初中数学苏科版九年级上册2.3 确定圆的条件课时训练

这是一份初中数学苏科版九年级上册2.3 确定圆的条件课时训练，文件包含第03讲确定圆的条件知识解读+真题演练+课后巩固原卷版docx、第03讲确定圆的条件知识解读+真题演练+课后巩固解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。

掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,掌握不在同一直线上的三个点作圆的方法。
能画出三角形的外接圆,了解三角形的外心。
知识点1 ：确定圆的条件
1.过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
知识点2 ：三角形的外接圆与外心
1.三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
2.三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
【题型1 确定圆的条件】
【典例1】（2022秋•广平县期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．经过已知点M
B．以点O为圆心，10cm长为半径
C．以10cm长为半径
D．以点O为圆心
【答案】B
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴B选项正确，
故选：B．
【变式1-1】（2022秋•沙坪坝区校级月考）下列条件中能够确定一个圆的是（ ）
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知三个点
D．过一个三角形的三个顶点
【答案】D
【解答】解：确定一个圆的条件是圆心和半径，过一个三角形的三个顶点即可确定一个圆，
故选：D．
【变式1-2】（2021秋•凤山县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．无数
【答案】A
【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆．
故选：A．
【变式1-3】（2020秋•绵竹市期末）过A、B、C三点能确定一个圆的条件是（ ）
①AB＝2，BC＝3，AC＝5；
②AB＝3，BC＝3，AC＝2；
③AB＝3，BC＝4，AC＝5．
A．①②B．①②③C．②③D．①③
【答案】C
【解答】解：①AB+BC＝AC，即A、B、C三点共线，不能确定一个圆；
②AB＝BC，以A、B、C三点为顶点的等腰三角形，有外接圆；
③A、B、C三点为顶点的直角三角形，有外接圆．
故选：C．
【题型2 根据点判断圆的个数】
【典例2】（吴兴区校级一模）平面上有四个点，过其中任意3个点一共能确定圆的个数为（ ）
A．0或3或4B．0或1或3C．0或1或3或4D．0或1或4
【答案】C
【解答】解：如图，当四点在同一条直线上时，不能确定圆，当四点共圆时，只能作一个圆，当三点在同一直线上时，可以作三个圆，当四点不共圆时，且没有三点共线时，能确定四个圆．
故选：C．
【变式2】（秋•东台市期中）如图，点A、B、C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意3个，能画的圆有（ ）
A．1 个B．2个C．3个D．4 个
【答案】C
【解答】解：∵点A、B、C在同一条直线上，
∴经过点A、B、D，或点A、C、D，或点B、C、D分别能画一个圆，
故选：C．
【题型3 根据点的位置确定圆心】
【典例3】（2023•城区二模）如图，在5×5的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（ ）个．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【解答】解：连接AC，OD，OE，
∵△ABC是直角三角形，
∴△ABC外接圆的圆心是Rt△ABC斜边的中点，设圆心为O，半径是r，如图所示，
∵AC＝＝2，
∴r＝AC＝，
∵OD＝OE＝＝，
∴OD＝OE＝r，
∴D、E在圆上，
∵OF＝3，
∴OF＞r，
∴F在圆外，
∴点D、E、F三点中在圆O外的有一个．
故选：B．
【变式3-1】（2023•保定一模）如图，在正方形方格中，A，B，C，D，E，P均在格点处，则点P是下列哪个三角形的外心（ ）
A．△ACEB．△ABDC．△ACDD．△BCE
【答案】D
【解答】解：由勾股定理得：PC＝PE＝PB＝＝，
∴P到B、C、E的距离相等，
∴P是△BCE的外心．
故选：D．
【变式3-2】（2021•阳新县校级模拟）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】A
【解答】解：第①块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A
【题型4判断三角形的外接圆的圆心】
【典例4】（2023春•泰山区校级期中）如图中△ABC外接圆的圆心坐标是（ ）
A．（5，1）B．（4，2）C．（5，2）D．（5，3）
【答案】C
【解答】解：△ABC外接圆圆心的坐标为（5，2）．
故选：C．
【变式4-1】（秋•龙口市期末）如图，点A，B，C都在格点上，△ABC的外接圆的圆心坐标为（ ）
A．（5，2）B．（2，4）C．（3，3）D．（4，3）
【答案】A
【解答】解：作AB和BC的垂直平分线相交于点P，从而得到P点坐标．
∴P（5，2）．
故选：A．
【变式4-2】（2022秋•姑苏区校级期中）过三点A（2，2），B（6，2），C（2，4）的圆的圆心坐标为（ ）
A．（4，5）B．（4，3）C．（5，4）D．（5，3）
【答案】B
【解答】解：如图，
∵A（2，2），B（6，2），C（2，4），
∴△ABC是直角三角形，
∴BC的中点O的坐标为（4，3），
∴过三点A（2，2），B（6，2），C（2，4）的圆的圆心坐标为（4，3），
故选：B．
【变式4-3】（2022秋•承德县期末）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C．D、E、F在小正方形的顶点上，则△ABC的外心是（ ）
A．点DB．点EC．点FD．点G
【答案】A
【解答】解：根据题意可知，点D是△ABC外心．
故选：A．
【题型5 根据三角形外接圆的性质求角度】
【典例5】（2022秋•西峡县校级期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的大小为（ ）
A．40°B．30°C．80°D．100°
【答案】D
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°．
故选：D．
【变式5-1】（2022秋•信都区校级期末）如图，点O是△ABC的外接圆的圆心，若∠A＝80°，则∠BOC为（ ）
A．100°B．160°C．150°D．130°
【答案】B
【解答】解：∵点O是△ABC的外接圆的圆心，
∴∠A、∠BOC同对着，
∵∠A＝80°，
∴∠BOC＝2∠A＝160°，
故选：B．
【变式5-2】（2023•瑞安市开学）如图，△ABC内接于⊙O，CA＝CB，若∠A＝70°，则的度数为（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【答案】C
【解答】解：∵CA＝CB，∠A＝70°，
∴∠A＝∠B＝70°，
∴∠C＝180°﹣2×70°＝40°，
∴的度数为80°，
故选：C．
【题型6 根据三角形外接圆的性质求线段长度】
【典例6】（2023•沙坪坝区校级一模）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝120°，，则⊙O的半径为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】A
