高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行导学案及答案，共23页。
1 线面平行
① 直线与直线平行
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理)
符号表述：a // b , b // c⟹ a // c
等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
② 直线与平面平行
(1) 定义
直线与平面无交点.
(2) 判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
(俗说：若a⊄α，要证明a//α，则在平面α内找一条直线与直线a平行)
符号表述
a//b a⊄α b⊂α⇒a// α (线线平行⇒线面平行)
(3) 性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号表述
a//αa⊂β α∩β=b⇒ a // b (线面平行⇒线线平行)
(4) 证明线面平行的方法
定义法(反证) l∩α=∅ ⇒l // α(用于判断)
判定定理： a // ba⊄αb⊂ α⟹a // α (线线平行⟹线面平行)
α// βa⊂α⟹a// β(面面平行⇒线面平行)
b⊥ab⊥α a⊄α⟹a// α
2面面平行
① 定义：α∩β=∅⟹α // β;
判断
(1) α内有无穷多条直线都与β平行 ( × )；
(2) α内的任何一条直线都与β平行 ( √ )；
②判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：a , b⊂α , a∩ b=O , a // β , b // β⇒α // β
【如图】
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.
符号表述：a , b⊂α , a∩ b=O , a' , b'⊂β , a // a' , b // b' ⇒α // β
【如图】
③ 面面平行的性质
a⊂αα//β⇒a//β (面面平行⇒线面平行)
α // βα∩γ=a β∩ γ=b⇒ a // b (面面平行⇒线线平行)
夹在两个平行平面间的平行线段相等.
④ 证明面面平行的方法
定义法；
判定定理及推论(常用)
【题型一】线面平行的证明
【典题1】 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E , F , P , Q分别是BC， C1D1，AD1，BD的中点.
(1)求证：PQ//平面DCC1D1； (2)求PQ的长；(3)求证：EF//平面 BB1D1D.

【典题2】 如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M ,N分别为PA ,BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
(1)求证：直线MN∥平面PBC； (2)求线段MN的长.

【题型二】线面平行的性质
【典题1】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别为线段PC、PB上一点，若PM∶MC=3∶1，且AN∥平面BDM，则PN∶NB= ( )
A.4∶1B.3∶1C.3∶2D.2∶1
巩固练习
1(★) 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交B.平行C.垂直D.不能确定
2(★) 如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC= .
3 (★★) 如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是 .

4 (★★) 如图.在四棱锥P－ABCD中.底面ABCD是平行四边形，点M为棱AB上一点AM=2MB.点N为棱PC上一点，
(1)若PN=2NC，求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN∥平面PAD，求证：PN=2NC.
5 (★★★) 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1) 求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
(2) 若AB=4 ,CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.
【题型三】面面平行的证明
【典题1】 如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.
(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.


【典题2】 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，
PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．

【典题3】 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP//截面AB1C，则线段MP长度的取值范围是( )
A. 2 , 6 B. [6 , 2 2] C. [6 , 2 3] D. [6 , 3]


【题型四】面面平行的性质
【典题1】 已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是 ( )
A．若a⊂β，且α∥β，则a∥α B．若b⊂α，a∥b，则a∥α
C．若a∥β，α∥β，则a∥α D．若b∥α，a∥b，则a∥α
【典题2】 已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．
(1)若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；
(2)求截面四边形MNPQ面积的最大值．

