人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积导学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积导学案，共21页。
1 柱体
① 棱柱
体积：V=sℎ (其中ℎ是棱柱的高)
② 圆柱
(1) 侧面积：S=2πrℎ
(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2
(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
2 锥体
① 棱锥
棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；
② 圆锥
(1) 圆锥侧面积：S=πrl
(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l) (其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
3台体
① 圆台表面积 S=π (r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
② 台体体积 V=13(S'+SS' +S) ℎ
其中S , S'分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.
4 球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3 （其中R为球的半径）

【题型一】几何体的表面积
【典题1】 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1= ．

【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π

【典题3】 一个圆台上、下底面半径分别为r、R，高为ℎ，若其侧面积等于两底面面积之和，则下列关系正确的是( )
A．2ℎ=1R+1r B．1ℎ=1R+1r C．1r=1R+1ℎ D．2R=1r+1ℎ
【题型二】几何体的体积
【典题1】 正方形ABCD被对角线BD和以A为圆心，AB为半径的圆弧DB分成三部分，绕AD旋转，所得旋转体的体积V1、V2、V3之比是( )
A．2: 1: 1 B．1 :2: 1 C．1 :1 :1 D．2 :2: 1
【典题2】 如图，圆锥形容器的高为ℎ，圆锥内水面的高为ℎ1，且ℎ1=13ℎ，若将圆锥的倒置，水面高为ℎ2，则ℎ2等于( )
A．23ℎ B．1927ℎ C．363ℎ D．3193ℎ

【典题3】 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S−ABC的体积V= .
【题型三】与球有关的切、接问题
【典题1】 已知三棱锥D−ABC的四个顶点在球O的球面上，若AB=AC=BC=DB=DC=1，当三棱锥D－ABC的体积取到最大值时，球O的表面积为（ ）
A. 5π3 B. 2 π C. 5 π D. 20π3
【典题2】 如图，在一个底面边长为2，侧棱长为10的正四棱锥P－ABCD中，大球O1内切于该四棱锥，小球O2与大球O1及四棱锥的四个侧面相切，则小球O2的体积为 ．
巩固练习
1(★) 如图1所示，一只封闭的圆柱形水桶内盛了半桶水(桶的厚度忽略不计)，圆柱形水桶的底面直径与母线长相等，现将该水桶水平放置后如图2所示，设图1、图2中水所形成的几何体的表面积分别为S1、S2，则S1与S2的大小关系是( )
A．S1≤S2 B．S1 S2 D．S1≥S2
2(★) 若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为( )
A．πB．3π2C．2π3D．π2
3(★★) 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样大的四面体得到的(如图)．则该几何体共有 个面；如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的表面积是 cm2．

4(★★) 直角梯形的上、下底和不垂直于底的腰的长度之比为123，那么以垂直于底的腰所在的直线为轴，将梯形旋转一周，所得的圆台上、下底面积和侧面面积之比是 .
5(★★) 如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是 .

6(★★) 一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为2π3，则这个圆锥的体积等于 .
7(★★) 如图①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为a2(如图②)，则图①中的水面高度为 .
8(★★★) 半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为 .
9(★★★) 如图所示，在边长为5+2的正方形ABCD中，以A为圆心画一个扇形，以O为圆心画一个圆，M、N，K为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积与体积分别是 与 ．

10(★★★) 已知四面体ABCD的棱长满足AB=AC=BD=CD=2，BC=AD=1，现将四面体ABCD放入一个主视图为等边三角形的圆锥中，使得四面体ABCD可以在圆锥中任意转动，则圆锥侧面积的最小值为 ．
11(★★★) 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC是下底面．M是BB1上的点，AB=3，BC=4，AC=5，CC1=7，过三点A、M、C1作截面，当截面周长最小时，截面将三棱柱分成的上、下两部分的体积比为 .
12(★★★) 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=1，BC=2，BB1=3，∠ABC=90°，点D为侧棱BB1上的动点，当AD+DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为 ．

13(★★★) 已知△SAB是边长为2的等边三角形，∠ACB=45°，当三棱锥S－ABC体积最大时，其外接球的表面积为 .
14(★★★)如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 ．
简单几何体的表面积和体积
1 柱体
① 棱柱
体积：V=sℎ (其中ℎ是棱柱的高)
② 圆柱
(1) 侧面积：S=2πrℎ
(2) 全面积：S=2πrℎ+2πr2
(3) 体积：V=Sℎ=πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
2 锥体
① 棱锥
棱锥体积：V=13Sℎ(其中ℎ为圆柱的高)；
② 圆锥
(1) 圆锥侧面积：S=πrl
(2) 圆锥全面积：S=πr(r+l) (其中r为底圆的半径，l为圆锥母线)
(3) 圆锥体积：V=13Sℎ=13πr2ℎ (其中r为底圆的半径，ℎ为圆柱的高)
3台体
① 圆台表面积 S=π (r'2+r'2+r'l+rl)
其中r'是上底面圆的半径，r是下底面圆的半径，l是母线的长度.
② 台体体积 V=13(S'+SS' +S) ℎ
其中S , S'分别为上，下底面面积，ℎ为圆台的高.
4 球体
面积S=4πR2，体积V=43πR3 （其中R为球的半径）

【题型一】几何体的表面积
【典题1】 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中AB=2，AA1=3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD－A1B1C1D1与正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积分别为S1，S2，则S2S1= ．
【解析】 如图，
正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，
则正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧面积分别为S1=4×2×3=24；
正四棱锥O－A1B1C1D1的斜高为12+32=10．
∴正四棱锥O－A1B1C1D1的侧面积S2=4×12×2×10=410．
∴S2S1=41024=106．
【点拨】注意侧面积和全面积的区别．
【典题2】一个底面半径为2，高为4的圆锥中有一个内接圆柱，该圆柱侧面积的最大值为（ ）
A．2π B．3π C．4π D．5π
【解析】

圆锥的底面半径为2，高为4，
∴内接圆柱的底面半径为x时，它的上底面截圆锥得小圆锥的高为2x
因此，内接圆柱的高 ℎ=4−2x；
∴圆柱的侧面积为：S=2πx4−2x=4 π2x−x2 0