【解答】解：在弦AC所对优弧上取一点D，连接DA，DC，作OH⊥AC于H，
∴AH＝AC＝×4＝2，
∵∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠ABC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠AOC＝2∠D＝120°，
∵∠AOH＝∠AOC＝60°，
∴sin∠AOH＝＝，
∴AO＝4，
∴⊙O的半径为4．
故选：A．
【变式6-1】（2023•青岛一模）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB＝6，则⊙O的半径是（ ）
​
A．3B．C．D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，过点O作OE⊥BC，
∵⊙O是等边△ABC的外接圆，
∴OB平分∠ABC，
∴∠OBE＝30°，
又∵OE⊥BC，
∴BE＝BC＝AB＝3，
在Rt△OBE中，cs30°＝，
∴＝，
解得OB＝2，
故选：C．
【变式6-2】（2023•金牛区校级模拟）如图，△ABC内接于圆O，圆O的半径是6，∠BAC＝60°，OD⊥BC于点D，则线段BC的长度是（ ）
A．3B．3C．6D．6
【答案】D
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，OD⊥BC，
∴∠DOC＝∠BOC＝60°，BC＝2CD，
在Rt△OCD中，OC＝6，
∴CD＝OC•sin60°＝6×＝3，
∴BC＝2CD＝6，
故选：D．
【变式6-3】（2022秋•海港区校级期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，AB＝6，则⊙O半径为（ ）
A．3B．8C．2D．10
【答案】A
【解答】解：连接AO，并延长交⊙O于点D，连接BD，
∵∠C＝45°，
∴∠D＝45°，
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠D＝45°，
∵AB＝6，
∴BD＝6，
∴AD＝＝＝6，
∴⊙O的半径AO＝＝3．
故选：A．
【变式6-4】（2022•博望区校级开学）如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，求CD的长．
【答案】．
【解答】解：如图，连接OA，OC．
∵∠COA＝2∠CBA＝2×45°＝90°，
在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC＝＝＝2．
∵CD⊥AB，∠CAB＝30°，
∴CD＝AC＝．
1．（2022•杭州）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．csθ（1+csθ）B．csθ（1+sinθ）
C．sinθ（1+sinθ）D．sinθ（1+csθ）
【答案】D
【解答】解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A′D⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，
在Rt△BOD中，
sinθ＝，csθ＝
∴BD＝sinθ，OD＝csθ，
∴BC＝2BD＝2sinθ，
A′D＝A′O+OD＝1+csθ，
∴A′D•BC＝×2sinθ（1+csθ）＝sinθ（1+csθ）．
故选：D．
2．（2021•西藏）如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⨀O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为（ ）
A．40°B．55°C．70°D．110°
【答案】B
【解答】解：连接OB，OC，
∵∠D＝70°，
∴∠BOC＝2∠D＝140°，
∵OA⊥BC，
∴∠COA＝，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣70°）＝55°，
故选：B．
3．（2020•赤峰）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O．若OA＝3，则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．3πB．4πC．6πD．9π
【答案】D
【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝CD，AD⊥BC，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴点O是△ABC外接圆的圆心，
∵OA＝3，
∴△ABC外接圆的面积＝πr2＝π×32＝9π．
故选：D．
4．（2020•陕西）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（ ）
A．55°B．65°C．60°D．75°
【答案】B
【解答】解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝BDC＝65°，
故选：B．
5．（2022•黑龙江）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 3 cm．
【答案】3．
【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6×＝3（cm），
故答案为：3．
6．（2022•玉林）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 △ABD，△ACD，△BCD ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图可知：
OA＝，
OB＝，
OC＝，
OD＝，
OE＝，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
故答案为：△ABD，△ACD，△BCD．
7．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝40°，则∠ACB＝ 50 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接BD，如图，
∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠ACB＝∠D＝50°．
故答案为50．
8．（2020•黑龙江）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ 50 °．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
故答案为：50．
1．（2021秋•义乌市期末）下列条件中，能确定一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心
B．以10cm长为半径
C．以点A为圆心，4cm长为半径
D．经过已知点M
【答案】C
【解答】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆，
∴C选项正确，
故选：C．
2．（2022•绥中县一模）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．①B．②C．③D．均不可能
【答案】A
【解答】解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：A．