巩固练习
1(★) 已知直线a⊂α，给出以下三个命题：
①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．
其中正确的命题是( )
A．② B．③ C．①② D．①③
2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
3(★★) 已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为( )
A.245B.125C.245或24D.125或12
4(★★) 已知两平行平面α与β之间的距离为4，直线a⊂β，点A∈a，则平面α内到点A的距离为5，且到直线a的距离为25的点的轨迹是( )
A．一组平行线 B．一条抛物线 C．两段圆弧 D．四个点
5(★★) 如图，已知平面α，β，γ，且α∥β∥γ，直线a，b分别与平面α，β，γ交于点A，B，C和D，E，F，若AB=1，BC=2，DF=9，则EF= ．
6(★★) 如图所示，ABCD−A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=a3，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= ．
7 (★★) 在长方体ABCD−A1B1C1D1中 ,DA=DC=1 ,DD1=2，分别在对角线A1D ,CD1上取点M ,N，使得直线MN//平面A1ACC1，则线段MN长的最小值为 ．
8(★★) 已知：如图，平面α、β满足α∥β，A、C∈α，B、D∈β，E∈AB，F∈CD，AC与BD异面，
且AEEB=CFFD．求证：EF∥β
9(★★★) 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点，
求证：(1)MN∥CD1
(2)MN∥平面CC1D1D．
(3)平面MNP∥平面CC1D1D．
空间直线、平面的平行
1 线面平行
① 直线与直线平行
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行线的传递公理)
符号表述：a // b , b // c⟹ a // c
等角定理 如果空间中两个角度两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
② 直线与平面平行
(1) 定义
直线与平面无交点.
(2) 判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
(俗说：若a⊄α，要证明a//α，则在平面α内找一条直线与直线a平行)
符号表述
a//b a⊄α b⊂α⇒a// α (线线平行⇒线面平行)
(3) 性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
符号表述
a//αa⊂β α∩β=b⇒ a // b (线面平行⇒线线平行)
(4) 证明线面平行的方法
定义法(反证) l∩α=∅ ⇒l // α(用于判断)
判定定理： a // ba⊄αb⊂ α⟹a // α (线线平行⟹线面平行)
α// βa⊂α⟹a// β(面面平行⇒线面平行)
b⊥ab⊥α a⊄α⟹a// α
2面面平行
① 定义：α∩β=∅⟹α // β;
判断
(1) α内有无穷多条直线都与β平行 ( × )；
(2) α内的任何一条直线都与β平行 ( √ )；
②判定定理
如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面互相平行；
符号表述：a , b⊂α , a∩ b=O , a // β , b // β⇒α // β
【如图】
推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.
符号表述：a , b⊂α , a∩ b=O , a' , b'⊂β , a // a' , b // b' ⇒α // β
【如图】
③ 面面平行的性质
a⊂αα//β⇒a//β (面面平行⇒线面平行)
α // βα∩γ=a β∩ γ=b⇒ a // b (面面平行⇒线线平行)
夹在两个平行平面间的平行线段相等.
④ 证明面面平行的方法
定义法；
判定定理及推论(常用)
【题型一】线面平行的证明
【典题1】 如图所示，在棱长为a的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E , F , P , Q分别是BC， C1D1，AD1，BD的中点.
(1)求证：PQ//平面DCC1D1； (2)求PQ的长；(3)求证：EF//平面 BB1D1D.
【解析】 (1) 如图所示，连接AC，CD1
∵P，Q分别为AD1、AC的中点，
∴PQ//CD1，
∵CD1⊂平面DCC1D1，PQ⊄平面DCC1D1，
∴PQ//平面DCC1D1.
(2) 由题意，可得：PQ=12D1C=22a
(3) 连接QE、D1Q，
∵E、Q分别是BC，BD的中点，∴QE//CD且QE=12CD，
又D1F//CD且QE=12CD，∴D1F=QE ,D1F//QE，
∴四边形D1FEQ是平行四边形
∴D1Q//EF
又∵D1Q⊂平面D1FEQ，EF⊄平面D1FEQ，
∴EF//平面BB1D1D.
【点拨】
① 在立体几何中，遇到中点我们往往会想到中位线；
② 证明线面平行的过程中，经常利用三角形的中位线(如第一问)和构造平行四边形的方法(如第三问);
③ 证明线面平行可转化为证明线线平行或面面平行，本题第三问还有多种方法.
【典题2】 如图所示，正四棱锥P—ABCD的各棱长均为13，M ,N分别为PA ,BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
(1)求证：直线MN∥平面PBC； (2)求线段MN的长.
【解析】(1)证明 连接AN并延长交BC于Q，连接PQ，如图所示.
∵AD∥BQ，∴△QNB∽△AND，
∴NQAN=BNND=BQAD=58，
又∵PMMA=BNND=58，
∴MPAM=NQAN=58，∴MN//PQ，
又∵PQ⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，
∴MN∥平面PBC.
(2)解 在等边△PBC中，∠PBC=60°，
在△PBQ中由余弦定理知
PQ2=PB2+BQ2−2PB·BQcs∠PBQ=132+6582−2×13×658×12=828164，
∴PQ=918，
∵MN∥PQ，MN∶PQ=8∶13，∴MN=918×813=7.
【点拨】
① 证明线面平行可转化为线线平行，而本题是利用线段成比例证明线线平行；
② 由于线段PA与BD是异面直线，则条件PM∶MA=BN∶ND不太好处理，一般要利用第三个“比例”把PM∶MA和BN∶ND联系起来，本题NQ：AN充当了这个角色;
③ 处理线段成比例中，要常注意以下几个模型，往往跟相似三角形有关：
比如本题中的△QNB∽△AND就是属于“8字型”.
【题型二】线面平行的性质
【典题1】如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，M、N分别为线段PC、PB上一点，若PM∶MC=3∶1，且AN∥平面BDM，则PN∶NB= ( )
A.4∶1B.3∶1C.3∶2D.2∶1
【解析】 如图，连接AC交BD于点O，连接CN交BM于点G，
由AN∥平面BDM，可得AN∥OG，(此处是根据线面平行的性质)
∵OA=OC，∴CG=NG，∴G为CN的中点，
作HN∥BM，∴CM=HM，
∵PM∶MC=3：1，∴PH=HC，∴PN∶NB=PH∶HM=2：1，
故选：D.
【点拨】
① 题目中出现线面平行AN∥平面BDM，理当想到线面平行的性质；
② 线面平行的性质可由线面平行得到线线平行;
③ 在处理很多比例时，利用“份”的概念，可快速清楚各线段之间比例
比如
(1) 中PM∶MC=3∶1，MC∶HM=2：1，则设最短线HM=1(即HM为“1份”)，则MC=2 ,PM=7，则可得PM∶MC=7：2;
(2) 中EF//BC，若AE∶AB=3∶7，设AE=3(即线段AB共“7份”，AE占了“3份”)，则AB=7，BE=4，由于线段成比例，易得类似FC：AC=4：7等比例关系.
巩固练习
1(★) 如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A.相交B.平行C.垂直D.不能确定
【答案】B
【解析】连结A1C、BC，取A1C的中点Q，A1B的中点P，
连结NQ、PQ、MN，
∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，
∴NQ∥CC1，PQ∥BC，
∵PQ∩NQ=Q，CC1∩BC=C，PQ、NQ⊂平面PMN，CC1，BC⊂平面A1BC1，
∴平面PNQ∥平面A1BC1，
∵MN⊂平面PNQ，∴MN∥平面BB1C1C．
故选：B．
2(★) 如图所示，P为▱ABCD所在平面外一点，E为AD的中点，F为PC上一点，当PA∥平面EBF时，PFFC= .
【答案】
【解析】连接AC交BE于点M，连接FM．
∵PA∥平面EBF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBF=EM，
∴PA∥EM，∴PFFC=AMMC=AEBC=12，故答案为：12．

