈利多,故D正确.故选B、D.
7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m＝162-3x.若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为 元/件.
解析:设每天获得的销售利润为y元,则y＝(x-30)·(162-3x)＝-3(x-42)2＋432,30＜x＜54,所以当x＝42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件.
答案:42
8.某药厂研制出一种新型药剂,投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xa(a为常数),其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,若今年投入广告费用5万元,预计今年药品利润为 万元.
解析:由已知投入广告费用为3万元时,药品利润为27万元,代入y＝xa中,得3a＝27,解得a＝3,故函数解析式为y＝x3.所以当x＝5时,y＝125.
答案:125
9.汽车从A地出发直达B地,途中经过C地,假设汽车匀速行驶,5 h后到达B地.汽车与C地的距离s(单位:km)关于时间t(单位:h)的函数关系如图所示,则汽车从A地到B地行驶的路程为 km.
解析:设汽车的速度为v km/h,则从A地到C地,s＝200-vt(0≤t≤2),又t＝2时,s＝0,∴2v＝200,解得v＝100.从C地到B地,s＝v(t-2)＝100(t-2)(2＜t≤5),∴t＝5时,s＝100×(5-2)＝300.200＋300＝500(km),故汽车从A地到B地行驶的路程为500 km.
答案:500
10.某种产品的成本是120元/件,试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如表所示:
如果日销售量y是关于销售价x的一次函数,那么,要使每天所获得的利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天的销售利润是多少?
解:设y＝ax＋b(a≠0),
则130a＋b=70,150a＋b=50,解得a＝-1,b=200,
所以y＝200-x.
当每件产品的销售价为x元时,每件产品的销售利润为(x-120)元,
设每天的销售利润为S元,则S＝(200-x)×(x-120)＝-x2＋320x-24 000＝-(x-160)2＋1 600,120＜x＜200,
所以当x＝160时,S取得最大值1 600.
所以要使每天所获得的利润最大,每件产品的销售价应定为160元,此时每天的销售利润为1 600元.
11.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.p＋q2 B.(p+1)(q+1)-12
C.pq D.(p+1)(q+1)-1
解析:D 设年平均增长率为x,则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2,解得x＝(p+1)(q+1)-1.
12.(多选)某工厂八年来某种产品总产量y(即前x年年产量之和)与时间x(年)的函数关系如图,下列几种说法中正确的是( )
A.前三年中,总产量的增长速度越来越慢
B.前三年中,年产量的增长速度越来越慢
C.第三年后,这种产品停止生产
D.第三年后,年产量保持不变
解析:AC 由题图可知,在区间[0,3]上,总产量的增长速度越来越慢,所以年产量逐年减小,因此A正确,B错误.在[3,8]上,图象是水平直线,表明总产量保持不变,即年产量为0,因此C正确,D错误.故选A、C.
13.某电商结合自己出售的商品,要购买3 000个高为2分米,体积为18立方分米的长方体纸质包装盒.经过市场调研,此类包装盒按面积计价,每平方分米的价格y(单位:元)与订购数量x(单位:个)之间满足y＝0.011,1 000≤x<2 000,0.01,2 000≤x<4 000,0.009,x≥4 000,则该电商购入3 000个包装盒至少需要 元.(说明:每个纸盒计费面积为六个面的面积之和)
解析:设长方体包装盒的底面长为t(t＞0)分米,则宽为9t分米,故长方体包装盒的表面积S＝4t＋36t＋18(t＞0).∵S＝4t＋36t＋18≥24t·36t＋18＝42,当且仅当4t＝36t,即t＝3时取等号,∴Smin＝42.当x＝3 000时,y＝0.01,∴总费用最少为42×3 000×0.01＝1 260(元).
答案:1 260
14.某游乐场每天的盈利额y(元)与售出的门票张数x之间的函数关系如图所示,试解决下列问题.
(1)求y关于x的函数解析式;
(2)若要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,则每天至少需要卖出多少张门票?
解:(1)当x∈[0,200]时,可设y＝k1x＋b1(k1≠0),
代入点(0,-1 000)和(200,1 000),解得k1＝10,b1＝-1 000,
所以y＝10x-1 000,x∈[0,200].
当x∈(200,300]时,可设y＝k2x＋b2(k2≠0),
代入点(200,500)和(300,2 000),解得k2＝15,b2＝-2 500,
所以y＝15x-2 500,x∈(200,300].
所以y＝10x-1 000,x∈[0,200],15x-2 500,x∈(200,300].
(2)若每天的盈利额超过1 000元,
则x∈(200,300],所以y＝15x-2 500.
由15x-2 500＞1 000,解得x＞7003≈233.3,
故每天至少需要卖出234张门票.
15.根据市场调查,某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)＝12t+11,0≤t<20,-t+41,20≤t≤40(t∈N),销售量g(t)与时间t满足关系g(t)＝-13t＋433(0≤t≤40,t∈N).则这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值为 .
解析:设日销售额为F(t).
①当0≤t＜20,t∈N时,
F(t)＝12t+11-13t＋433＝-16t-2122＋164414+946,
故当t＝10或t＝11时,F(t)max＝176.
②当20≤t≤40,t∈N时,
F(t)＝(-t＋41)-13t＋433＝13(t-42)2-13,
故当t＝20时,F(t)max＝161.
综合①②知,当t＝10或t＝11时,日销售额最大,最大值为176.
答案:176
16.某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂进行处理,据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为y＝168-x-1,0≤x≤4,5-12x,4
(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂,6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求a的最小值.(精确到0.1,参考数据:2≈1.4)
解:(1)∵一次喷洒4个单位的去污剂,
∴浓度为4y＝648-x-4,0≤x≤4,20-2x,4
解得x≥0,
∴此时0≤x≤4.
当4＜x≤10时,由20-2x≥4,解得x≤8,
∴此时4＜x≤8.
综上得0≤x≤8,
即若一次喷洒4个单位的去污剂,则去污时间可达8天.
(2)设从第一次喷洒起,经过x(6≤x≤10)天后,
浓度y＝2（5-12x）＋a［168-(x-6)-1］＝(14-x)＋16a14-x-a-4≥2(14-x)·16a14-x-a-4＝8a-a-4,
∵14-x∈[4,8],而1≤a≤4,∴4a∈[4,8],
故当且仅当14-x＝4a时,y有最小值为8a-a-4.
令8a-a-4≥4,解得24-162≤a≤4,
∴a的最小值为24-162≈1.6.
运送距离
x(km)
0＜x≤
500
500＜
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