3．（2022•长安区校级模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（ ）
A．圆心与半径B．直径
C．三角形的三个顶点D．平面上的三个已知点
【答案】D
【解答】解：A、已知圆心和半径能确定一个圆；
B、已知直径能确定一个圆；
C、已知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；
D、平面上的三个已知点不能确定一个圆．
故选：D．
4．（2022秋•河西区校级期末）下列说法错误的是（ ）
A．已知圆心和半径可以作一个圆
B．经过一个已知点A的圆能作无数个
C．经过两个已知点A，B的圆能作两个
D．经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆
【答案】C
【解答】解：A、已知圆心和半径可以作一个圆，说法正确，故不符合题意．
B、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，所以经过一个已知点A的圆能作无数个，说法正确，故不符合题意．
C、只有确定圆心和半径才能确定一个圆，到A、B两点的距离相等的点有无数个，这些点在以A、B为端点的线段的垂直平分线上，所以已知点A，B的圆能作无数个，说法错误，故符合题意．
D、过不在同一直线上的三个点A、B、C能作出三条线段，这三条线段的垂直平分线相交于一点，这个点到A、B、C三点的距离相等．所以经过不在同一直线上的三个点A，B，C只能作一个圆，说法正确，故不符合题意．
故选：C．
5．（2022秋•抚松县期末）如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝45°，则∠BOC的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．90°
【答案】D
【解答】解：∵∠A是所对的圆周角，∠BOC是所对的圆心角，∠A＝45°，
∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°．
故选：D．
6．（2022秋•渝北区期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝60°，若⊙O的半径为4，则弦BC的长为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【解答】解：过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∴∠ODB＝90°，BC＝2BD，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，
∵OB＝4，
∴OD＝OB＝2，
∴BD＝＝＝2，
∴BC＝2BD＝4，
故选：C．
7．（2023•邢台一模）如图，在由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，E，F，O均在格点上．下列三角形中，外心不是点O的是（ ）
A．△ABCB．△ABDC．△ABED．△ABF
【答案】C
【解答】解：∵OA＝OB＝＝，OE＝2，
∴OA＝OB≠OE，
∴点O不是△ABE的外心，
故选：C．
8．（2022秋•江岸区校级期末）如图所示，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3）、B（﹣2，﹣2）、C（4，﹣2），则△ABC外接圆半径的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点M，则M（1，0），
根据三角形的外心的性质可知，点M是△ABC外接圆的外心，
则△ABC外接圆的半径为：＝，
故选：D．
9．（2023•滨海新区模拟）边长为1的正三角形的外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接OB，作OD⊥BC，
∵BC＝1，
∴BD＝BC＝×1＝，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝BO，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴4OD2＝OD2+，
解得：OD＝，
∴OB＝2OD＝，
故选：C．
10．（2022秋•易县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 （2，1） ，半径为 ．
【答案】（2，1），．
【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），
连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，
∴Q点的坐标是（2，1），
∴A点的坐标是（0，2），
∴圆弧的半径为＝．
故答案为：（2，1），．
11．（2021秋•东光县期中）经过两点可以做 无数个 个圆，不在同一直线的 三 个点可以确定一个圆．
【答案】无数个，三．
【解答】解：经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆．
故答案为：无数个，三．
12．（2023•大埔县开学）如图所示，在△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．
∵BD，CE是△ABC的高，
∴△BCD和△BCE都是直角三角形．
∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，
∴DF＝EF＝BF＝CF．
∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．
13．（2023•庐阳区一模）已知直线a和直线外的两点A、B，经过A、B作一圆，使它的圆心在直线a上．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：作图如右：
14．（2021秋•秀洲区校级期中）将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC＝16cm，腰AB＝10cm，求圆片的半径R．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，BC，BC交OA于D．
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm，
∵AB＝10cm，
∴AD＝6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD＝（R﹣6）cm，
∴R2＝82+（R﹣6）2，
解得：R＝cm，
∴圆片的半径R为cm．
15．（2022秋•滑县期中）如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，⊙O的半径为5，∠A＝60°，求弦BC的长．
【答案】5．
【解答】解：连接CO并延长交⊙O于D，连接BD，
则∠D＝∠A＝60°，∠CBD＝90°，
∵⊙O的半径为5，
∴CD＝10，
∴BD＝CD＝5，
∴BC＝＝＝5，
故弦BC的长为5．
16．（2021秋•海淀区期末）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）32．
【解答】（1）证明：∵OD⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵OD⊥BC，BC＝8，
∴BD＝DC＝BC＝×8＝4，
在Rt△ODB中，OD＝＝＝3，
∴AD＝5+3＝8，
∴S△ABC＝×8×8＝32．