3 (★★) 如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4，点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上，若直线AB，CD都平行于平面EFGH，则四边形EFGH面积的最大值是 .

【答案】
【解析】 ∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG∥AB；
同理EF∥AB，FG∥CD，EH∥CD，所以FG∥EH，EF∥HG．
故：四边形EFGH为平行四边形．
又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD．
所以：四边形EFGH为矩形．
设BF∶BD=BG∶BC=FG∶CD=x，(0≤x≤1)，FG=2x，HG=2(1－x)
SEFGH=FG×HG=4x(1－x) =－4(x−12)2+1
根据二次函数的性质可知：SEFGH面积的最大值1．
4 (★★) 如图.在四棱锥P－ABCD中.底面ABCD是平行四边形，点M为棱AB上一点AM=2MB.点N为棱PC上一点，
(1)若PN=2NC，求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN∥平面PAD，求证：PN=2NC.
【证明】(1)过N作NE∥CD交PD于E，连接AE．
则ENCD=PNPC=23，∴EN=23CD，
又AM=2MB，∴AM=23AB．
又AB=∥CD，∴AM=∥EN，
∴四边形AMNE是平行四边形，
∴MN∥AE，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．
(2)过N作NE∥CD交PD于E，
∵NE∥CD∥AB，∴NE∥AB，
∴A，M，N，E四点共面，
∵MN∥平面PAD，MN⊂平面AMNE，平面AMNE∩平面PAD=AE，∴MN∥AE，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴NE=AM=23AB=23CD．
∴PNPC=NECD=23，∴PN=2NC．
5 (★★★) 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.
(1) 求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH.
(2) 若AB=4 ,CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.
∵HG平面ABD，∴EF∥平面ABD.
∵EF平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB. (线面平行的性质)
∴AB∥平面EFGH.
同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解 设EF=x(0＜x＜4)，由于四边形EFGH为平行四边形，
∴.则===1-.从而FG=6-.
∴四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0＜x＜4,则有8＜l＜12,
∴四边形EFGH周长的取值范围是(8，12).
【题型三】面面平行的证明
【典题1】 如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.
(1)求证：BE∥平面DMF；
(2)求证：平面BDE∥平面MNG.
【解析】(1) 方法1 连接AE交DF与H，连接HN，如图示

