高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案设计，共18页。
1 平面
无限延展，无边界.
判断 一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD (×)；两个平面可相交于一点 (×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
① 基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS “确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断 三点确定一个平面 (×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
② 基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③ 基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3 图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS 点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2 空间点，直线，面之间的位置关系
① 线线的位置关系
(1) 空间直线的位置关系
共面:异面:a∩ b=A,a//ba与b异面
(2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a // b, b / / c⟹ a / / c
(3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4) 异面直线:
(i) 定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii) 图形语言
符号语言
P∉αA∈αa∈αA∉α⟹PA与a异面
② 线面的位置关系
(1) 直线与平面的位置关系
l⊂α 在面内l∩α=A 相交l//α 平行
(2) 图形语言
例 若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案 m//M或者m⊂M.
③ 面面的位置关系
(1) 平面与平面的位置关系
α //β 平行α∩β=a 斜交α⊥β 垂直
(2) 图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】 设P表示一个点，a ,b表示两条直线，α ,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )．
① P∈a ,P∈α⇒a⊂α ② a∩b=P ,b⊂β⇒a⊂β
③ a∥b ,a⊂α ,P∈b ,P∈α⇒b⊂α ④ α∩β=b ,P∈α ,P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【典题2】 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P ,Q ,R 分别在棱AB ,BB1 ,CC1 上，且DP，QR 相交于点O，求证O ,B ,C 三点共线.
【典题2】 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1) E、C、D1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点．
巩固练习
1(★★) 一块蛋糕切三道最多可以切 块？
2(★) 下列命题正确的是 ( )
Ａ.经过三点确定一个平面 Ｂ.经过一条直线和一个点确定一个平面
Ｃ.四边形确定一个平面 Ｄ.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
3(★) 以下四个命题中，正确命题的个数是 ( )
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4(★★) 空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD=1，则AC的取值范围是________．
5(★★★) 如图，已知 E、F、G、H分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、BC、CC1、C1D1的中点，证明 FE、HG、DC三线共点．
6(★★★) 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点 E，F分别是棱AA1，CC1的中点,
求证点D1，E，F，B共面.
【题型三】点、线、面的位置关系
【典题1】 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 ( )
Ａ.异面直线Ｂ.相交直线Ｃ.不相交直线Ｄ.不平行直线
【典题2】 若直线l不平行于平面a，且l⊄a，则 ( )
A.a内所有直线与l异面 B.a内不存在与l平行的直线
C.a内存在唯一的直线与l平行 D.a内的直线与l都相交
【典题3】 如果三个平面将空间分成6个互不重叠的部分，则这三个平面的位置是 ( )
A．两两相交于三条交线
B．两个平面互相平行，另一平面与它们相交
C．两两相交于同一条直线
D．B中情况或C中情况都可能发生
巩固练习
1(★) 在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)
2(★) 已知直线m ,n ,l，若m∥n ,n∩l=P，则m与l的位置关系是 ( )
A．异面直线 B．相交直线 C．平行直线D．相交直线或异面直线
3(★) 下列命题中正确的个数是 ( )
①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥.
②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行.
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行.
④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
4(★) 平面α与平面β ,γ都相交，则这三个平面可能有（ ）
A．1条或2条交线 B．2条或3条交线
C．仅2条交线 D．1条或2条或3条交线
5(★) 若三个平面两两相交，则它们的交线条数是 ( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．1条或3条
平面与空间点、直线、面之间的位置关系
1 平面
无限延展，无边界.
判断 一张纸是一个平面(×)；平面ABCD就是四边形ABCD (×)；两个平面可相交于一点 (×).
原因均是平面是无限延展的.
2三个基本事实与三个推论
① 基本事实1
不共线的三点确定一个平面.
PS “确定”的意思是“有且只有”，过不共线三点的平面有且只有一个，故说确定一个平面.
判断 三点确定一个平面 (×)；原因是三点未必共线.
用途:用于确定平面.
② 基本事实2
如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.
用途:常用于证明直线在平面内.
③ 基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
用途:常用于证明线在面内，证明点在线上.
推论1:直线与直线外的一点确定一个平面.
推论2:两条相交直线确定一个平面.
推论3:两条平行直线确定一个平面.
3 图形语言，文字语言，符号语言的转化
PS 点用大写字母表示，直线用小写字母表示，平面用希腊字母表示.
2 空间点，直线，面之间的位置关系
① 线线的位置关系
(1) 空间直线的位置关系
共面:异面:a∩ b=A,a//ba与b异面
(2) 平行线的传递公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.
符号表述:a // b, b / / c⟹ a / / c
(3) 等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
(4) 异面直线:
(i) 定义:不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；
(ii) 图形语言
符号语言
P∉αA∈αa∈αA∉α⟹PA与a异面
② 线面的位置关系
(1) 直线与平面的位置关系
l⊂α 在面内l∩α=A 相交l//α 平行
(2) 图形语言
例 若直线a在平面M内，直线m平行直线a，则直线m与平面M的位置关系是
答案 m//M或者m⊂M.
③ 面面的位置关系
(1) 平面与平面的位置关系
α //β 平行α∩β=a 斜交α⊥β 垂直
(2) 图形语言
【题型一】平面的确定
【典题1】 设P表示一个点，a ,b表示两条直线，α ,β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是 ( )．
① P∈a ,P∈α⇒a⊂α ② a∩b=P ,b⊂β⇒a⊂β
③ a∥b ,a⊂α ,P∈b ,P∈α⇒b⊂α ④ α∩β=b ,P∈α ,P∈β⇒P∈b
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
【解析】对于① 当a∩α=P时，P∈a ,P∈α，但a⊄α，①错；
对于② a∩β=P时，②错；
对于③ 如图，∵a //b ,P∈b ,∴P∉a ,∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β ,但β经过直线a与点P ,∴β与α重合，∴b⊂α ,故③正确；
对于④ P∈α ,P∈β⇒点P是平面α、β的公共点，α∩β=b⇒线b是平面α、β的交线，而两平面的交点必在其交线上，故④正确．故选D.
【点拨】
① 熟悉点、线、面及其之间关系的符号表示；
② 判断尽量利用画图进行思考，若要排除选项则举出一反例；
③ 确定平面的方法---不共线的三点确定一个平面、直线与直线外的一点确定一个平面、两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面.
【典题2】 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
【解析】 在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点如图所示．
【点拨】
其实就是过三直线A1D1，EF，CD中任一条直线的平面与另外两直线分别交于点M、N，
则直线MN为所求直线，而这样的平面有无数个，则直线MN有无数条.
【题型二】三点共线、三线共点、四点共面
【典题1】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点P ,Q ,R 分别在棱AB ,BB1 ,CC1 上，且DP，QR 相交于点O，求证O ,B ,C 三点共线.
【证明】 ∵ P∈直线AB ,D∈直线CD， ∴P∈平面ABCD. D∈平面ABCD.
∴直线DP平面ABCD.
又∵O∈直线DP，∴ O∈平面ABCD. 同理可证，O∈平面BCC1B1.
∵平面ABCD∩平面BCC1B1=直线BC，∴ O∈直线BC.
∴O ,B ,C 三点共线.
【点拨】
① 本题利用了基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
② 证明三点A、B、C共线，一般思路是证明点A在直线BC上.
【典题2】 如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．
求证:(1) E、C、D1、F四点共面；(2) CE、D1F、DA三线共点．
【证明】
(1) 连接EF, CD1,A1B.
∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF//A1B.
又A1B//D1C ,∴EF//CD1，
∴直线EF与直线CD1共面，即E、C、D1、F四点共面．
(2) ∵EF//CD1 ,EF