∵ADEF均为平行四边形，∴H是AE中点，
又∵M是AB的中点，∴HN//EN
又∵HN⊂平面DMF，BE⊄平面DMF
∴BE∥平面DMF.
方法2 作DC的中点P，连接PE、PB，
ABCD与ADEF均为平行四边形，
M，N，G分别是AB，AD，EF的中点.
∴PB∥DM，FM∥PE，且FM，MD交于M点，PB，PE交于P点，
故平面DFM∥平面BPE，
∴BE∥平面DMF；
(2)∵MN∥BD，GN∥DE，且MN、GN交于N点，DE、DB交于D点，
∴平面BDE∥平面MNG.
【点拨】
① 遇到中点，可想到三角形的中位线；
② 利用三角形中位线和平行四边形证明线线平行是常见的方法；
③ 第一问中，证明线面平行可转化为线线平行或面面平行，方法1就是在平面DMF内找一直线平行EB，充分利用了三角形的中位线；方法2是利用面面平行的性质，需要找到过直线BE且平行平面DEF的平面EPB.
④ 第二问，面面平行的证明转化为线线平行: 平面BDE∥平面MNG⇔MN∥BD，GN∥DE.
【典题2】 如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，
PA⊥平面ABCD，PA=2，AB=1．设M，N分别为PD，AD的中点．
(1)求证：平面CMN∥平面PAB；(2)求三棱锥P－ABM的体积．
【解析】(1)证明∵M ,N分别为PD，AD的中点，
∴MN∥PA．
又∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
∴MN∥平面PAB．
在Rt△ACD中，N分别为AD的中点，∴CN=AN，
∴∠ACN=∠CAD=60°．
又∵∠BAC=60°，∴CN∥AB．
∵CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CN∥平面PAB．
又∵CN∩MN=N，∴平面CMN∥平面PAB．
(2) 由(1)知，平面CMN∥平面PAB，
∴点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离．
由已知，AB=1，∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴BC=3，
∴三棱锥P－ABM的体积
VP−ABM=VM−PAB=VC−PAB=VP−ABC=13×PA×SABC=13×12×1×3×2=33．
【点拨】
① 面面平行可转化为线面平行：a , b⊂α , a∩ b=O , a // β , b // β⇒α // β;要证明在平面CMN∥平面PAB，只需要在平面CMN找到两条相交线均平行平面PAB便行;
② 夹在两个平行平面间的平行线段相等，则点M到平面PAB的距离等于点C到平面PAB的距离;
③ 求三棱锥的体积常用等积法.三棱锥P－ABM的体积表示为VP−ABM即以点P到平面ABM的距离为高ℎ1、以平面ABM为底面，而表示为VM−PAB是以平面PAB为底面、点M到面PAB的距离为高ℎ2，而ℎ1较难求，故想到VP−ABM=VM−PAB.等式 VP−ABM=VM−PAB=VC−PAB=VP−ABC(相当连续用了两次等积法).
【典题3】 如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP//截面AB1C，则线段MP长度的取值范围是( )
A. 2 , 6 B. [6 , 2 2] C. [6 , 2 3] D. [6 , 3]
【解析】
取CD的中点N，CC1的中点R，B1C1的中点H，
则MN//B1C//HR ,MH//AC，
故平面MNRH//平面AB1C，
MP⊂平面MNRH，线段MP扫过的图形是△MNR，
由AB=2，则MN=2 2 , NR=2 , MR=6 ,
∴ MN2=NR2+MR2 ,
∴∠MRN是直角，
∴线段MP长度的取值范围是：(MR ,MN)，即：(6 , 2 2).
故选：B.
【点拨】
① 本题的关键是找到满足条件的点P的轨迹，由已知点P是侧面CDD1C1上的动点MP//截面AB1C可知点P的轨迹是过点M且平行面AB1C的平面与侧面CDD1C1的交线；怎么找到呢？以下提供另一思路：想象将面AB1C沿着B1M方向平移过点M，较易得到面MNQ(如下图1)，而面MNQ与侧面CDD1C1的交线就是所求交线了，那把面MNQ拓展成面MQNJ，易得交线为NR(如下图2);
(图1) (图2)
② 线段MP扫过的图形是△MNR，则需要求出△MNR三边长度，确定MP的长度范围.

【题型四】面面平行的性质
【典题1】 已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是 ( )
A．若a⊂β，且α∥β，则a∥α B．若b⊂α，a∥b，则a∥α
C．若a∥β，α∥β，则a∥α D．若b∥α，a∥b，则a∥α
【解析】 A ∵α∥β，又a⊂β，∴a∥α故A正确；
B ∵b⊂α，a∥b，若a⊂α，则a不可能与α平行，故B错误；
C ∵a∥β，α∥β，若a⊂α，则结论不成立，故C错误；
D ∵b∥α，a∥b，若a⊂α，则结论不成立，故D错误；
故A正确；
【点拨】
① 线面的位置关系有三种：a∥α、a⊂α、a∩α=A；
② 证明某些选项是错只需要举个反例，比如选项C是怎么会想到“a⊂α”这个反例的呢？
运用“运动的思想”，先由α∥β固定两个平面α、β，再由a∥β把线段a由上至下“运动”下来，则a、α的关系有两种情况a⊂α、a∥α.选项B、D也可类似.
【典题2】 已知平面α∥面β，AB、CD为异面线段，AB⊂α，CD⊂β，且AB=a，CD=b，AB与CD所成的角为θ，平面γ∥面α，且平面γ与AC、BC、BD、AD分别相交于点M、N、P、Q．
(1)若a=b，求截面四边形MNPQ的周长；
(2)求截面四边形MNPQ面积的最大值．
【解析】 (1)∵平面α∥面β，平面ABC∩α=AB，平面ABC∩β=MN，
∴AB∥MN，
同理PQ∥AB，有PQ∥MN，同理NP∥MQ，
∴四边形MNPQ是一个平行四边形，
∴NPCD=BPBD，PQAB=DPBD，
∴NPCD+PQAB=BP+DPBD=1，
∵AB=CD=a，
∴NP+PQ=a，即四边形的周长是2a．
(2)设AC=c，CM=x，
由MN∥AB，得MN=xca，同理MQ=c−xcb，
又AB与CD所成的角为θ，∴sin∠NMQ=sinθ
∴四边形的面积是s=2×12⋅xc⋅a⋅c−xc⋅b⋅sinθ=abc2[−(x−c2)2+c24]sinθ
∴当x=c2时，s的最大值是ab4sinθ，
此时M为AC的中点．
【点拨】
① 面面平行的性质：α // βα∩γ=a β∩ γ=b⇒ a // b，由面面平行可得到线线平行；
② 在处理线线平行中线段的问题，注意“A字型”、“8字型”的模型；
③ 由三角形面积公式s=12absinC，可得平行四边形ABCD的面积
s=2s△ABC=2×12AB×BC×sin∠ABC=AB×BC×sin∠ABC
④ 线线平行、线面px 、面面平行之间的转化关系

巩固练习
1(★) 已知直线a⊂α，给出以下三个命题：
①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．
其中正确的命题是( )
A．② B．③ C．①② D．①③
【答案】D
【解析】①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a⊂α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a⊂α使直线a∥平面β．故错误．
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．
故选D．
2 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，给出下列四个推断：
①FG∥平面AA1D1D； ②EF∥平面BC1D1；
③FG∥平面BC1D1； ④平面EFG∥平面BC1D1
其中推断正确的序号是 ( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1，
∵FG⊄平面AA1D1D，AD1⊂平面AA1D1D，∴FG∥平面AA1D1D，故①正确；
∵EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，∴EF与平面BC1D1相交，故②错误；
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1，∵FG⊄平面BC1D1，BC1⊂平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故③正确；
∵EF与平面BC1D1相交，∴平面EFG与平面BC1D1相交，故④错误．
故选：A．
3(★★) 已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为( )
A.245B.125C.245或24D.125或12
【答案】C
【解析】连接AB、CD；
①当点P在CA的延长线上，即P在平面α与平面β的同侧时，如图1；
∵α∥β，平面PCD∩α=AB，平面PCD∩β=CD，
∴AB∥CD，∴PAAC=PBBD；
∵PA=6，AC=9，PD=8，
∴69=8−BDBD，解得BD=245；
②当点P在线段CA上，即P在平面α与平面β之间时，如图2；
类似①的方法，可得PAPC=PBPD，
∵PA=6，PC=AC－PA=9－6=3，PD=8，
∴63=PB8，解得PB=16；
∴BD=PB+PD=24；
综上，BD的长为245或24．
故选：C．

4(★★) 已知两平行平面α与β之间的距离为4，直线a⊂β，点A∈a，则平面α内到点A的距离为5，且到直线a的距离为25的点的轨迹是( )
A．一组平行线 B．一条抛物线 C．两段圆弧 D．四个点
【答案】D
【解析】设满足条件的点为D，
过点P做平面A的垂线PE，则：PE=4．
平面α内一点D到点P的距离为PD=5，PD2=PE2+ED2，
∴ED2=36，即：D为平面α上以垂足E为圆心，半径R=ED=6的圆上，
过垂足E做直线L1平行于直线L，
则直线间距离d1=PE=4，
在平面α内做直线L2使得L2到L的距离d2=25，
设平面α内直线L1、L2距离为M，
则有：d22=d12+M2，解得M2=17，
即平面α内直线L1、L2距离为17